青浦区东方中学-春节放假通知范文

一元三次方程求解史话
数科院 08（1）肖云霞 06080124
一、 引言

庞加莱（法国）曾经说：“如果我们希望预知数学的将来，适当的途径是研究
这门科学的历史和现状。”了解历史才能更好的研究和促进数学学科的发展。通过
对一元三次方程求解 的公式的历史追溯，了解其曲折的发展过程，进一步洞悉一元
三次方程的求解公式及其在求四次方程中的 巧妙应用。
二、 方程的历史
2.1方程的起源
中国古代<九章算术>(8)方 程:线性方程组解法和正负术.是具有世界先驱意义
的首创.是世界古代著名数学著作之一.
十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统
的表示未知量和已知量的 符号以后,含有未知数的等式这一专门概念出现了,当
时拉丁语称它为英文为。 十七世纪前后,欧洲代数首次传进
中国,当时译为相等式. 由于那时我国古代文化的势力还较强,西方 近
代科学文化未能及时，在我国广泛传播和产生较少的影响,因此代数学连同相等
式等这些学科 或概念都只是在极少数人中学习和研究.
十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年, 李善兰和英国传教士伟烈
亚力,将英国数学家德.摩尔根的<代数初步>译出. 李.伟 两人很注重数 学名词的正
确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用.其
中,的 译名就是借用了我国古代的方程一词.这样,方程一词首次意
为含有未知数的等式.
187 3年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士兰雅
合译英国渥里斯的<代数学> ,他们则把译为方程式他们的意思是,方
程与方程式应该区别开来,方程仍指<九章算术>中的意思,而 方程式是指今有未
知数的等式华.傅的主张在很长时间里被广泛采纳。
2.1.1方程的定义
直到1934年,中国数学学会对名词进行一审查,确定方程与方程式 两者意义
相通
.
方程（英文：equation）是指含有未知数的等式,使等式成立 的未知数的值是
方程的解,如一元一次方程、二元一次方程等。，广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。数值函数即方程是在变量数学时期发展起来的，是从常量到变量的飞跃。
是数学发展中的 一次历史性的跨越。
2.2一元三次方程求解的历史
2.2.1一元三次方程求解的重要历史人物
人类很早就解决了一元一次方程与一元二次方程 的求解问题（在初一和初二就会
学习到有关内容），就是利用韦达定理求解一元二次方程，使其求解有固 定的公式
解决。但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的
数学 家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够
解决特殊形式的三次方程， 对一般形式的三次方程就不适用了。于是对一元三次方

程的求解使众多的数学家们陷入了 困境，许多人的努力都以失败而告终。
帕西奥利
1494年，意大利数学家帕西奥利对一 元三次方程进行过艰辛的探索，然后作出
极其悲观的结论，他认为在当时的数学中，求解一元三次方程， 犹如化圆为方的问
题一样，是根本不可能解决的，这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数< br>学家迎接挑战的号角。在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了
固定的求解方法 。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔达诺公
式”，这显然是为了纪念世界上第一位发 表一元三次方程求根公式的意大利数学家
卡尔达诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先 发现的呢？历史事
实并不是这样。 以此为序曲引出了我们要讲述的关于一元三次方程求解的历史。
费罗(Scipione del Ferro, 1465-1526)

费罗(Scipione del Ferro, 1465-1526)是一位大学教授，他在帕西奥 利作
出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了x³+mx=n这样一类缺项一元三次方程的求解公式.在求解一元三次方程的道路上，这是一个不小的成功。但出乎我们意料的
是，他并没有马 上发表自己的成果，与广为传播自己的成功相反，他对自己的解法
绝对保密！在当时有其原因，那时一个 人若想要保住自己的大学职位，必须在与他
人的学术论争中不落败因此，一个重要的新发现就成了一件论 争中处于不败之地的
有力武器最后直到其临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一杀手锏传给他 的
一个学生。这样他的学生菲奥尔以这一杀手锏的唯一传人在我们的历史中作为第二
个人物露面 了，菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫
耀于世，只不过他没能炫耀太久， 一个厉害的挑战者塔塔利亚(Niccolo Tartaglia
of Brescia, 1499-1557) 出现在他的面前。
塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, 1499-1557)

塔塔利亚这是我们历史中出场的第三个人物，其原 名丰塔纳。由于口吃的后遗
症得了塔塔利亚的绰号，意大利语就是口吃者的意思。那时他还只有13岁， 这位有
才能的顽强的少年主要通过自学的方式，在数学上达到极高的成就。1534年他宣称
自 己已得到了形如x³+mx²=n这类没有一次项的三次方程的解的方法。不久，菲奥尔
就听到了这个消 息， 二人相约在米兰进行公开比赛，双方各出三十个三次方程的问
题，约定谁解出的题目多就获胜塔塔 利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕，经过
多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的 解法。于是在比赛中，他只用了
两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目 却一题都
做不出来这样他以30:0的战绩大获全胜。这次胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣
誉。塔塔利亚为胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法。到1541年，终
于完全解决了三次 方程的求解问题或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一
步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的 缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发
表。
卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501 -1576)
卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501 -1576)，一位或许是数学史中最奇特的人
物他的本行是医生，并且是一个颇受欢迎的医 生，但其才能并没有局限于此，他在
各种知识领域里显示出自己的天赋，除了是一个极好的医生外，他还 是哲学家和数

