中学代数研究---一元三次方程通解求法
代驾协议-防火标语
关于一元三次方程通解的解法
章君、何敏捷
（福建师范大学 数学系 福建
福州 350108）
【摘要】
本文主要讲解了针对于一元三次方程通解的解法，并由此推出
一元三次方程根的
判别式方法；
【关键词】
一元三次方程、通解、判别式
我们在中学已经学过对于一般的一元二次方程
ax
2
bxc0
（
a0
）
的通
解的解法，并且我们知道，针对于这样的一般性的一元二次方程，我们
可以用
多种解法来求得其解，比如，我们可以用求根公式法、因式分解法、配方法等
等各种不同
的做法来求得其解；这不禁让我们联想到，针对于一般的一元三次
方程
ax
3
bx
2
cxd0
（
a0
）
我们是否也可以通过像
求解一元二次方程的
那些做法来求得其解呢？显然，事实证明，对于一般性的一元三次方程是不能
用因式分解法、配方法来求解的，除非是比较明显的易于观察的一些方程，我
们一眼就能发现它存在某
一个特根，然后用多项式相除的办法进行将它分解，
然而对于一般性的一元三次方程是不能这样做的，也
不能直接给它配方，这就
要求我们用其它的方法来求得其解集；由一元二次方程的求根公式法中用到的<
br>韦达定理，我们联想到，是否可以先把一元三次方程化成一元二次方程，然后
也用韦达定理来求解
，事实证明这种猜想是行得通的，以下，我将介绍这种做
法的具体演算过程。
设有一般一元三
次方程
ax
3
bx
2
cxd0
（
a0<
br>）
，我们对它先进行化简，
目标是将它的二次项系数化为0，这种想法的由来是因为我们
通过实践发现无
二次项的一元三次方程比较容易求解，因此，我们想到先除去二次项，然后再
求解；具体做法是： 令
xyk
其中
k
是一个待定的常数， 将其代入原一般一
元三次方程
ax
3
bx
2
cxd 0
（
a0
）
中，得到：
a(yk)
3
b(yk)
2
c(yk)d0
展开并整理得到：
1
ay
3
(3kab)y2
(3k
2
a2bkc)y(ak
3
bk
2
ckd)0
---------○
取
k
3
bb
2
， 将其代入方程
○
1
并整理得：
，即
xy
---- ---○
3a3a
b
2
2b
3
bc
ay(c) y(d)0
， 两边同时除以
a
得到：
2
3a27a3a
1b
2
12b
3
bc
3
其中
p
d)
(c)
，
q(
ypyq0
--------○
2a27a3a
a3a
3
事实上，以上过程也证明了对于任意一个一元三次方程，我 们都可以将它
3
的这种形式，这样我们就可以直接求不含二次项的一元三次方程的化为上述○< br>3
的解求出来，就可以自然的求得最原始的一解了；接下来，我们只要将方程○
般的一元 三次方程的通解了；
3
式作变换，令
yuv
（其中
u
和
v
是未知数）我们再次将○，并将其代入
3
得到：
(uv)3
p(uv)q0
，化简后得到：
方程○
4
u
3
v
3
q(3uvp)(uv)0
--- -----○
4
中未知数的个数，因为我们用两个未知数
u
和
v代替了
y
，因此为了减少
○
5
，这样我们就可以得出
u v
我们不妨再要求
(3uvp)
=0 -----○
p
6，将其
------○
3
代入方程○4我们可以得到：
u
3v
3
q0
，从而我们就得到以下方程组：
p
uv
3
，即
33
uvq
33
33
p
3
uv
27
这样我们就可以利用韦达定理知道：
< br>u
3
v
3
q
2
p
3
0
的两个根；
u
和
v
可以看成是一元二次方程
zq z
27
从而我们利用一元二次方程的求根公式可以得到：
qq2
p
3
qq
2
p
3
3
，
v
u
24272427
3
23
qqp
从而
u
1
3<
br>
，
u
2
u
1
，
u
3
2
u
1
； 2427
qq
2
p
3
v
1
，
v
2
v
1
，
v
3
2
v
1
；
2427
3
（其中
13i
13i
2
，
）
2
2
由于
yuv
，所以将上式进行组合得到以下三个解：
y
1
u
1
v
1
，
y
2
u
1
2
v
1
，
y
3
2
u
1
v
1
容易发现
y
2
和
y
3
是一对共轭的
虚根，这与我们已学到的代数基本定理是一致的。而这三个解即为一元三次方程的通解；
通过以上过程我们知道，对于一般的一元三次方程，我们也可以利用韦达
定理
进行求其通解；关键点在于如何将一元三次方程化为我们熟悉的一元二次
方程，这是解题的关键所在，因
此我们要想办法去除一些项，然后再进行转化；
类似于一元二次方程的判别式做法，我们也引入一元三
次方程的判别式
q
2
p
3
D=
；由上述的三次方
程根的推导过程，我们知道D决定了根的性质。
427
1、 当D>0时，
u
3
和
v
3
是两不等的实根，方程○3有一个实根和两个共
轭的虚根
y
1
u
1
v
1
13
(
u
1
v
1
)i(u
1
v)
1
y
2
u
1
2
v
1
22
y
3<
br>
13
(u
1
v
1
)i(u
1
v
1
)
22
2、
q
当D=0时，这时u
3
v
3
，方程○3有三个实根，并且其中两个
2
实根相等
y
1
2
3
3、
q
，
y
2
y
3
2
3
q
2
当D<0时，这时
u
和
v
都是复数，并且是共轭复数，实际上由
qq
2
p
3
2427
p
3
p
27
3
p
3u
n
z
n
z
有：
u
3
3
qq
2<
br>p
3
i
2427
3
5
我们知道
v
现在我们证明
u
和
v
是共轭的：由方程○
pu
v
3
p
u
3
pu
uu
3u
2
pu
u
从而
u
和
v
是共轭的；
p
3()
3
设
u
1
sit
为
u的任意一个值，从而
v
1
sit
，因此
y
1
u
1
v
1
2s
13
y
2
u
1
2
v
1
(u
1
v
1
)i(u
1
v)
1
s3t
22
y
3
1
3
(u
1
v
1
)i(u
1
v
1)
s3t
22
为三个互异的实根。
以上就是根据一元
三次方程根的判别式来判断根的性质的，从上述整个过
程我们不难发现，对于一般的一元三次方程，其判
别式也是根据二次根号
里面的数只能为正这条性质来进行判定的，先判断其根（
u
和<
br>v
）是否为
实根或是虚根的情况，然后进一步判定
y
1
、y
2
、
y
3
的虚实情况；这样我们
就得出了一元三次方
程根的判别式方法。