南京特教-华中科技大学自主招生

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新疆大学毕业论文
(
设计
)












题 目:

一元三次方程的求根公式及其推导

指导老师:

木依丁.海力力
学生姓名：阿迪力·艾肯
所属院系：数学与系统科学学院
专 业：数学与应用数学

班 级：应数07-2班

完成日期：


1

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声 明

本人阿迪力·艾肯声明该毕业论文（设计）是本人在木依丁.海力力老师 指
导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成
的知识产权纠 纷由本人负责。

声明人（签名）：
2012年5月 27日




阿迪力·艾肯同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成 了该
毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。


指导教师（签名）：
2012年5月 27日








2

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新 疆 大 学

毕业论文（设计）任务书

班 级： 应数07-2 姓 名： 阿迪力·艾肯
论文（设计）题目：一元三次方程的求根公式及其推导


专 题：
论文（设计）来源： 指导教师自选题
要求完成的内容：




发题日期：
2012年 03月 10日
完成日期：
2012 年05月27 日

实习实训单位： 地点： 数学与系统科学学院

论文页数：
8


页； 图纸张数：
指导教师：木依丁.海力力

教研室主任： 高文华
院长（系主任）： 猛吉翔






3

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摘 要

在本文中，首先我们介绍了解一元三次方程的求解公式并举了几个例子，然
后介绍了解一元三次方程的卡尔丹公式并举例，最后写出来卡尔丹公式的推导过
程。







































4

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目录


1.一元二次方程的求解公式及其推导过程................. ............................1


1.1关于 解一元二次方程的例子........................................ .................................................. .......2

2.一元三次方程求解公式..................... ......................................
3


2.2关于解一元三次方程的例子………………………................. .......................................…..4
3. 求解一元三次方程的卡尔丹公式的推到过程............................... ..........6
4.总结.............................. .............................................9
5.致谢............................................. .............................10
6.参考文献........ .................................................. ............11















1·一元二次方程的求解公式及其推导
5

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人类很早就掌握了一元二次方程的解法。我们来看一下一般形式的一元二次
2
方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0(
a
≠0)的解．
用配方法来解一般形式的一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋< br>c
＝0(
a
≠0)．
因为
a
≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数
a
，得
bc
x
2
x0
，
aa
移项，得
bc
x
2
x
，
aa
配方，得
b c

b

b

xx


，
aa

2a

2a

2
22
即
b

b
2
4ac

．

x


2
2a

4a

2
因为a
≠0，所以4
a
2
＞0，当
b
2
-4
ac
≥0时，得
bb
2
4ac
，
x
2
2a
4a
即
bb
2
4ac
．
x
2a2a
所以
bb
2
4ac
，
x
2a2a
即
bb
2
4ac
x
．
2a
上面的式子叫做 一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0(
a
≠0)的求根公式．

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
从上面的结论可以发现：
(1)一元二次方程
ax
2
＋
b x
＋
c
＝0(
a
≠0)的根是由一元二次方程的系数
a、
b
、
c
确定的．
6

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(2) 在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在
b
2
-4
ac
≥0的前提
bb
2
4ac
2
下，把
a
、< br>b
、
c
的值代入
x
(
b
-4
ac
≥0)中，可求得方程的两个
2a
实数根，当
b
2
4ac
<0时有也有两个共轭虚根。
1.1关于一元二次方程的例子

例1：
3x
2
6x20

解：运用公式法求解
a3,b6,c2

b
2
4ac(6)
2
43(2)600

bb
2
4ac< br>660315315315
,x
2
;


x
=
x
1

2a
2333 3
可以看出当
0
时方程有两个互不相同的实数根；
例2：
x
2
23x30

解：运用公式法求解

a1,b23,c3
b4ac(23)4130
22

bb
2
4ac
23023
3


x
1
x
2
3:


x
=
212
2a
可以看到当
0
时方程有两个相同 的实根；
例3：
2x
2
4x50

解：
a2,b4,c5


b
2
4 ac(4)
2
425164024

bb
2
4ac



x
2a

(4)246
1i

222

x
1
1
66
i,x
2
1i;

22
可以看到

<0时有也有两个共轭虚根。
2.一元三次方程求解公式
7

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古代中 国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是
他们所发明的几种解法，都仅仅能够 解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三
次方程就不适用了。

