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一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则
——
谢国芳

Email: roixie@


【摘要】
本文利用复三角 函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解
一般三次方程（包括复系数情形）
ax< br>3
bx
2
cxd0
的新求根公式，进而又针
对实系数 的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。


【关键词】
三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法


1 一般三次方程的简化
对于一个一般形式的三次方程
ax
3
bx
2
cxd0

(a0)
, 两边同除以
a
，即可化
为首项系数为1的三次方程
x
3

然后作变量代换
b
2
cd
xx0
,
aaa
xy
b
,
（1）

3a

可消去二次项，将它化为下面的形式：
3
ypyq0
,
（2）
其中
b
2
-3ac9abc2b
3
27a
2
d
p=-
,
q
.
（3）

3a
2
27a
3

下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数
p0
.
[1]


2 简约三次方程的三角函数解法和求根公式
在方程（2）中作变量代换
[2]

y2
利用三倍角公式
p
cosz
, （4）
3
cos3z4cos
3
z3cosz
,

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方程（2）即化为
cos3z=
定义参数



-q2
(-p3)
3
, （5）
q2
(p3)
3
,
（6）

称之为三次方程
ypyq0
的关键比(key ratio)，于是式（5）即
3
cos3z

. （7）
1
当

为实数且

1
时，令

cos

，可得其一般解为
3z

2n

, 即
z

3

2n


(n)

3

取
n0,1,1
，即可得到
z
在一个周期内的六个值：
但
cosz
只取下面这三个值：

2

2


z, , 
33333


2

2


coszcos, cos(), cos()
33333

代入式（4），即得方程
ypyq0
的三个根：
3

p

y2cos

1
33


p

2


（8）
y2cos()

2
333



p

2

cos()

y
3
2
333


1
其中

cos

,


q2
(p3)

3
(c危, c1
.
)


当关键比

为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们
把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数

都可 求
得其解.
根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）：
e
iz
e
iz
cosz
, （9）
2
方程（7）等价于

Page 3 15

e
3iz
e
3iz


,
2
它可以化为一个以
e
3iz
为元的二次方程：
(e3iz
)
2
2

(e
3iz
)10,
解得
e
3iz



< br>2
1
,

定义参数
W


注意到恒等式

（10）

2
1
, （11）
(



2
1)(



2
1)  1
, （12）
由式（10）可解得

e 
3
W
或
iz
1
3
W
.
代入式（9），再由式（4）即得方程
ypyq0
的根为

3
y
其中
p
3
1
(W
3
)
, （13）
3
W
W



2
1
,


q2
(p3)
3
. （14）
复立方根
3
W
的三个值正好对应于方程的三个根.
[3]


3 简约三次方程的另一个求根公式
定义参数

=
q2
(p3)
3
, （15）


亦称之为三次方程
ypyq0
的关键比，对比 关键比

的定义式（6），若规定平
方根的取值满足（参见注2和附录1）
3
p3ip3
, （16）
则

i

, 于是

Page 4 15

W



2
1i

(i

)
2
1i

(

2
1)i(



2
1)

定义参数
Z



2
1
, 则
WiZ
, 故（参见附录1中的式（31）及其解释）
3
We

i6

3
Z
,
代入求根公式（13）可得
y

p
3
1
(W
3
) 
3
W
p

i2

i6
3
1
e(eZ + e


i6
3
)
3
Z
p
2
i3
3
1
(eZ 
2

i3
3
)
3
eZ
33

因为
e
2

i3
乘以立方根
Z
的三个值后 仍得到
Z
的三个值，所以上式即

y
其中
p
3
1
(Z
3
)
, （17）
3
Z
Z



2
1
,
l=
3
-q2
(p3)
3
. （18）
复立方根
Z
的三个值亦正好对应于方程的三个根.


