西餐礼仪-牛津大学校训

三次方程是未知项次数为3的整式方程，一般形式為
，
其中, ,和 ()是屬於一個域的數字，通常這個域為R或C。
历史
波斯数学家欧玛尔·海亚姆（104 8年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明
了怎样用这种几何方 法利用三角法表得到数字式的答案。
中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数 书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高
次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常 为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出
统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中 去。这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许
多。现在，这种方法被后人称为“秦九 韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定
理、定律和解题原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了只能解一种三次方程的方法，也就是形如的方程。 事实上，
如果我们允许, 是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。 费罗一直保守着
这个秘密，直到死之前才把它告诉了他的一个学生。塔塔利亚（Tartaglia）听 说了这件事并很快自己找到了一种
方法。他把他的方法透露给了卡尔丹诺，后者把它发表在《数学大典》 （又名《大術》，1545年）上。
卡尔丹诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给负数开平方。他甚至 在《数学大典》裡包括了这些複數的计算，但他
并不真正理解它。拉斐罗·邦别利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现
者。
三次方程解法
求根公式

由此可簡化成,


红色字体部分为判别式, 当
方程有三实根.
时，方程有一实根和两共轭复根； 当时，方程有三重实根； 当时，

三角函数解





卡尔丹诺的方法

令為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個 根，然後把方程
得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。
除以，就
在一個代數封 閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。
解方程步驟：
把原來方程除以首項係數，得到：

，其中，，。

代換未知項
的項。故得：
，以消去二次項。當展開，會得到這項，正好抵消掉出現於
，其中和是域中的數字。

；

。
。
。
。
。 記
展開：
重組：
分解：
。前一方程化為
因為多了一個未知項（和 代替了），所以可加入一個條件，就是：
，由此導出。

設和。我們有和因為。所以和是輔助方程
的根，這方程我們已會解出。

接下來，和是和的立方根，適合，
和
，最後得出
，當然還有和
。
，其中是單位的立方在域裡，若和是立方根，其他的立方根就是
根。
因為乘積固定，所以可能的是，和。因此三次方程的其他根是
和
判别式
。
最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是個 。所遺
漏的根都在裡，就是的代數閉包。其中差異出現於和的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似 問題。
可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式，



若
若
若
，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。
，至少有一對實重根：1：三重實根，或2：一個二重實根和一個單實根。
，有三個實根：

其中 。
和的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號。注意到至少有一實 根存在，這是因為非常數多項式在
由於多項式是連續函數，從介值定理知道它在某點的值為。
第一個例子
解
我們依照上述步驟進行：
。




（全式除以）
設，故
，，
，代換：
。設和。和是
，再展開
的根。
。
和
和
，
。
t
=
x
− 1 =
u
+
v
− 1，

该方程的另外两个根：
，
，

第二个例子
这是一个历史上的例子，因为它是邦别尼考虑的方程。
方程是
从函数
。
算出判别式的值
，，
，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。
。 首两步都不需要做。做第三步：
和
和是
。
的根。这方程的判别 式已算出是负数，所以没有实根。很吊诡地，这方法必须用到复
数求出全是实数的根。这是发明复数的一 个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。
我们解出和。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角
。 除以取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部： 现设

等价于：
（实部）
（虚部）
（模）
得到
归结得
其他根是
和，也就是，而是其共轭：。
，可以立时验证出来。
和。
当是负，和共轭，故此和也是（要适当选取立方根，记得
。

）； 所以我们可确保是实数，还有和

极值
驻点的公式
设
将其微分，可得
极值

设，可得在中的极值（极大或极小值）,。

将代入，可得的极值


拐点

设，可得中的拐点。

驻点的类型
从二阶导数测试，
, 在
, 在
, 在

，
可见如：
，的驻点为极小值；
，的驻点为极大值。
，的驻点为拐点。

中是极大值；
中是极小值；
中是一个拐点。