学家，同时是一个占星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成果他行为 有些怪
异，性好赌博，人品看来也不太佳在他去世后一百年，莱布尼兹概括了他的一生：
卡尔达 诺是一个有许多缺点的伟人，没有这些缺点，他将举世无双。在我们历史中，
卡尔达诺正是一个将才能与 不佳的人品集于一身的人 。在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛
后不久，在此之前卡尔达诺对三次方程求解问题 已进行过长时间的研究，却没有得
到结果。于是可以想象得到他很想知道塔塔利亚的解三次方程的奇妙技 巧。为此他
多次向塔塔利亚求教一元三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了，但最终在卡
尔 达诺立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的求解
方法。 然而卡尔 达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，将三次
方程解法公诸于众，从而使自己在 数学界名声鹊起当然，其实卡尔达诺的《大术》
一书并非完全抄袭之作，其中也包含着他自己独特的创造 。然而，这种失信激怒了
塔塔利亚，1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失 信行为，
于是一场争吵无可避免地发生了一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去。
费拉里(Ludovico Ferrari, 1522-1565)
1548年8月10 日在米兰的公开辩论，使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公
开辩论中自己避不出席而是派遣了一位 学生出马这个学生的名字叫费拉里
(Ludovico Ferrari, 1522-1565)，费 拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆，主人发现
了他的出众才能，接受他为学生和助手。18岁时接替卡尔 达诺在米兰讲学。其最大
的贡献是发现四次方程的一般解法。现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要 报
答老师的知育之恩了。在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取
得优势，而 费拉里则指则对方不能解四次方程。最后以塔塔利亚的失败而告终。后
者宣称了自己胜利是由于卡尔达诺 最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三
次方程的解法至今仍被称为卡尔达诺公式，塔塔利亚之名 反而湮没无闻了。
2.2.2一元三次方程求解的具体方法
首先介绍一元二次方程的求根公式, 从这个韦达定理中, 人们受到启发,对一元
三次方程及一元四次方程进行求根公式的探索和发现。
①一元二次方程的解
对于一元二次方程的一般形式：ax²+ bx+ c= 0 ( a≠0)
化成平方形式变形得
a(x
b
2a
)c
2
b
2
4a
b
0
，即
(x

b 4ac
2
b
2a
)
2
b4ac
4a
2
2
，上式整
理得到
x
，这个就是对于一元二次
2a2a
2a2a
方程的公式解，即只要知道a,b,c的值，就得到一元二次方程的解。
b

b4ac
2
故有
x
②一元三次方程的解法
⒈ 一元三次方程的求根公式
用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根 公式的配方法
只能将型如
ax³+bx²+cx+d=0
的标准型一元三次方程形式化 为
x³+px+q=0(缺二
次项)
的特殊型。

一元 三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一
元二次方程及特殊的高次方程 的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的
形式。我归纳出来的形如x³+px+q=0的一元 三次方程的求根公式的形式应该为
xuv
型，即为
u
3
、v3
两个数开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的
形式，下一步的工作就是求出u、 v，也就是用p和q表示u和v。方法如下：
（1）将
x
3
uv
两边同时立方可以得到
333
（u+v）
（2）
x(uv)uv3uv

（3）由于
x
3
uv
,所以（2）可化为
333
33

x(uv)uv3uvx
,移项可得
（4）
x
3
3
3uvx （uv）0
,和一元三次 方程和特殊型
33
xpxq0
作比较，可知
(5)
p3uv,q(uv)
，变化形式得
（6）
p
3
27
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，< br>uv
，
(u
33
3
v)q

3因为
u
和
v
可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如a x²+ bx+ c=
0 ( a≠0)的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）< br>x
1
x
2

33
b
a
,
x
1
x
2

c
a
3

(9) 对比（6）和（8），可令
u
3
a
27a
(10)由于形如ax² + bx+ c= 0 ( a≠0)的一元二次方程的求根公式为
b
2a
3
x
1
,vx
2
，
p
3

c
，
q
b

x
b4ac
2a
3
2

将(9)中的
ux
1
,vx
2
，
x
2
p
3
27

c
a
，
q
b
a
，构造成一元 二次方程
qx
p
3
27
0
代入（10）可得
3
(11)由根与系数的关系知：
u
q
2

1
2
q
2
4p
27
3
，< br>v
3
q
2

1
2
q
2
4p
27
3

(12)由（11）可得u,v的三个解，即u,uw,uw
2
或v,vw,
vw
2
将u,v代入
xuv< br>得

(13)
u
0
(
q
222 7
2227
一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方< br>程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