4 一般三次方程的两个求根公式
为了把求根公式（13）和（17）推广到一般三次方程< br>ax
3
+bx
2
+cx+d=0
，只需把相
应的简约 三次方程
ypyq0
的关键比

和
l
直接用系数a,b,c,d
表出即可.
将由式（3）给出的
p,q
值代入

和
l
的定义式（参见式（6）、（15））可得
[4]
3
9abc2b
3
27a
2
d
3
q29abc2b
3
27a
2
d
27a
,

= = =
3
223
(p3)
b3ac
3
2(b3ac)< br>2(())
9a
2

=
q2
(p3)
3
=
9abc2b
3
2 7a
2
d
2((b3ac))
23
.
定义
Db
2
3ac
, 则有

Page 5 15



9ab c2b
3
27a
2
d
2(D)
3
, 

9abc2b
3
27a
2
d
2(D )
3
. （19）
我们可以把它们称为三次方程
ax< br>3
+bx
2
+cx+d=0
的关键比.
分别根据求根公式（ 13）和求根公式（17），并注意到
p
式（1）、（3）），我们就得到了下面的结果.

定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）对于三次方程
ax
3
+bx
2
+cx+d=0
, 定义参数
Db
和（参见
xy< br>3a
2
3a
Db3ac
,


则当
D0
时它的根为
[5]

2< br>9abc2b
3
27a
2
d
2(D)
3
,
W



2
1
,

（20）
bD(
3
W
x
i

3 a
1
)
3
W


（21）
设
WWe
，
W
为复数
W
的模 ，

argW
为其幅角主值（






），则
3
W
的三个值为
3
We
i

3
,
3
We
i(

2

)3
,
3
We
i(

2

)3
.
代入式（21），即得方程的三个根：

1
i

3
3
We
i

3
bD(e)

3
W

x

1
3a

1
i(

2

)3

bD(
3
We
i(

2

)3
e)
3

W



x
2

3a

1
i(

2

)3

3
We
i(
< br>2

)3
bD(e)

3
W
x

3
3a



定义实参数
< br>

3
W
, 并利用欧拉公式
e
iq
=cosq+isinq
，可将它们改写为

Page 6 15

1

1

bD((

)cosi(

)sin)


3

3

x
1

3 a


1

2

1

2

bD((

)cos()i(

)sin())< br>


33

33
（22）

x
2

3a

1

2

1

2


bD((

)cos()i(

)sin())


33

33

x
3

3a




其中



定理2（一般三次方程的求根公式Ⅱ）对于三次方程ax
3
+bx
2
+cx+d=0
, 定义参数
3
W
,

argW
,
W



2
1
.
Db3ac
,


则当
D0
时它的根为
2
9abc2b
3
27a
2
d
2(D)3
,
Z



1
,

（23）
2
bD(
3
Z
x
i

1
)
3
Z
3a

（24）
3
设
ZZe
，
Z
为复数
Z< br>的模，

argZ
为其幅角主值（






），则
Z
的
三个值为
3
Ze
i

3
,
3
Ze
i(

2

)3
,
3
Ze
i(

2

)3
.
3
代入式（24），同样利用欧拉公式，并定义实参数

Z
，可得方程的三个 根：
1

1


bD((

) cosi(

)sin)


3

3

x
1

3a

1

2

1

2


bD((

)cos() i(

)sin())


33

33
x
2

3a

1

2
< br>1

2


bD((

)cos( )i(

)sin())


33

33

x
3

3a


其中




3
（25）

Z
,

argZ
,
Z



2
1
.

Page 7 15

注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是完全等价的，它们的区别仅在于关键 比

和
l
的定义
式中
D
前面的符号不同一个为正一 个为负（这导致

和
l
相差一个因子
i
），从而也使得参< br>数
W
和
Z
的定义式中出现了一个符号的差别（参见式（20）、（23 ））.
在实际应用中，我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解（可视方便而定），除
了根的编号可能不同之外，得到的结果当然是完全相同的.

例题1 解复系数三次方程
x
3
ix
2
xi0
.

解法1 （用求根公式Ⅰ求解）：
a1
,
bi
,
c1
,
di
,
Db
2
3ac(i)
2
3 114
,



9abc2b
3
27 a
2
d
2(D)
3

9i2i
3
27 (i)
2(4)
3

19
,
8
W


2
1
191919333
()2
1
,
888
3

argW

,


3
W
19333
0.694
,
8
代入式（22），即得方程的三个根：
bD((


x
1

i4((



1

1
)cos
3a

3
i(


1

1
)sin

3
)

)cos
3
i(

)sin)

