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一元三次方程的解法

一元三次方程：只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次
方程，一元三次方程的一般形式是ax
3
+bx
2
+cx+d=0（a，b，c，d∈R且a≠0），下面来讨论一
下一元三次 方程求解的问题。

已知一元三次方程ax
3
+bx
2
+cx+d=0，求方程的根。

b
3
ac

b
2
2
b
3
9
abc
27
a
2
d
3
解：令x

y

，得
y

y
0
①
3
a
3
a
2
27
a
3
3ac

b
2
2
b
3
9
abc
27
a
2
d
3
y
3
my
2
n
0
② 令
3
m

，得
,2
n

23
3
a
27
a
3
经过换元，将原方程化为一 元三次方程的特殊形式（
x

px

q
0
），现 在求方程②
的根，
333333
令y=u+v，两边立方得
y(uv) uv3uv(uv)uv3uvy

y
3
3uvy(u
3
v
3
)0③


u
3
v< br>3
m
3
④
由②③式可得，

3

3

uv2n⑤
由④⑤式可知u
3
和v
3
为方程

2
2nm
3
0
的两根，
2n 2n
2
m
3
3
2n2n
2
m
3

u,v
22
3
yuv
3
nn
2
m
3

3
nn
2
m
3

令
a
3
nn
2
m
3
, b
3
n

y
1
ab


23
,
2
为1的立方根，则

y
2
a 
2
b
，
nm
，

2
yab< br>

3
cos
22134413
isin i
，

2
cosisini

3322332 2
3
ac

b
2
2
b
3
9abc
27
a
2
d
则
y

y
0
的根表示为
23
3
a
27
a
3
;.

.


y
1
ab

1313abab

y（-i）a（--i）b-3i⑥


2
222222


1313abab
i）a（- i）b-3i

y
3
（--
222222
由⑥可知 ，
① 当
n
2
m
3
0
时，方程有1个实根和2个共轭复根；
② 当
n
2
m
3
0
时，a，b是相等的两个实 数，方程有3个实根，其中有1个二重实根；
③ 当
n
2
m
3
0
时，方程有3个不相等实根。

以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出，常用的一元三次方程解法除卡尔丹公
式法外， 还有盛金公式法。
下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。

例题1：解方程x
3
-6x
2
+10x-8=0
解：令
x

y


例题2：解方程x
3
-12x+16=0
解：
Qn
2
m
3
=6464=0

 a
3
nn
2
m
3
=2
b
3< br>nn
2
m
3
=2
b
=y+2，得y
3
-2y-4=0
3
a
100
Qn
2
m
3
0

27

a
3131

,b
33

y
1
ab2




y
2
a
2
b1i


2


y
3
ab1i

x
1
y
1
24


原方程的解为

x
2
y
2
21i



x
3
y
3
21i






;.

y
1
ab 4




y
2
a
2
b2


2
yab2


3

x
1
y
1
4


原方程的解为

x
2
y
2
2


x
3
y
3
2

.
例题3：解方程x
3
-6x-4=0
解：
Qn
2
m
3
4840


方程有3个不相等实根
yuv
3
nn
2< br>m
3

3
nn
2
m
3
< br>3
uvi
3
uvi

令
ru
2v
2
,
v
tan

u
3
y
3
r(cos
2k2k
+isin)
33
 2k
,k0,1,2

3
r(cos
2k2k
-isin),k0,1,2

33
y2
3
rcos


3
y2r cos

1
3





y2
2
3
rcos



3
y2r cos

3

2

3
4
3
Qn
2
n
3
2i

3
y22i
3
22i,r22,tan1即=


4


3
x2rcos

1
3




原方程的解为

x
2
2
3
rcos



3
x2rcos

3

13

2
2
3
4
1
3
3
以上三个例题分别为方程根的三种情况，解一元三次方程的通法即 先将方程化为特殊形
式，再判断
n
2
m
3
的值属于哪一种 情况，根据公式求解即可。
;.