1
q
24p
3
1
)
3
,
v
0
(
q

1
q
2
4p
3
1
)
3,只是一元三次方程的
⒉塔塔利亚发现的特殊一元三次方程的解法
设一元三次方程的特殊形式是 x³+px²+q=0（缺一次项）,那又该如何求解
呢？
这种 方程更接近于一般方程的求解。塔塔利亚将这种方程通过变量平移
的形式，转化成缺二次项的形式，具体 操作如下：

如果作一个横坐标平移
xt
b
3a
,那么我们就可以把方程的二次项消
b
3a
去。所以我们只要考虑形如
x ³+px+q=0(缺二次项)
的一元三次方程（上面已经解决）。
假设对于一般方程
ax³+bx²+cx+d=0
的解x可以写成
xt
里t是待定的参数。
代入方程，我们就有
a(t

t
3
的形式，这< br>b
3a
3
)b(t
2
3
b
3a
)c(t
2
b
3a
)d0
整理得到

3a cb
3a
3
2
2
t
2b9abc27ad
27a
2
3
0
即
由一元三次方程根的求解公式可
2< br>知，
2b9abc27ad
27a
3
,
q
2b 9abc27ad
27a
3
3
,转化成
tptq0
3
的形式，由（11）中的公式一定可以解出t，进而得到x,再由
xt
b3a
求出一
般的一元三次方程的根。即缺一次项的一元三次方程（c=0）均可转化为缺二 次项
的一元三次方程，进而利用已经得到的求根公式求解。这一求解至今仍有着广泛的
应用，则 关于x的一般一元三次方程
ax³+bx²+cx+d=0（
a0
）的三个根分别设
为
x
1
,x
2
,x
3
，则
x1
x
2
x
3

b
a
，
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3x
1

c
a
，
x
1
x
2x
3

d
a
，
此结论概括了一元三次方程的根与系数 关系，亦称为韦达定理。此式作为一元二次
方程的韦达定理有很广泛的应用，在思维上有一定的灵活性和 深广度（现代人根据
塔塔利亚的解法归纳出的）。
3.一元三次方程的应用
费拉里 发现的一元四次方程的解法，可以归结为一元二次和三次方程进行计算。

完全按照一般的 数学解决问题的思维模式，将高次问题转化为低次问题，利用已有
的求根公式进行求解。
一元四次方程的一般形式为
uxaxbxcxd0
，
为简便起见 ，考
虑系数u=1的情形，若
u1
，总可以除以u，使之转化为最高次项系数为1的 情形。
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式，这样就可以降次，进而利用
已有 的公式求根，得到方程的解。步骤如下：
（1） 移项得
xax(bxcxd)
目标是降次，先将左式配成
完全平方得到
432
432
xax(x)xbxcxd
， （2）
24
即是
(x
2
43
a
2
a
2
22
a
2
x)
2
a
2
4
x)t
2
xbxcxd
现在再想办法把右式配成完全
t
2
22平方，不妨添上一些项，把右边的式子也转化成完全平方，如下：
（3）
(x
2
a
2
x)(x
2
22
a
24
( x
2
a
2
x)t
t
2
4

a
2
4
xbxcxd
，即是
22
(x
就< br>3
2
a
x)(bt)x(c)xd
（*）若使右式成 为完全平方式，
22424
(
2
ta
2
att
2
是
at
2
c)4(
2
2
a
2
4
bt)(
2
t
2
4
d)0
，化简得到
tbt(ac4d)t(ad4bdc)0
为一元三次方程，则由一元三次方程的公式解得到t的三个解。其中一个设为
t
0
，代入（*）式得到，（*）式 可以
转化成形如
(

x

)
，那么等式就转化成
(x
平方的性质就可以得到
x
2
2
2
a
2
x
t
0
2
)(

x

)
，这样，由
22
a
2
x
t
0
2
(

x

)
，又转化为一元二次方程的求解，
利用 一元二次方程的根的求解公式即韦达定理可得到x的解，于是一元四次方程解
也求出来了，且具有一般的 求解公式形式。
三、小结
从一元低次方程到一元高次方程的求解，经历了很漫长的道路。正 如“路漫漫
其修远兮，吾将上下而求索”这句名言一样，数学的美就在于孜孜不倦的对数学真
理 的追求。正是有一些人对数学的痴迷和热爱，才有数学今天如此巨大的发展和进
步！通过数学的发展历史 ，不仅了解数学的美和它已经拥有的成就，更进一步的是
热爱数学，为数学的大楼添砖加瓦，是数学的美 让更多的人认可和发现！

四、参考文献
【1】藏殿高，应用一元三次方程韦达定理解题，中等数学（High school
Mathematics），2011,2
【2】Euclid,几何原本
【3】王凤春，圆锥曲线史话，数学通报，2010，9
【4】徐章韬，三角学历史发展中的认识视角的变迁及其教育意蕴，2009，3



2011年4月13日