鲁滨孙漂流记读后感-2010考研英语一真题

以複變函數求解一元三次方程式的根
Solving roots of cubic equation using complex variable
一、 理論推導：
若給定一個一元三次方程式：
Ax
3
Bx
2
CxD0
（1）
將（1）同除
A
可化簡成：
x
3
ax
2
bxc0
（2）
其中
a
、
b
與
c
均為實數。
a
在以平移的概念將
x
X
代入（2），則可得：
3
X
3
+QX+R=0
（3）
此式型態與三角函數中的三倍角公式相似：
31
cos
3
(
)cos(

)cos(3

)
（4）
44
31
3
sin(

)sin(
)sin(3

)
（5）
44
故需將（3） 式中的
X
3
+QX
假設成此型式，便可利用複變函數的觀
念將此一元 三次方程式代入正弦或餘弦的三倍角公式。然而
Q
未必
3
等於
，為了實現此想法則需再利用複數伸縮的觀念將
X=SY
代入
4
（3）式 ，而得：
S
3
Y
3
+QSY+R=0

QR
即：
Y+
2
Y
3
（6）
SS
3

1

4
其中
S
2
Q

3
若
Q<0
，則
S
將變成實數。
若
Q> 0
，則
S
將變成複數，透過此複數伸縮的操作，可將一元三次方
程式轉變成三 角複變問題，便可求解：
4R
（7）
3
S
4R
sin(3

)=
3
（8）
S
cos(3

)
其反函數分別為：
cos (z)
1

2
+iln(iz1z
2
)
（9）
sin
1
(z)iln(iz1z
2
)
（10）
故利用（9）與（10）式可推得

的三個解，再利用
Y=cos (

)
與
a
Y=sin(

)
；
X=SY
以及
xX
的關係逐一逆推，即可得此一元三
3
次方程式 的三根。
以上是將一元三次方程式透過伸縮平移與正餘弦三倍角公式來
求解，由於雙曲三角函 數與三角函數相似，故嘗試是否可以利用雙曲
正餘弦來求解
首先利用雙曲三角函數中的三倍角公式
31
cosh
3
(

)cosh(

)cosh(3

)
（11）
44

2

31
sinh
3< br>(

)+sinh(

)sinh(3

)
（12）
44
QR
（11）（12）相似於（6）式中的
Y
3
+
2
Y
3

SS
4
2
即
SQ

3
4
S
2
Q

3
便將一元三次方程式轉變成雙曲函數問題
cosh(3

)
4R

3
S
4R
sinh(3

)
3

S
其反函數為
cosh(z)iln(iz1z
2
)
（15）
2
sinh
1
(z)ln(z1z
2
)
（16）
1

故利用（15）與（16）式可推得

的三個解， 再利用
Y=cosh(

)
與
a
Y=sinh(

)
；
X=SY
以及
xX
的關係逐一逆推，即可得此一元 三
3
次方程式的三根。

3

x
3
ax
2
bxc0

逆推求其三根
cos
1
(
4R

p
x+X

平移

3
x
3
QxR0

14R4R
)

+iln[i()1()
2
]
2
S
3
S
3
S
3
SS

伸縮
4R4R4R
sin
1
()iln[i()1()
2
]
333
Scosh
1
XSY

14R4R
2
()
iln[i()1].

333
2
SSS
4R
4R
S
3
)ln[(
4R
S
3
) 1(
4R
2
)].
3
S
sinh
1
(
QR
Y
2
Y
3

SS
3
反三角函數
4R4Q
3
Ycos(
< br>)
S
3
4R4Q
sin(3

),S
3
S
3
4R4Q
cosh(3

),S
3

S
3
4R4Q
sinh(3

),S 
3
S
3
cos(3

),S
三倍角公 式 令
Ysin(

)
Ycosh(

)

Ysinh(

)
解一元三次方程式流程圖







4

三、範例說明
範例一、
x
3
10
：
令
xcos(

)isin(

)

則原式可轉化為：
cos(3

)isin(3

)1

co s(3

)isin(3

)cos(

)isin (

)

可得：
3

(12n)

,n0,1,2,...




