电子信息科学与技术就业方向-深圳市考试中心

一元三次方程求根问题
一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年 的问题，后
来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。目前，
我还不知道一 元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将
这个问题解决。
显然，所有的一元三次方程都可以转化为
x
3
+bx
2
+cx+d=0的形式，
先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式

A
3
B< br>3


AB

3A
2
B3AB
2


AB

3AB

AB
< br>
33
在这里令x=A+B，m=-3AB，n=-(A
3
+B
3
)，则上述公式转为
x
3
+mx+n=0
这便是一个特殊的一元三次方程。

33
m
3
AB
而


27

33


ABn
所以由一元二次方程的韦达定理得A
3
与B
3
是方程
m
3
yny0
的两根，
27
2
不考虑A与B之间的顺序，得

4m
2
2
nn

27

A
3


2


2
4m

nn
2

< br>3
27

B
2


1

nn
2
m
3
3
nn
2< br>m
3

故
xAB

24272427
3
在解二次方程时，可以通过配方的方法
将 ax
2
+bx+c=0
转化为

再将
x< br>b

4acb
2

a

x
< br>0

2a

4a

2
b
换元， 以达到消去一次项的目的。
2a
那么，在解x
3
+bx
2
+cx+d=0的过程中，是否也有类似的方法呢？
我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项，
b


b
2

b
3


c

x

d

得
xbxcx d

x





3


3

27


32
3
b


b
2


b


b c2b
3



c

d



x




x





333327






3
这就转为x
3
+mx+n=0的形式，带入刚才 得到的其求根公式，得
nnb
x
3
t
3
t

22 3
bc2b
3
b
2
n
2
m
3
27 d
2
b
2
c
2
18bcd4b
3
d 4c
3
,mc,t
其中
nd

327 3427108
以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而
一元三次方 程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只
在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。如果 考虑虚数，在复数的
范围内运算，一元三次方程应当有三个根。在上述方法中，另两个根
可能要 应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。
接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。
设刚才求出的根为x
1
=A+B,先考虑x
3
+mx+n=0形式的方程，

2

方程可化为 x
3
-3ABx-(A
3
+B
3
)=0
x
1
x
2
x
3
0


由韦达定理可 得

x
1
x
2
x
2
x
3
x
3
x
1
3AB


x
1
x
2
x
3
A
3
B
3

x
2
x
3
(AB)
代入x
1
=A+B，得


22
xxAABB

23
再由二次方程韦达定理逆定理可得，x
2
、x
3
为方程
z
2
(AB)z(A
2
ABB
2
)0
的 两根
(AB)3(AB)
2
(AB)3(AB)
解得
z


22

1313
xA B


2
22
不考虑x
2
与x
3
的顺序，得


1313

xAB
3

22

故方程x
3
+mx+n=0的解为

2323
nnmnnm

x
1

3
 
3

24272427


13i
3< br>nn
2
m
3
13i
3
nn
2
m
3




x
2
2242722427


13i
3
nn
2
m
3
13i
3
nn
2
m
3

x
3

2242722427


b c2b
3
b
2
n
2
m
3
27d
2
b
2
c
2
18bcd4b
3
d4c
3
,mc,
再代入
nd
，
3273427108
并将三个结果分别减去，便可得一般一元三次方程x
3
+bx
2
+c x+d=0
的三个根的求根公式，由于公式太长，就不列出来了，实际应用的时
候可以分步先求 出m
、
n，再求解。
以上方法通过多次换元得到公式，求得的公式非常繁琐，可能不
太常用，但我想这种换元的思路还是很重要的

3
b
3

4