张治中-益阳市教育局

一元三次方程的求根公式及其推导


由于任一个一般的一元三次方 程Ax
3
Bx
2
CxD0均可经过移轴
A(x
B
3A
)
3
(C
B
2
3A
)(xB
3A
)(
2B
3
公式化为
27A
2

BC
3A
D)0
即(3AxB)
3
(9AC 3AB)(3AxB)(2B
3
9ABC27A
2
D)0,
x
3
pxq0的特殊形式,因此，只需研究此类方程即可。
1.实数根的判定 ：
设F(x)x
3
pxq,则F(x)0即方程x
3
px q0,F(x)零
点的个数即方程x
3
pxq0实数根的个数。
( 1).若p0,则方程F'(x)0没有实根，F(x)有唯一零点F(x)0
有唯一实数根。
(2).若p0,则方程F
'
(x)0有一实根，F(x)有唯一零点F(x) 0
有唯一实数根。
(3)若p0，则方程F
'
(x)0有两实根，为:
x
p
1



3
，x
p
2


3
。
当F(

)F(

)
1
81
(81q
2
12p
3
)0 时，F(x)有唯一零点F(x)0
有唯一实数根。

当F(

)F(

)
1
81
(81q
2
12p
3
)0时，F(x)有两个零点F(x)0
有两个实数根。
当F(

)F(

)
1
81
(81q
2
12 p
3
)0时，F(x)有三个零点F(x)0
有三个实数根。


1

为研究方便，不妨设p.q不同时为0(p.q同时为0时方程 很容易求解)，则当p0时，
一定有
1
81
(81q
2
 12p
3
)0。令81q
2
12p
3
，则有以下结 论：
81q
2
12p
3
0时，方程x
3
 pxq0有唯一实数根。
81q
2
12p
3
0时，方程 x
3
pxq0有两个实数根。
81q
2
12p
3
0时，方程x
3
pxq0有三个实数根。
2.求根公式的推导：< br>1）.实根式的推导：
一元三次方程的求根公式由演绎推理是很难解出的，通常由归纳思维得到。 通过对
一元一次，一元二次以及特殊一元高次方程求根公式的归纳，我得到了一元三次方
程的求 根公式应为xAB的形式。其中，A，B为两个待定的代数式。下面的工作
就是设法求出A，B。< br>由于xAB，
故x
3
(AB)
3
A
3B
3
3AB(AB)A
3
B
3
3ABx，
即有x
3
3ABx(A
3
B
3
)0。对比x
3
pxq0，

3
可令

3ABp

，即



AB
p

33
p
3
,


AB
27

(A
3
B
3
)q
。


A
3
B
3
q


A
3
 B
3
q
易知，A，B
3
为一元二次方程a
2
 qa
p
3
3
27
0的两根。
若判别式q
24(
p
3
1
27
)
81
(81q
2
12p
3
)0，


a
9q81q< br>2
12p
3
则有

1


18< br>
9q
23
。


a
81q12p< br>2

18

A
3
a
1
3
108q1281q
2
12p
3
如果不考虑A，B顺序，则有

1

6


B
3
a
13
2

6
108q1281q
2
12p
3
若判别式q
2
4(
p
3
1
27
)
81
(81q
2
12p
3
)0，虽然我们清楚方程有二 或三个实数根，
但却又无法直接解出（等于零时只能解出一个，小于零时会出现虚数）。故由以
上方法只能导出有一个实数根的方程的求根公式，为：

x
1
3
 108q1281q
2
12p
3

1
3
10 8q1281q
2
12p
3
66


2 （

当方程有二或三实数根时，我们需另辟一条求根路径。考虑到角函数三倍角
公式与一元三次方程有很大的相似性，故我们可由角函数三倍角公式作线性
变换，从而得到一元三次方 程的求根公式。研究之初，我选择的是余弦三倍
角公式。
余弦三倍角公式：cos3