5
3
、

、
3


則：

x

13
1
cos(3
)isin(
3
)
2

2
i

x
2
cos(

)isin(

)1

x
5

5

1
3< br>cos(
3
)isin(
3
)
3
2

2
i
範例二、
x
3
6x
2
11x6 0

首先令
xX
a
3
x
2
代入上式
(X2)
3
6(X2)
2
11(X2)60

化簡後得：
X
3
X0

令
XSY
，可得知：
Y
3

1
S
2
Y0

假設13
2
3
3
S
2

4
，則
S
3
，可將上式轉化成
Y
4
Y0

5

令
Ycos(

)
，則原式變為：
cos(3

)0

可得知：
3

(
1
2
2n)

,n0,1, 2,...

Y
1
cos

35

3< br>6

2
,Y
6

2
,Y
9

2
cos
3
cos
6
0

利用複數伸縮
X=SY
可得知：
X
32
1
2
3
1,X
32
2
3
1,X0
2
23
3
0

利用平移
x
X

a
3
可得知：
x1
123,x
2
121,x
3
022.

若改令
Ysin(

)
，則原式變為：
sin(3

)0

則：
3

2n

,n0,1,2,...

同理依序可得知：
Y
1
sin(0)0,Y
2
si n(
2

3
)
3
2
,Y
4
< br>3
3
sin(
3
)
2
X
2
1
0
3
0,X
3232
2

2
3
1,X
3

2
3
1

x
1022,x
2
123,x
3
121



6

若改令
Ycosh(

)
，則原式變為：
cosh(3

)0

則：
1
3
< br>(2n)

i,n0,1,2,...

2
同理依序可得知：
Y

6
)
3
2< br>,Y
5

39

1
cos(i
2
cos(
6
i)
2
,Y
3
cos(
6i)0

X
2
1

3
2
3
1,X
32
2
3
1,X0
2
23
3
0

x
1
123,x
2
12 1,x
3
022


若改令
Ysinh(

)

即
13
2
S
2

4
,，
S
3
i
，可將上 式轉化成
Y
3

3
4
Y0

原式變為
sinh(3

)0

則：
3

2n

i,n0,1,2,...

同理依序可得知：
Y
i
1
sinh(0)0,Y
2< br>sinh(
2

3
)
3
2
i,Y
4

i3
3
sinh(
3
)
2
i
X
3
0,X
3232
1
0
2
2

2
3
1,X
3

2
3
1
x
1
022,x
2
123,x
3
121


7

範例三、
x< br>3
2x
2
2x10
：
首先令
xX
a2
x
代入上式
33
222
(X
3
)
3
6(X
3
)
2
11(X
3
)60

化簡後得：
X
3

27
3
X
27
0

令
XSY
，可得：
Y
3

2< br>3S
2
Y
7
27S
3

假設
2 3
3S
2

4
，則
S
22
3
i
，可將上式轉化成
Y
3

3
4
Y
72
32
i

令
Ycos(

)
，則原式變為：
cos(3

)
72
8
i

則：
3




726498
2
iln(
8
)



14n
6

1
2
iln2,n0,1,2,...

可知：
Y

36
1
cos(
6
iln2)
8

2
8
i

Ycos(
5

6
iln2)
362
2
8

8
i

Y
3
cos(
9

6
iln2)
i
22


8

利用複數伸縮
X=SY
可得知：
362221
X< br>1
(
8

8
i)
3
i
6
(133i)
X
362221
2
(
8

8
i)
3
i
6
(133i)

X
i22 1
3

22
3
i
3
利用平移
xX

a
3
可得知：
x
1213
1

6
(133i)
3

2

2
ix
1213
2

6
(133i)
3
< br>2

2
i

x
12
3
3

3
1

若改令
Ysin(

)
，則原式變為：
sin(3

)
72
8
i

則：
3

i
ln(

72

64988
)



2n
6

iln2,n 0,1,2,...

可知：
Y
i
1
sin(0iln2)
22

Y362
2
sin(

3
iln2)
8

8
i

Y
3
sin(
2

3< br>iln2)
362
8

8
i


9

利用複數伸縮
X=SY
可得知：
221iX
1

22
3
i
3
X
36222
2
(
8

8
i)
3
i
16
(133i)

X
36
3
(
8

2
8
i)
22
3
i
1
6
( 133i)
利用平移
x
X

a
3
可得知： < br>x
12
1

3

3
1
x13
6
(133i)
21
2

3
2

2
i

x
1213
3

6
(133i)
3

2

2
i

若改令
Ycosh(

)
，則原式變為：
cos(3

)
72
8
i

則：
3



72

64

98
2
i
ln(
8
)



4n 1
6

i
1
2
ln2,n0,1,2,...

