2017年全国两会-淮阴师范学院招生网

一元三次方程的盛金公式解题法


教学目标：
1、了解盛金公式及学会用盛金公式求一元三次方程的解。
2、熟悉盛金公式的应用。
教学重点：
1、一元三次方程的重根判别式及四个盛金公式
2、盛金公式法及盛金定理
3、用盛金公式公式求一元三次方程的解
教学难点：
用判别式的值来选择相应的盛金公式求解。
教学过程：
1、复习引入
初中我们学过一元一次方程及一元二次方程，并且我们都会求它们的解。在高中
我们也有接触过一元三次 方程，对于求它的解我们采取的是因式分解的方法，但
对于这个方法比较麻烦及困难，所以今天我们来学 校一种更直观更快捷的方法----
盛金公式法
2、探索新知
一元三次方程的一般形式
aX
3
bX
2
cXd0
，

a,b,c,d
Ab
2
3ac
；

且R,a

0
重根判别式
Bbc9ad
；
Cc
2
3bd
，
4AC
总判别式
B
2

。
当
AB0
时，盛金公式①：
X
1
X
2
X
3

当
B
2
4AC
＞
0
时，盛金公式②：
bc3d

。
3abc
b
3
Y
1

3
Y
2
；
X
1
3a
X
2,3

2b
3
Y
1
< br>3
Y
2
3
6a

3
Y
1

3
Y
2
i

,

BB
2
4AC
其中
Y
1,2
Ab3a


2



，
i
2
1
。


当
B
2
4AC0
时，盛金公式③：

X
1

b
K
；
a
1
X
2
X
3
K
，
2
其中
K
B
，

A0

。
A
当
B
2
AC
＜
0
时，盛金公式④ ：
b2Acos
X
1

3a

3
；
X
2,3


bA

cos3sin< br>
33


，
3a
2Ab 3aB
2A
3
其中

arccosT
，
T， （
A
＞
0
，
1
＜
T
＜
1
)
盛金判别法
①：当
AB0
时， 方程有一个三重实根；
②：当
B
2
4AC
＞
0
时，方程有一个实根 和一对共轭虚根；
③：当
B
2
4AC0
时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当
B
2
4AC
＜
0
时，方程有三个不 相等的实根。
盛金定理
c0
时， 当
b0
，盛金公式① 无意义；当
A0
时，盛金公式③无意义；当
A0
时，盛金公式④无意义； 当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当
b0
，
c0
时 ，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在
A0
的值？盛金公式④是否存在T ＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则 必定有c=d=0（此时，方程有一个三
重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①
解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②
解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解
题）。 盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，
适用盛金公式③解 题）。

2

盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤ 0的值。（此时，适用
盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在 T≤-1或T≥1的值，即T
出现的值必定是-1＜T＜1。
（注：盛金定理逆之不成立。 如：当

＞
0
时，不一定有
A
＜
0
） < br>．．．．．．．．．
运用盛金公式解题的步骤：按顺序求出
A
、
B、
C
、

的值，代入相应的盛
金公式就可得出结果。
3、例题分析：
例1 解方程
4X
3
422X
2
294X34320

解：
a4,b422,c294,d3432
，
∵
AB0,
∴应用盛金公式①解得:
X
1
X< br>2
X
72
3


2
。
例2判 别方程
83X
3
36X
2
183X90
的解
解：
a83,b36,c183,d9,


Ab
2
3ac36
2
3(83)(183)0


Bbc9ad36(183)9(83)90

∵A=B=0，∴根据盛金判别法①，方程有一个三重实根
例3 解方程
17X
3
5X
2
2X90

解：
a17,b5,c2,d9
，
A49.73863375
；
B323.9715556
；
C139
，
77302.88847
。
∵

＞
0
，∴应用盛金公式②解得：
X
1
1.085746079
；
X
2,3
1.1492121020. 830509094i

例4 判别方程
40X
3
12X
2
30X250
的解
解：
a40,b12,c30,d25,

∵
A< br>＜
0
，∴根椐盛金定理5，必定有

＞
0
。
∴根椐盛金判别法②，方程有一个实根和一对共轭虚根。


3

例5 解方程
277X
3
189X
2
1960

解：
a277,b189,c0,d196
，
A18 9
2
；
B9271967
；
C3189196
，
0
。
∵
0
，∴应用盛金公式③解得：
X< br>7
1

3
,X
27
2
X
3

3

例6 解方程
16X
3
162X8160

解 ：
a16,b0,c162,d816

A7776
；
B116646
；
C26244
，
∵
0
，∴应用盛金公式③解得：
X
36
1

2
；
X
36
2
X
3
4

例7
解方程5X
2
691X
2
24616X508640

解：
a5,b691,c24616,d50864

A108241,B14720776,C500506384

B
2
4AC0
∴ 应用盛金公式③求解
K136,把有关值代入盛金公式
③

得：X
1

11
5
，X
2
X
3
68

例8
解方程40X
3
2482X
2
613X3090
（精确到0.01）
解：
a40,b2482,c613,d309,

A
608676 4
；
B
1632706
；
C
2676583
，

＜
0
。
∵

＜
0
，∴应用盛金公式④解得：

X
1
0.25
；
X
2
0.50
；
X
3
61.80
。
例9
解方程X
3
6X
2
11X60

解:
a1,b6,c11,d6


4

A3,B6,C13,


B
2
4AC0
∴应用盛金公式④求解。
∵Δ＜0，θ=90°。
把有关值代入盛金公式④，
得；X
1
1;X2
3;X
3
2

巩固练习：
1、解方程584X
3
27X
2
18X40

2、解方程20X
3
72X
2
1680

3、解方程X
3
6X
2
9X130

归纳小结
1、本节课我们学习了一元三次方程的重根判别法及四个盛金公式
2、学会 用公式求解一元三次方程





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