3

3
0.6990.4081i,


i4((

x
2

1

)cos(

3

2

1

2

)i(

 )sin())
3

33
3

1.839286755214161i,

2

1

2

)i(

)sin())

33
33

x
3

3
0.6990.4081 i,
i4((


1
)cos(




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解法2（用求根公式Ⅱ求解）：


9abc2b
3
 27a
2
d
2(D)
3

9i2i
3
27(i)
2(4)
3

19
i
,

8
Z



2
+ 1
191933319
i(i)
2
+ 1i
,
888
3

argZ

2
,
< br>Z
3
33319
1.654528239983047
,
8
代入式（25），即得方程的三个根：
bD((

x
1

i4((




1

)cos
3a

3
i(


1
)sin)

3
1

1

)cos< br>
6
i(

)sin)

6

3
0.6990.4081i,

2

1
2

)i(

)sin())

63

63
x
2


3
0.6990.40 81i,
i4((


1
)cos(


i4((


x
3


1

)cos(

6

2

1
< br>2

)i(

)sin())
3

6 3

3
1.839286755214161.i
和前面解法1用 求根公式Ⅰ求解所得结果的差别只是后两个根的编号不同.

对于实系数的三次方程，当然亦 完全可以直接用求根公式Ⅰ或求根公式Ⅱ求解，但为了
尽可能地简化计算，特别是避免复数运算，下面我 们将推导出一组更简单的专门适用于实系
数三次方程的求根公式.

5 一般实系数三次方程的求解和根的判别法则（
D-c
判别法）
对于实系数三次方程< br>ax
3
+bx
2
+cx+d=0
，我们可以根据参数
Db
2
3ac
的值，选
择使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中较方便的一个求 解，进而判定根的情况.

5.1
D0
的情形

当< br>D=b
2
-3ac<0
时，显然用求根公式Ⅱ求解比较方便，因为这时关键比< br>
为实数（参

Page 9 15

Z


见式（23）），
3

2
1< br>亦为实数，设其实立方根为
K
，则
Z
的三个值为
K
,
e
2

i3
K
,
e
2

i3
K
，代入式（24）即得方程的三个根为 < br>1

bD(K)

K

x
1


3a
（26）

12

12
< br>
bD(K)cosD(K)sin

x
K3
i
K3
2,3

3a3a


其中
K
3



1
,
< br>
2
9abc2b
3
27a
2
d
2( D)
3
（


,
K
）.
显然
x
1
为实根，
x
2
,
x
3
为共轭虚根.

5.2
D0
的情形 < br>当
D=b
2
-3ac>0
时，显然用求根公式Ⅰ求解比较方便，因为这 时关键比

为实数（参
见式（20）），参数
W


2
1
的取值可以分为

1
和

1
这二种情形.

2
1
亦为实数，设其实立方根为

，则
3
W
的三个值（一）若

1
，则
W 


为

,
e
2

i3

,
e
2

i3

，代入式（21）即得方程的三个根为 < br>1

bD(

)



x< br>1


3a
（27）

12

1 2


bD(

)cosD(

)sin

x

3
i

3
2,3
< br>3a3a


其中


3


2
1
（


,

1
,


）.
x
2
,
x
3
易见
x
1
为实根. 当

1
时
x
2
,
x
3
为共轭虚 根. 当

1
，即

1
时，

 1
，
为两个相等的实根.

1
（二）若

 1
，设

cos

（
0），即

cos

，于是有
W



2< br>1cos

cos
2

1cos

isin

e
i

,

Page 10 15

3
W
的三个值为
e
i

3
,
e
i(

2

)3
,
e
i(

2

)3
，代入式（21）即得方程的三个根为
[6]



bD2cos

3

x1

3a


2


bD2c os()

33
（28）

x
2

3a



2


bD2cos()

33

x
3

3a



1
其中

cos

（


,

1
）.
显然
x
1
,
x
2
,
x
3
全都是实根，且易证它们互不相等.
实际上可证当
a0
时
x
1
x
3
x
2
，当
a0
时
x
1
x
3
x
2
.
由
0可知
0
因此

3


3
,
2

2
2

2



,

.
3333333
1


2

11

2

1
cos1
,
1cos()
,
cos()
.
233322332
根据式（28），当
a0
时即可判定各根的范围如下：
bDb2D
,
x
1

3a3a
bDbD
,
x
3

3a3a
b2DbD
.
x< br>2

3a3a
显然
x
1
x
3
x
2
；当
a0
时上面三个不等式中的不等号反向，即
x
1< br>x
3
x
2
.