可知：
Ycosh(

36
1
6
iln2)
8

2
8
i

Y
3

i
2
cosh(
6
iln2)
22< br>
Y
7

i
3
cosh(
6
l n2)
362
8

8
i

10

利用複數伸縮
X=SY
可得知：
362221
X< br>1
(
8

8
i)
3
i
6
(133i)
X
i221
2
22
3
i
3

X
3
(
362221
8

8
i)
3
i
6
(133i)
利用平移
x
X< br>
a
3
可得知：
x
1213
1

6
(133i)
3

2

2
i
x< br>12
2

3

3
1

x< br>1
6
(133i)
2
3

1
2

3
3
2
i

若改令
Ysinh(

)

即
23
3 S
2

4
，
S
22
3
，
可將 上式轉化成
Y
3

3
4
Y
72
32< br>原式變為
sinh(3

)
72
8

則：
3


ln(

72

6498
8
)



2n
3

iln2,n 0,1,2,...

可知：
Y
1
sinh(0ln2)
1
22

Y< br>2

i
2
sinh(
3
ln2)
23 6
8

8
i


11

4

236
Y
3
sinh(ln2)i

388
利用複數伸縮
X=SY
可得知：
X
1

X
2
(
X
3
(
1221

3
22
3
236221
i)(133i)

8836
236221
i)(133i)
8836
a
利用平移
x
X

可得知：
3
12
x
1
 1
33
121
x
2
(133i)
632121
x
3
(133i)
632
3
i
2
3
i
2
以上三例，均為實係數方程式透過三個根得平移及複 數伸縮操作求其
三個根，故嘗試此方法是否可以解複數方程式。

範例四、
x
3
(2i)x
2
(22i)x(02i)0

首先令
xX
a(2i)
代入上式
x
33(2i)
3
(2i)
2
(2i)
[x]6[x ]11[x]60

333
化簡後得：
21422
X
3
(1i)X(i)0

32727
令
XSY
，可得：

12

32iY22i141
)
2
()
3

3S27S
32i132
假設
(
，則
S)
2
32i(0.3668341.21157i)
=
3S43
Y
3
(
3711i
可將上式轉化成
Y
3
Y

4
4(32i)
3

令
Ycos(

)
，則原式變為：
cos(3

)
711i
(32i)
3
1.810570.59 0524i

則：
3

0.3638461.28004i



2n

(0.12122820.42668),n0,1,2,...

3
可知：
Y
1
cos(0.12128 20.42668i)1.084390.0532024i
Y
2
cos(2 .215680.42668i)0.6566550.351431i
Y
3
cos(4.310070.42668i)0.4277370.404634i

利用複數伸縮
X=SY
可得知：
X
1
(1.08439 0.0532024i)(0.3668341.21157i)0.3333331.333333 i
X
2
(0.6566550.351431i)(0.3668341. 21157i)0.6666670.666667i
X
3
(0.4277 370.404634i)(0.3668341.21157i)0.3333330.66666 7i
a
利用平移
x
X

可得知：
3
2 1
x
1
(0.3333331.333333i)(i)1i
33
21
x
2
(0.6666670.666667i)(i) 0i

33
21
x
3
(0.3333330.66 6667i)(i)1i
33

13

令
Ysin(

)
，則原式變為：
si n(3

)
711i
(32i)
3
1.810 570.590524i

則：
3

1.206951.28004i



2n

(0.4023170.42668),n0,1,2,...

3
可知：
Y
1
sin(0.4023 170.42668i)0.4277370.404634i
Y
2
sin (1.692080.42668i)1.084390.0532024i
Y
3
cos(3.786470.42668i)0.6566550.351431i

利用複數伸縮
X=SY
可得知：
X
1
(0.4277 370.404634i)(0.3668341.21157i)0.3333330.66666 7i
X
2
(1.084390.0532024i)(0.3668341. 21157i)0.3333331.33333i
X
3
(0.656655 0.351431i)(0.3668341.21157i)0.3333330.666667i
a
利用平移
x
X

可得知：
3
21< br>x
1
(0.3333330.666667i)(i)1i
33
21
x
2
(0.3333331.333333i)(i)1 i

33
21
x
3
(0.6666670.6666 67i)(i)0i
33
綜整以上四例，依照
cos(

)
，
sin(

)
，
cosh(

)，
sinh(

)
其求解過程與
三個根得平移及複數伸縮操作， 並且整理成表如下。


14

實係數一元三次方程式
範例一
x
3
10

(0,0,1)

