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塔塔利亚发现的一元三次方程的解法

一元三次方程的一般形式是
x
3
+sx
2
+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s3，那么我们就可以把方程的二次项消
去。所以我们只要考虑形如
x
3
=px+q
的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有
a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
=p(a-b)+q
整理得到
a
3
-b
3
=(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
3ab+p=0。这样上式就成为
a
3
-b
3
=q
两边各乘以27a
3
，就得到
27a
6
-27a
3
b
3
=27qa
3

由p=-3ab可知
27a
6
+ p = 27qa
3

这是一个关于a
3
的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。

费拉里发现的一元四次方程的解法


和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x
4
=px
2
+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数
a，我们有
(x
2
+a)
2
= (p+2a)x
2
+qx+r+a
2

等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q
2
= 4(p+2a)(r+a
2
)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以
解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x
的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s3，那么我们就可以把方程的二次项消

去。所以我们只要考虑形如
x3=px+q
的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
3ab+p=0。这样上式就成为
a3-b3=q
两边各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x.
除了求根公式和因 式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解
的，对于这类方程，可以使用二 分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高
等数学。

一元三次方 程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公
式的配方法只能将型如a x^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0
的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程
及特 殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的
形如 x^3+p x+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(13)+B^(13)型，即为两
个开立 方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面
的内容，也就是用p 和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(13)+B^(13)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(13)(A^(13)+B^(13))
（3）由于x=A^(13)+B^(13)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(13)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^( 13)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
(5)－3(AB）^（13）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式 化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A
和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于 形如ay^2+by+c=0的一元二次方程
两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（ba）,y1*y2=ca
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝ba，-（p3）^3＝ca
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(12)）(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(12)）(2a)
可化为
(11)y1＝－(b2a)-((b2a)^2-(ca))^(12)
y2＝－(b2a)+((b2a)^2-(ca))^(12)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝ba，-（p3）^3＝ca代入（11）可得
(12)A＝－(q2)-((q2)^2＋（p3）^3）^(12)
B＝－(q2)+((q2)^2＋（p3）^3）^(12)
(13)将A，B代入x=A^(13)+B^(13)得
(14)x=（－(q2)-( (q2)^2＋（p3）^3）^(12)）^(13)+（－(q2)+((q2)^2＋（p3）^3）^( 12)）
^(13)

后记：

一、(14)只是一元三方 程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦
达定理一元三次方程只要求出了其中 一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这
个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上 面，我做这项工作只是想考验自己的智力，
所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。
二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形
式为 x=A^(14)+B^(14)+C^(14),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求
出一元四 次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一
直没能完成这项工作。
三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直
接推理）求解不 出来的问题，换一个思维，用归纳法（及通过对简单和特殊的同
类问题的解法的归纳类比）常常能取得很 好的效果。事实上人类常常是这样解决
问题的，大科学家正是这样才成为大科学家的。