在十六 世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。
在很多数学文献上，把三次方程的 求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为
了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数 学家卡尔丹。
下面我们看一下一元三次方程的求解公式：
先把方程
ax< br>3
bx
2
cxd0
化为
x
3
px q0
的形式：
b
，则原式变成
3a
令
xya(y
b
3
bb
)b(y)
2
c(y)d 0

3a3a3a
by
2
b
2
yb
3< br>2byb
2
b
2
a(y
2
)b(y) c(y)d0

32
a3a
9a
3a
3a27a3
b
2
b
3
2b
2
b
3
bc
2
aybyybyycyd0

3a3a3a
27a
2
9a
2
32
b
2
2b
3
bc
ay(c)y(d)0

3a
27a
2
3 a
3
cb
2
d2b
3
bc
y(
2)y()0

32
a
3a
a
27a3a
3
cb
2
如此一来二次项就不见了，化成
ypyq0
，其中
p
2
，
a
3a
3
d2b
3
b c
q
。
a
27a
3
3a
2
对方程
y
3
pyq0
直接利用卡尔丹诺公式：
8

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4p< br>3
qpq
令
q
，
D()
2
( )
3
，
T
；
27
4232
2
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
y
1

3
TD
3
TD

y
2


1
3
TD

2
3TD
y
3


2
TD

1TD
2）当
D0
时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，
3

33
y
1
4q
，
y
2
y
3

3
4q

2
3）当
D0
时，方程有三个实根，
y
1

23p

(cos)

33
3p

(cos3sin)
333

 3p

y
3
(cos3sin)
333
y
2

3q3p
其中

arccos

2p
2

qp
D()
2
()
3
是根的判别式：D＞0时，有一个实根两个虚根；D＝0时，有
23
三个实根，且其中至少有 两个根相等；D＜0时，有三不等实根。
2.2关于解一元三次方程的例子
例4：求解一元 三次方程
x
3
x
2
x10
；
解：先把一般形式化成
y
3
pyq0
的特殊形式。
9

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cb
2
2d2b
3
bc 20
p
2
,q
a
3a
3a
27 a
3
3a
2
27
220
y
3
y0
327
qp108q10
D()
2
()
3
; T;
23729227
D=

108
>0 所以方程有一个实根和两个共轭虚根
729
y
1

3
T D
3
TD
3
xy
b
3a
b21x
1
y
1
1;
3a33
10108
3
101082
;
27729277293
y
2


1
3
TD

2
3
TD
x
2
y
2

b11
ii;
3a33
13i
3
1010813i
3
101081
 i
2277292277293
y
3


2
3
TD

1
3
TD
x
3
y3



x
1
1;


次 方程的解为

x
2
i;


xi;

3
13i
3
1010813i
3
101081< br>i
2277292277293
b11
ii;
3a33

例5：
x
3
5x
2
8x40

解：先把一般形式化成
y
3
pyq0
的特殊形式。
10

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a1,b5,c8,d4
cb
2
1d2b
3
bc2
p
2
,q
a
3a
3a
27a
3
3a
2
27

12
3
yy0< br>327
qp
D()
2
()
3
0;
23
D＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等
y
1

34q
=-
3
4(
xy
22
);

273
bb25

x
1
y
1
1;

3a3a333
y
2
y
3

4q
1


x
2,3
y
2,3

b

1

5
2

23
3a33

x
1
1;


次方程的解为

x
2
 2;


x2;

3
3.求解一元三次方程的卡尔丹公式的推到过程
下面我们看一下
y
3
pyq0
（2）求根公式的推导过程：
不妨设
p
、
q
均不为零，令
yuv
（3）
代入（2）得，
u
3
v
3
(uv)(3uvp) q0
（4）
选择
u
、
v
，使得
3uvp 0
，即
uv
代入（4）得，
u
3
v
3
q
（6）
p
3
将（5）式两边立方得，
uv
（7）
27
33
p
（5）
3
联立（6）、（7）两式 ，得关于
u
3
、
v
3
的方程组：
11

