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浅谈解一元三次方程
浅谈解一元三次方程
江苏省泰州中学 袁蕴哲
一、由几个方程引出的讨论
解下列方程：
1、x-1=0
2、x
2
-1=0
3、x
2
+1=0
4、x
3
-1=0
易知，方程1的解为x=1，方程2的解为x=±1，方程3无实数根，方程4的解为x=1。
对于2、3两个一元二次方程，有根的判别式Δ=b
2
-4ac，根据Δ的正负来判断方程根 的个数。
那么，对于形如ax
3
+bx
2
+cx+d=0的方程，我 们要判断根的个数，最好的方法就是图像法：令
f(x)=ax
3
+bx
2< br>+cx+d，可直观地看出f(x)的零点数，就是方程的根。
如方程5x
3
+x
2
-6x+1=0（见下图），易知，该方程有三个根。

将此函数平移，可得到与x轴分别有1个、2个、3个交点，说明任意一元三次方程可
能有1～3个实根。
我们可以得到下表：（均不含字母系数）
方程种类
一元一次方程
一元二次方程
一元三次方程
即：一元n次方程最多有n个实根。

再来看方程3，可移项为x
2
=-1，两边开方，得到

。负数的偶次方根是没有意
义的，但为了使这个方程有解，我们规定

，就有i
2
=-1。易知，原方程的解就为x=±i。
由于数i没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把i称为虚数
实根个数
1
0、2
1、3

浅谈解一元三次方程
(imaginary number)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数(real
number)。
规定了虚数以后，类似x
2
+1=0的方程也可以解了，而且有2个根。

二、解高次方程的数学史话
一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以 给出，塔尔塔利亚、
卡当（也译作卡尔丹）、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献。
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯
洛·冯塔纳 。 冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努
力，终于自学成才，成 为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，
所以当时的人们昵称他为“塔尔塔 利亚”， 也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数
学书中，都直接用“塔尔塔利亚”来称呼冯塔纳。
经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形
式的求根 方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是塔
尔塔利亚不愿意将他的 这个重要发现公之于世。
当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣。 他几次诚恳
地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式。后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如同咒< br>语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当。卡当通过解三次方程的对比实践，很快就
彻底 破译了塔尔塔利亚的秘密。
卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》 中，但并未提
到塔尔塔利亚的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解
方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式”。
塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后 非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学生
费拉里应战。费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上 ，进一步研究了一元四次方程的解
法。由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了。
后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么
此方程 不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是阿贝尔定理。
高次方程求解的工 作就此告一段落。
值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复 数
的概念，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

三、复数与一元方程的解
将实数与虚数相加，就得到复数(complex number)，一般用z表示，可写作：
z=a+bi
其中a为复数的实部，b为复数的 虚部。当b=0时为实数，a=0，b≠0时为虚数，又叫纯
虚数。由此，数的概念又扩展了一步：从实 数集到复数集（用C表示）。表示如下：

自然数
正整数



有理数

整数


负整数
实数


复数

分数




无理数



虚数

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由

，可得：
i
4n+1
=i，i
4n+2
=-1，
i
4n+3
=-i，i
4n
=1。
这就是关于i的运算。 观察复数a+bi，与多项式类似，所以复数的计算法则也与多项式
类似，只是计算i的乘方时要换算成 对应值。
如：(1+6i)(4-2i)=4-2i+24i-12i
2
=16+22i。

有了关于复数的定义与运算，让我们再来看一看方程问题。对于一元二次方程，如果Δ<0，
Δ开根后应是一个虚数，可用

来表示，那么方程的两根就应该是：






所以，Δ<0 的一元二次方程，也有两个根，只不过这两根是在复数集上的。三次方程又
是如何呢？我们以方程4为例 ， x
3
-1=0。左边运用公式，化为：
(x-1)(x
2
+x+1)=0
易得：x-1=0（I）或x
2
+x+1=0（II）
方程（I）解得：x=1
方程（II）运用上面的结论，得：





所以方程竟有三解！并不是一眼看上去的一解。考察其他三次方程，结论不变，可得下
表：

方程种类
一元一次方程
一元二次方程
一元三次方程
根个数
1
2
3
也就是一元n次方程在复数集上有n个根。它的推广就是著名的代数基本定理。
代数基本定理：任何复系数一元 n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)。

四、解一元三次方程
下面我们来研究解一元三次方程的方法
 卡当公式
这是解普通一元三次方程的最常用的方法。但是比较繁琐，需要多次开根运算。下面是
解二次项系数为 0的三次方程的卡当公式：

 盛金公式
盛金公式是近年来比较广为使用的解法 ，由我国的范盛金推导出而得名。其最大特点就

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是判别式的形式简便，较卡当公式容易记忆。
重根判别式：A=b
2
－3a c；B=bc－9ad；C=c
2
－3bd，
总判别式：Δ=B
2
－4AC
 因式分解
因式分解法是解方程 的另一有效方法。易知，任意三次方程都可以分解成
(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,(x 1,x2,x3∈C)的形式，那么x1,x2,x3就是它的三个根。
例：解方程x
3
+3x
2
+3x+1=0
解：因式分解可得：
(x+1)
3
=0
∴x1=x2=x3=-1
 试根法
这是笔者的数学老师，也几乎是所 有数学老师最推崇的方法。原因是在许多实际题目中，
为了减小计算量，常常有一根是0、±1、±2， 所以我们可以把这几个数带进去试，大多数情
况都能得到一个根。然后用多项式除法，把三次式化成一个 一次式和一个二次式相乘的形式，
这样就相当于解二次方程了。
 求导法
众所周 知，求导求到的是函数的驻点，而无法判断零点，也就是说，不能通过求导来解
三次方程，不过，笔者认 为，我们却可以借求导来判断函数根的情况。
(ax
3
+bx
2
+ cx+d)’=3ax
2
+2bx+c，Δ=(2b)
2
-4×3ac 当Δ>0时，设函数的两个驻点是x1,x2，易知x1x2>0时，方程有一实根；x1x2=0时方程< br>有三实根，其中一对重根；x1x2<0时方程有三实根。

当Δ≤0时，函数单调，方程只有一个实根。

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（指导老师：杨子圣）