4cos
3

3cos

,
若将cos3
看作已知量，cos

看作未知量x，则上述等式可化为方程4x
3< br>3x
cos3

0。
由于cos3

cos (3

2k

)，故xcos
3

2k
3
cos
arccos3

2k

3< br>，(k0，1，2)。
对于方程x
3
pxq0，
可令XAx ，另设有非零实数B，使得
q
B
1，
则上述方程可化为
(AX)< br>3
p
B

(AX)
B

q
B
1，
即
A
3
pA
B
X
3

B
X
q
B
0。
对比4x
3
3xcos3

0，

可令

A
3

4

B
，得


A
2
3p

A
2
3p

pA

3
3



B
3

B
2p3p
或


2p3p
。

9


B
9
不妨取第一组解（当然，取第二组也未尝不可），
则cos 3


q9q
B

2p3p
，
因此， Xcos
arccos3

2k

3
cos


1


9q



arcc os2k



3


2p3p
< br>


，

xAX
2
3
3p cos


1



arccos
9q< br>2



k0,1,2


3


2p3p
k




，




上式成立的条件为

p0

9q


，解得81q
2
12p
3
0！

2p3p
1
也正是当方程有二或三个实数根时上式成立。
因此，得到方程有 二或三个实数根时的求根公式：
x
2

1

i
< br>3
3pcos


9q




k0,1,2，ik1


3

arccos2k



2p3p


，

< br>

3

作进一步研究可知，0时，x
2
x
3
。

2

.卡丹公式的推导:
由 前面的论证可知，若设方程的一根为x
1
AB，则方程可化为
x
3
3ABx(A
3
B
3
)0的形式。
由韦达定理可知，

x
1
x
2
x
3
0

x
1
x
2
x
2
x
3
x3
x
1
3AB，


x
1
x2
x
3
A
3
B
3
将x
1
AB代回上式，得：


x
2
x
3
(A B)

x
2
x
3
A
2
ABB2
。
易知，x
2
，x
3
为方程t
2


AB

t

A
2
ABB
2

0的两个根。
判别式为

AB

24

A
2
ABB
2

3

AB

2


3i

AB


2
故t


AB

3i

AB

2
，
即x


AB

3i

AB

13i13i
2
 t
1

2

2
A
2
B
A

B，
x


AB

3i< br>
AB

13i13i
3
t
2

2

2
A
2
B

A
< br>B。
其中，

，

为1的虚立方根。
将A，B的值代 回，即可得卡丹公式：
xAB
1
3
108q1281q
2
12p
3

1
3
1
3
66
1 08q1281q
2
12p
x

3
2


A

B
3
6
108q1281q
2< br>12p

3
6
108q1281q
2
12 p
3
x

3


A

B3
108q1281q
2
12p
3


3
66
108q1281q
2
12p
3
3.求根公式 的推广:
由于对任一个一元三次方程Ax
3
Bx
2
CxD0 均可化为

3AxB

3


9AC3AB< br>
3AxB



2B
3
9ABC 27A
2
D

0的形式，故可
设t3AxB，p9AC3 AB，q2B
3
3ABC27A
2
D,则可得到一元三次
方程 一般式的判别式和求根公式，结果如下：
判别式：81A
4
D
2
54A
3
BCD12A
3
C
3
12A
2B
3
D3A
2
B
2
C
2
，

实数根求根公式：


4

0时，
1< br>3
1
3
B
x108A
2
D36ABC8B< br>3
12108A
2
D36ABC8B
3
12 
6A6A3A
0时，

1


B227A
2
D9ABC2B
3
2


k0,1,2， ik1

x
i
B3ACcos

arccos2 k



，
32

3A33A
6AC2BB3AC





卡丹公式：
1
3
1
3
B
x108A
2
D36ABC 8B
3
12108A
2
D36ABC8B
3
 12
6A6A3A

3

3
B
x108A
2
D36ABC8B
3
12108A
2
D3 6ABC8B
3
12
6A6A3A

3

3
B
x108A
2
D36ABC8B
3
12 108A
2
D36ABC8B
3
12
6A6A3A至此，完成一元三次方程求根公式的推导。

后记：
对于一元三次方程的研究 ，先人们历经了漫长的探索之路。我对此
类方程的研究，是源于角函数的求值问题（如已知30°角的角 函数值，
利用三倍角公式来反求10°角的角函数值），大约开始于2006年10月
份。但最 终的结果证明了这样一个事实：对于这样一类整数角，如果不
可以表示为α=3n（n为整数）的形式， 是不可能用有限个代数式来表示
其角函数值的。这反而激起了我对一元三次方程求根公式的研究。 卡丹公式并不是由卡丹本人发现的，而是由他第一次发表在数学著
作《大术》上的，后人为了纪念他 对这一成果的公布，称之为卡丹公式。
上述实根式由本人发现，并第一次在此提出，希望广大数学爱好者 给予
点评。