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u
3
v
3
q
p

3
　，且uv 

p

33
uv
3

27

p
3
0
于是问题归结于求上述方程组的解，即关于
t
的一元二次方程
tqt
27
2
的两根
u
3
、< br>v
3
。
13i13i
4p
3
q


q

p

2

1
,

2
;
设

q
，
T
，D



，
22
27
2
4< br>
2

3

23
又记
u
3
的一个立方根为
u
1
，则另两个立方根为
u
2


1
u
1
，
u
3


2
u
1
，其中

1
、

2
为1的两个立方虚 根。
以下分三种情形讨论：
1）若

0
，即
D0< br>，则
u
3
、
v
3
均为实数，可求得
u
3
TD
，
v
3
TD
。
取
u< br>1

3
TD
，
v
1

3
TD
，
p
，
3
p
即
u
1
、
v
1
；
u
2
、
v
3
；
u
3
、
v
2
，也就是满足
u
1
v
1
u
2
v
3
u
3
v
2

3
T
2
D
，
3
在
yu
iv
j
，

i,j1,2,3

组成的九个数中，有 且只有下面三组满足
uv
于是方程（2）的根为
y
1
u
1
v
1
，
y
2
u
2
v
3


1
u
1


2
v
1
,y
3
u
3
v
2


2u
1


1
v
1

这时方程（2） 有一个实根
y
1
，两个共轭虚根
y
2
,y
3
，其表达式就是前面给出的
“卡丹公式”的形式，这里的根式
D
及
3
TD
都是在实数意义下的。
2）若，即D＝0时，可求得
u
3
v
3
T
。取
u
1
v
1

3
T
，
同理，可求得
y
1
u
1
v1
2
3
T
3
4q

y
2
y
3


1
u
1


2v
1
T(

1


2
)T< br>33
3
4q

2
23
方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
•

p

q

p

3）若

0
，即D＜0时，因为< br>


0
，
p
＜0，

0
，
323

12
3

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u
3
、
v
3
均为虚数，求出
u
3< br>、
v
3
，并用三角式表示，就有
u
3
TiD< br>，
v
3
TiD
,
其中
T
，
D
都是实数，

T
2
(D)
2
=
(
q
)
2
p
p3p< br>2
D
=
(
3
)
3
=-
9

u
3
(
p
)
3
T
3
（< br>
D
i
）=-
p3p
(
p
9
(cos

isin

)

3
)
3(
P
3
)
3
同理
v
3

p3p
9
(cos

isin

)
，
其中

arccos
3q3p
2p
2< br>，且
0a


3p
取
u
1

3
(cos

3p

3
isin
3
),v
1

3
(cos
3
isin
3
)
，

3p
则
u
2

1u
1

3
(cos
2

3
isin
2

3
)(cos

3
isin
3
)

=
3p
3
(cos
2


3
isin
2



3
)

v
p
4



4
2


1
v
1

3
3
(cos
3
isin



3
)

u
 3p
4



4



3


2
u
1

3
(cos
3
 isin
3
)

v
3p
3


2
v
1

3
(cos
2


< br>3
isin
2



3
)
显然，当且仅当取
u
1
,v
1
;u
2
,v3
;u
3
,v
2;
这三组时才满足
uv
p
3
，
于是方程（2）得三个实根为
y
1
u
1< br>v
1
,y
2
u
2
v
3
,y< br>3
u
3
v
2
，
具体表示出来就为：
y
3p
1

2
3
cos

3

13

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y
2

3p

(cos3sin)

333
3p

(cos3sin)

333
y
3

3q3p
其中

arccos

2
2p
∴ 当时，方程（2）有三个实根。
4.总结
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：
3q3p
q
2
p
3
q
令
D() ()
，
T
，

arccos
，
423 2
2p
2

1

13i13i
,

2
;

22
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
y
1

3
TD
3
TD

y
2


1
3
TD

2
3TD
y
3


2
TD

1TD
2）当
D0
时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，
3

33
y
1
4q
，
y
2
y
3

3
4q

2
3）当
D0
时，方程有三个实根，
y
1

23p

(cos)

33
3p

(cos3sin)
333

 3p

y
3
(cos3sin)
333
y
2



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致 谢
本文是在木依丁.海力力老师精心指导下完成的．阿不都克热木·阿吉老师
以其严谨的治学态度 ，高度的敬业精神，大胆创新的进取精神对我产生重要影
响．他渊博的知识，开阔的视野给了我深深的启 发．同时，在此次毕业设计过
程中我也学到了许多关于应用数学方面的知识，数学理论知识有了很大的提
高．
感谢我的家人，他们在精神和生活上给了我许多的鼓励和支持，他们为我学业的完成付出了许多．最后，再次对关心，帮助我的老师和同学表示衷心地感谢．









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