5.3
D0
的情形
当
Db
2
3ac0
（即关键比的分母为0）时，方程
ax
3
+bx
2
+cx+ d=0
可以配成
b
2
完全立方求解，两边同除以
a
，再利用
c
可将它改写为
3a

Page 11 15

(x
解得
b
3
bd
)()
3

.
3a3aa< br>
b
3
b
3
27a
2
d
< br>x
1

3a


b
3
b
3
27a
2
d


（29）

x
2

3a


b3
b
3
27a
2
d

2

x
3

3a


其中
w
为三次单位根（
w=-
1313
+i
，

2


i
）.
2222
易见当
b
3
27a
2< br>d
时，
x
1
为实根.
x
2
,
x
3
为共轭虚根.
当
b
3
27a
2
d
时，
x
1
=x
2
=x
3
=-

b
b
，即方程有一个三重实根
-
.
3a
3a
5.4 一般实系数三次方程的根的判别法则（
D-c
判别法）
综合上面三小节所述，我们就 得到了如下的判别一般实系数三次方程的根的法则，我们
可以把它称为
D-c
判别法， 参数
Db
2
3ac
（注意它和二次方程判别式的相似性）可
称为 第一判别式（first discriminant），它和关键比

=
9ab c2b
3
27a
2
d
2(D)
3
合在一起就能 简
单快捷地判定实系数三次方程
ax
3
bx
2
cxd 0
的根的情况，并决定相应的最便捷的
求根公式：
(1) 当
Db2
3ac0
时
[7]
，方程有一个实根和两个共轭虚根.
可用求根公式（26）求解.
(2) 当
Db
2
3ac0< br>，

1
时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.
可用求根公式（27）求解.

2
(3) 当
Db3ac0< br>，

1
时，方程有一个两重实根和一个单重实根.
仍可用求根公式（27）求解，也可以用三角求根公式（28）求解
[8]
.
(4) 当
Db
2
3ac0
，

1
时，方程有三个互异的实根.
可用三角求根公式（28）求解.
(5) 当
D b
2
3ac0
，
b
3
27a
2
d< br>时
[9]
，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.

Page 12 15

可配成完全立方或用式（29）求解.
(6) 当
Db
2
3 ac0
，
b
3
27a
2
d
时
[10]
，方程有一个三重实根
-

例题2 判别方程
27x
3< br>2x
2
8x40
根的情况并求解.
解：
a27
,
b2
,
c8
,
d4
,
b
.
3a
Db
2
3a c(2)
2
3278644
,
由
D0
可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（26）求解.


= < br>9abc2b
3
27a
2
d
3
2(D)
2.295,
3
=
927(2)82(2)
3< br>2727
2
(4)
2(644)
3

K



2
1 1.68562
,
bD(K
x
1

3a
11
)2644(K)
K

K
0.366928020961414,

32 7
1131
2644(K)644(K)
2K
i
2K< br>
x
2,3

327327
0.36700.6831i.

例题3 判别方程
x
3
 0.276x
2
0.0136x0.000430
根的情况并求解.
解：
Db3ac(0.276)30.01360.035376
,
22

=
=
9abc2b
3
27 a
2
d
2(D)
3
3
9(0.276)0.0136 2(0.276)
3
27(0.00043)
2(0.035376)< br> 1.493662011245495,

由
D0
，

1
可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（27）求解.


3



2
11.375628929048766
,

1
bD(

)
x
1

3a


1
0.2760.035376(

)
3

0.22382,

Page 13 15

1131
0.2760.035376(

)0.0 35376(

)
2

i
2


x
2,3

33
0.2030.190i.