2009年11月25日

5

一元三次方程的求根公式及其推导


由于任一个一般的一 元三次方程Ax
3
Bx
2
CxD0均可经过移轴
A(x< br>B
3A
)
3
(C
B
2
3A
)( x
B
3A
)(
2B
3
公式化为
27A
2

BC
3A
D)0
即(3AxB)
3
( 9AC3AB)(3AxB)(2B
3
9ABC27A
2
D)0 ,
x
3
pxq0的特殊形式,因此，只需研究此类方程即可。
1.实数 根的判定：
设F(x)x
3
pxq,则F(x)0即方程x
3
pxq0,F(x)零
点的个数即方程x
3
pxq0实数根的个数。< br>(1).若p0,则方程F'(x)0没有实根，F(x)有唯一零点F(x)0
有唯一 实数根。
(2).若p0,则方程F
'
(x)0有一实根，F(x)有唯一零点 F(x)0
有唯一实数根。
(3)若p0，则方程F
'
(x)0有两实 根，为:
x
p
1



3
，x< br>p
2


3
。
当F(

)F(< br>
)
1
81
(81q
2
12p
3
)0时，F(x)有唯一零点F(x)0
有唯一实数根。

当F(

)F(

)
1
81
(81q
2
12 p
3
)0时，F(x)有两个零点F(x)0
有两个实数根。
当F(< br>
)F(

)
1
81
(81q
2
12p
3
)0时，F(x)有三个零点F(x)0
有三个实数根。


1

为研究方便，不妨设p.q不同时为0(p.q同时为0时方程 很容易求解)，则当p0时，
一定有
1
81
(81q
2
 12p
3
)0。令81q
2
12p
3
，则有以下结 论：
81q
2
12p
3
0时，方程x
3
 pxq0有唯一实数根。
81q
2
12p
3
0时，方程 x
3
pxq0有两个实数根。
81q
2
12p
3
0时，方程x
3
pxq0有三个实数根。
2.求根公式的推导：< br>1）.实根式的推导：
一元三次方程的求根公式由演绎推理是很难解出的，通常由归纳思维得到。 通过对
一元一次，一元二次以及特殊一元高次方程求根公式的归纳，我得到了一元三次方
程的求 根公式应为xAB的形式。其中，A，B为两个待定的代数式。下面的工作
就是设法求出A，B。< br>由于xAB，
故x
3
(AB)
3
A
3B
3
3AB(AB)A
3
B
3
3ABx，
即有x
3
3ABx(A
3
B
3
)0。对比x
3
pxq0，

3
可令

3ABp

，即



AB
p

33
p
3
,


AB
27

(A
3
B
3
)q
。


A
3
B
3
q


A
3
 B
3
q
易知，A，B
3
为一元二次方程a
2
 qa
p
3
3
27
0的两根。
若判别式q
24(
p
3
1
27
)
81
(81q
2
12p
3
)0，


a
9q81q< br>2
12p
3
则有

1


18< br>
9q
23
。


a
81q12p< br>2

18

A
3
a
1
3
108q1281q
2
12p
3
如果不考虑A，B顺序，则有

1

6


B
3
a
13
2

6
108q1281q
2
12p
3
若判别式q
2
4(
p
3
1
27
)
81
(81q
2
12p
3
)0，虽然我们清楚方程有二 或三个实数根，
但却又无法直接解出（等于零时只能解出一个，小于零时会出现虚数）。故由以
上方法只能导出有一个实数根的方程的求根公式，为：

x
1
3
 108q1281q
2
12p
3

1
3
10 8q1281q
2
12p
3
66


2 （

当方程有二或三实数根时，我们需另辟一条求根路径。考虑到角函数三倍角
公式与一元三次方程有很大的相似性，故我们可由角函数三倍角公式作线性
变换，从而得到一元三次方 程的求根公式。研究之初，我选择的是余弦三倍
角公式。
余弦三倍角公式：cos3

