学无止境作文-周记怎么写

三次方程解法被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传开来．卡尔
达诺公 布的解法可简述如下：
设一元三次方程为
则通过以 代替变量 , 可将上述方程化为如下简约方程: x
3
＋
px=q(p，q为正数)． (1)



卡尔达诺以方程x
3
＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=

过同样的程序得到

他还求出x
3
＋px＋q＝0和x
3
＋q＝px(p，q为正数)的公式解， 就是
说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利
亚的工作．但需要说 明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求
正根，所以解法还是不完善的．




管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25－( -15)＝40．于
是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，
是 又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，
因此称它为“诡变量”．但不管怎样 ，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他
还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．
三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522
—15 65)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》
中．下面用现代符号表出．
设方程为
x＋bx+cx+dx+e＝0． (4)
432
移项，得x
4
＋bx
3
=-cx
2
-dx-e，

右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．

解这个三次方程， 设它的一个根为y
0
，代入(5)，由于两边都是x
的完全平方形式，取平方根，即得


解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把( 6)
的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．
在卡尔达诺之后，韦达 对三次方程和四次方程解法作了进一步改
进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemana lyticemisagoge)中，他
是这样解三次方程的：
对于
x+bx+cx+d=0，

32

结果得到简约三次方程


y＋py＋q＝0．
3


他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．

韦达不仅研究方程 解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论
方程的识别与修正》(Deaequationumr ecog－nitoneetemendatjone，写
于1591年，出版于1615年)中，他提 出了四个定理，后人为了纪念这位
大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，
就

对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的
负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡
儿符号法则：多项式方程f(x) =0的正根个数等于方程系数的变号次数，
或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号 次数，或少于
此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数
和负根个数 都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次
数，p为0，1，2„，p的取 值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的
根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根． 在讨论三次

方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一 个有理根，则此
方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子
定理：f (x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所
有这些成就都是在笛卡 儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附
录《几何》(LaGéome trie)中出现的．
除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实
际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)
n
在n为正整数时的展开式)
曾被不 同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯
数学家卡西(al－Kāshī)各自 得到如下形式的三角形

这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数
之和．
在欧洲，德国数 学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495—1552)最早给
出这个三角形(1527年)，1 544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这
个名称，并指出怎样从(1＋a)
n-1
来计算(1＋a)
n
．1653年，帕斯卡写成
《算术三角形》(Traitédu trianglearithmétique)一书，从上述三角形
出发，详细讨论了二项展开式的系数 ．该书于1665年出版后，影响很
大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三 角
形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即
(a+b)
n
牛顿(T．Newton，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于
指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他
把二项式定理推广到分指数和 负指数的情形，指出这三种形式的二项展
开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化 规律：
设n，m为正整数，则

如果括号里是a-b，则第k＋1项的符号由(－1)
k
决定．它们的区别
只


对于一般的一元三次方程, 早在1545年出版的一本数学著作 Ars Magma 中已
有介绍, 现在称三次方程的求根公式为卡丹公式. 我们这里来简单介绍一下.
还有如下解法：
设一元三次方程为

则通过以 代替变量 , 可将上述方程化为如下简约方程:

设 是该简约方程的三个根. 令

称为简约方程的判别式. 令
, 则卡丹公式为
, ,

这里两公式中 的取值要相同, 且立方根的选取要满足条件

然后通过解线性方程组

就可求出简约方程的根 .

三次方程求根公式

设一元三次方程在复数集中的根是
x
1
,
x
2
,
x
3
，那么

其中。
早在古巴伦的文献中，已有一些三次、四次的数字方程。7世纪初期，我国 唐朝的数学家
土孝通所著的《缉古算经》一书记载了不少三次方程。阿拉伯人也很早就研究过三次方程。 但
是在上千年的漫长岁月里，人们寻求一般三次方程的求根公式没有进展。直到1494年，意大
利数学家帕克里还宣称一般的三次方程是不可能解的。
1500年波伦亚的数学教授菲洛终于找到了形如

的三次方程的一般解法。但他向 外保密，只是秘传给他的一个学生。在菲洛死后近十年，这个
学生以上述三次方程求解问题向当时意大利 数学家塔塔里亚挑战。塔塔里亚也找到了方程（1）
的一般解法，并公开了结果。但他也不肯公布推导过 程。这件事为数学物理教授卡丹所知，便
要塔塔里亚把解题的秘诀告诉他，塔塔里亚在卡丹发誓绝对保密 的情况下，将证明方法告诉卡
丹。卡丹不顾他的誓言，把这个解法发表在他的《重要的艺术》一书中，为 此塔塔里亚向卡丹
提出责难，引起双方一场论战。三次方程求根公式现在仍称为卡丹公式。塔塔里亚与卡 丹的解
法如下：
作变换，使方程（1）化成

令，得

解这个二次方程，得出后，就可得到
y
的六个值，然后再利用关系式
可得到
x
的值。
根据卡丹公式，我们就能解一般的三次方程：
。
首先把它改写为
。
令

就
就可化成缺平方项的三次方程

这里。