複數一元三次方程式
範例三 範例四
x
3
(2i)x
2
(22i)x(02i)0

範例二
x
3
6x
2
11x60

(6,11,6)

(-1,0)

(a,b,c)

(Q,R)

x
3
2x
2
2x10

(2,2,1)

27
(,)

327
(2i,22i,2i)

32i22i14
(,)

327
(0,1)

S

NA

2

3
0

4

22
i

3

2
32i

3
711i
(3 2i)
4
cos(3

)

1

NA

2

7
i

8
4

3

2
2
2
Y

-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4
NA

伸
縮

4
2

伸
縮

-4
伸
縮
4
2

-4


4
2
X

-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4
2
平
移
4
2
平
移

4
2

-4
平
移

-4


1.5
4
1
2
x

0.5
-2-1.5- 1-0.5
-0.5
0.511.5
-4-2
-2
2-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-1
-1.5
-2

-4

-4

-4






15

實係數一元三次方程式
範例一
x
3
10

(0,0,1)

複數一元三次方程式
範例三 範例四
x
3
(2i)x
2
(22i)x(02i)0

範例二
x
3
6x
2
11x60

(6,11,6)

(-1,0)

(a,b,c)

(Q,R)

x
3
2x
2
2x10

(2,2,1)

27
(,)

327
(2i,22i,2i)

32i22i14
(,)

327
(0,1)

S

NA

2

3
0

4
22
i

3
2
7i

8
4

2
32i

3
711i(32i)
4
sin(3

)

1

NA


3

2
2
2
Y

-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4
NA

伸
縮

4
2

伸
縮

-4
伸
縮
4
2

-4


4
2
X

-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4
2
平
移
4
2
平
移

4
2

-4
平
移

-4


1.5
4
1
2
x

0.5
-2-1.5- 1-0.5
-0.5
0.511.5
-4-2
-2
2
-4- 2
-2
2
-4-2
-2
2
-1
-1.5
- 2

-4

-4

-4







16

實係數一元三次方程式
範例一
x
3
10

(0,0,1)

複數一元三次方程式
範例三 範例四
x
3
(2i)x
2
(22i)x(02i)0

範例二
x
3
6x
2
11x60

(6,11,6)

(-1,0)

(a,b,c)

(Q,R)

x
3
2x
2
2x10

(2,2,1)

27
(,)

327
(2i,22i,2i)

32i22i14
(,)

327
(0,1)

S

NA

2

3
0

4
22
i

3
2

7
i

8
4

2
32i

3
711i(32i)
4
cosh(3

)

1

NA


3

2
2
2
Y

-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4
NA

伸
縮

4
2

伸
縮

-4
伸
縮
4
2

-4


4
2
X

-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4
2
平
移
4
2
平
移

4
2

-4
平
移

-4


1.5
4
1
2
x

0.5
-2-1.5- 1-0.5
-0.5
0.511.5
-4-2
-2
2
-4- 2
-2
2-4-2
-2
2
-1
-1.5
-2

-4

-4

-4







17

實係數一元三次方程式
範例一
x
3
10

(0,0,1)

複數一元三次方程式
範例三 範例四
x
3
(2i)x
2
(22i)x(02i)0

範例二
x
3
6x
2
11x60

(6,11,6)

(-1,0)

(a,b,c)

(Q,R)

x
3
2x
2
2x10

(2,2,1)

27
(,)

327
(2i,22i,2i)

32i22i14
(,)

327
(0,1)

S

NA

2
i

3
0

4
22

3


2
32i

3
711i
(32i)
4
sinh(3

)

1

NA

2


7
8
4

3

22
2
Y

-4-2
-2
2-4-2
-2
2
-4-2
-2
2
-4
NA

伸
縮

4
2

伸
縮

-4
伸
縮
4
2

-4


4
2
X

-4-2
-2
2-4-2
-2< br>2
-4-2
-2
2
-4
2
平
移

4
2
平
移

4
2

-4
平
移

-4


1.5
4
1
2
x

0.5
-2-1.5- 1-0.5
-0.5
0.511.5
-4-2
-2
2-4-2
-2
2-4-2
-2
2
-1
-1.5
-2

-4

-4

-4





18