4cos
3

3cos

,
若将cos3
看作已知量，cos

看作未知量x，则上述等式可化为方程4x
3< br>3x
cos3

0。
由于cos3

cos (3

2k

)，故xcos
3

2k
3
cos
arccos3

2k

3< br>，(k0，1，2)。
对于方程x
3
pxq0，
可令XAx ，另设有非零实数B，使得
q
B
1，
则上述方程可化为
(AX)< br>3
p
B

(AX)
B

q
B
1，
即
A
3
pA
B
X
3

B
X
q
B
0。
对比4x
3
3xcos3

0，

可令

A
3

4

B
，得


A
2
3p

A
2
3p

pA

3
3



B
3

B
2p3p
或


2p3p
。

9


B
9
不妨取第一组解（当然，取第二组也未尝不可），
则cos 3


q9q
B

2p3p
，
因此， Xcos
arccos3

2k

3
cos


1


9q



arcc os2k



3


2p3p
< br>


，

xAX
2
3
3p cos


1



arccos
9q< br>2



k0,1,2


3


2p3p
k




，




上式成立的条件为

p0

9q


，解得81q
2
12p
3
0！

2p3p
1
也正是当方程有二或三个实数根时上式成立。
因此，得到方程有 二或三个实数根时的求根公式：
x
2

1

i
< br>3
3pcos


9q




k0,1,2，ik1


3

arccos2k



2p3p


，

< br>

3

作进一步研究可知，0时，x
2
x
3
。

2

.卡丹公式的推导:
由 前面的论证可知，若设方程的一根为x
1
AB，则方程可化为
x
3
3ABx(A
3
B
3
)0的形式。
由韦达定理可知，

x
1
x
2
x
3
0

x
1
x
2
x
2
x
3
x3
x
1
3AB，


x
1
x2
x
3
A
3
B
3
将x
1
AB代回上式，得：


x
2
x
3
(A B)

x
2
x
3
A
2
ABB2
。
易知，x
2
，x
3
为方程t
2


AB

t

A
2
ABB
2

0的两个根。
判别式为

AB

24

A
2
ABB
2

3

AB

2


3i

AB


2
故t


AB

3i

AB

2
，
即x


AB

3i

AB

13i13i
2
 t
1

2

2
A
2
B
A

B，
x


AB

3i< br>
AB

13i13i
3
t
2

2

2
A
2
B

A
< br>B。
其中，

，

为1的虚立方根。
将A，B的值代 回，即可得卡丹公式：
xAB
1
3
108q1281q
2
12p
3

1
3
1
3
66
1 08q1281q
2
12p
x

3
2


A

B
3
6
108q1281q
2< br>12p

3
6
108q1281q
2
12 p
3
x

3


A

B3
108q1281q
2
12p
3


3
66
108q1281q
2
12p
3
3.求根公式 的推广:
由于对任一个一元三次方程Ax
3
Bx
2
CxD0 均可化为

3AxB

3


9AC3AB< br>
3AxB



2B
3
9ABC 27A
2
D

0的形式，故可
设t3AxB，p9AC3 AB，q2B
3
3ABC27A
2
D,则可得到一元三次
方程 一般式的判别式和求根公式，结果如下：
判别式：81A
4
D
2
54A
3
BCD12A
3
C
3
12A
2B
3
D3A
2
B
2
C
2
，

实数根求根公式：


4

0时，
1< br>3
1
3
B
x108A
2
D36ABC8B< br>3
12108A
2
D36ABC8B
3
12 
6A6A3A
0时，

1


B227A
2
D9ABC2B
3
2


k0,1,2， ik1

x
i
B3ACcos

arccos2 k



，
32

3A33A
6AC2BB3AC





卡丹公式：
1
3
1
3
B
x108A
2
D36ABC 8B
3
12108A
2
D36ABC8B
3
 12
6A6A3A

3

3
B
x108A
2
D36ABC8B
3
12108A
2
D3 6ABC8B
3
12
6A6A3A

3

3
B
x108A
2
D36ABC8B
3
12 108A
2
D36ABC8B
3
12
6A6A3A至此，完成一元三次方程求根公式的推导。

后记：
对于一元三次方程的研究 ，先人们历经了漫长的探索之路。我对此
类方程的研究，是源于角函数的求值问题（如已知30°角的角 函数值，
利用三倍角公式来反求10°角的角函数值），大约开始于2006年10月
份。但最 终的结果证明了这样一个事实：对于这样一类整数角，如果不
可以表示为α=3n（n为整数）的形式， 是不可能用有限个代数式来表示
其角函数值的。这反而激起了我对一元三次方程求根公式的研究。 卡丹公式并不是由卡丹本人发现的，而是由他第一次发表在数学著
作《大术》上的，后人为了纪念他 对这一成果的公布，称之为卡丹公式。
上述实根式由本人发现，并第一次在此提出，希望广大数学爱好者 给予
点评。


2009年11月25日

5