例题4 判别方程
x
3
0.5856x
2
0.072 x0.0020
根的情况并求解.
解：
Db3ac(0.5856) 30.0720.12692736
,

22

=
=
9abc2b
3
27a
2
d
2(D)
3< br>
9(0.5856)0.072)2(0.5856)
3
27 (0.002)

2(0.12692736)
3
0.8425,
由
D0
,

1
可知该方程有三个互异的实根，可用三角求根公式（28）求解.

cos
1

0.569471258300053
,
bD2cos
x
1

3a

3

0.58560.126927362cos

3
0.42844612590 3143,

3

2

0.58560.1269273 62cos()
33
x
2
0.773,

3

2

0.58560.126927362cos()
33
0.7084.

x
3

3


【注解】
3
【1】当
p0
时它退化为平凡的三次方程
y +q=0
，其三个根即为复立方根
3
q
的三个
值.
【2 】注意复数的平方根有二个值（它们相差一个符号），本文中的所有平方根都可以取其
两个值中的任意一 个值，最终得到的解是完全相同的（除了根的编号可能不同之外），这可
以称为方根取值的自由性原则， 它的原理其实就隐含在下面对各求根公式的推导过程中，因
为我们对其中出现的平方根都没有限定它取哪 一个值，即它可以取任意一个值. 在实际应用
中，为了方便计算，可约定各求根公式中的平方根全都取主值（参见附录1）.
【3】 将


公式.

q2
(p3)
3
代入，并利用恒等式（12）即可得到著名的卡丹（J. Cardan）

Page 14 15

b
2
3ac
)
的一个值使得它满足
【4】对于任意非零复数
a
，我们总可以选取平方根
(
2
9a
b
2
3ac
()
9a
2
(b
2
3ac)
2
(b< br>2
3ac)
b
2
3ac
)()
，所以（因为
(
3a
3a9a
2
(b
2
3ac)
b
2
3ac
)
的一个值）
必为
(
，参见附录1和 注2.
2
3a
9a
【5】 当
D0
时方程的根由式（29）给出（其中的系数可取复数值）.
【6】式（28）也可以从前面简约三次方程的三角求根公式（式（8））导出.
【7】即当关键比

为虚数时.
【8】当

1
时，


得到
x
1

3


2
11
，

cos
1
10
，代入式（27）和式（28）都
b2D
bD
，
x
2x
3

；当

1
时，

3



2
11
，
3a
3a< br>b2D
bD
,
x
2
x
3
< br>，代入式（28）
3a
3a

cos
1
(1) 

，代入式（27）得到
x
1

得到
x
1
x
3

bD
b2D
，
x
2< br>
，两者的差别只是根的编号不同.
3a
3a
【9】即当关键比
c
的分母为0而分子不为0时.

【10】即当关键比
c
的分母和分子都为0时.

附录1 复数的方根及其性质

满足
w
n
z
的复 数
w
称为复数
z
的
n
次方根，和实数的方根一样用符号w
n
z
表记.
n
设
z
为复数
z
的模，

为其幅角主值（





），则其
n
次方根
z
的一般值由下
式给出：
n
z
n
ze
i(

2k

)n
n
z(cos(

2k

n
)isin (

2k

n
))
, （30）
其中
k
为任意整数，当
k0,1,2, ..., n1
时，上 式正好给出
n
个不同的值，等价地说，
n
z
是一个多值函数，共有< br>n
个值，我们可以把
k0
对应的值即
特别地，在式（30）中取n2
,
k0,1
，即得平方根
ze
i

n
称为
n
z
的主值.
z
的两个值为
ze
i

2
,

Page 15 15

ze
i

2
，前者为主值.
易见复数的方根有下面的性质：
n
z
1
z
2
< br>n
z
1

n
z
2
,

（31）
鉴于复数方根的多值性，上式中等号的意义是等式两边的值的集合相同，更具体地说 ，
我们可以对它作如下更精细的解释：
(1)
n
z
1
的 任意一个值和
n
z
2
的任意一个值相乘都是
n
z
1
z
2
的一个值.
(2) 固定
n
z
1
的 一个值，当
n
z
2
取遍其所有值（共有
n
个）时，乘积n
z
1

n
z
2
取遍
n
z< br>1
z
2
的所有值（亦共有
n
个）.
(3)


参考文献
n
z
1
z
2
的任 意一个值都可以表示为
n
z
1
的任意一个值和
n
z
2
的一个值的乘积.
[1]（美）迪克森（n）著；黄缘芳译.代数方程式论[M].哈尔滨 ：哈
尔滨工业大学出版社，2011.3.