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一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法

作者：谢国芳（Roy Xie）
Email: roixie@

【摘要】< br>本文给出了远比卡丹公式和盛金公式简明快捷的求解一般实系数三次方程
ax
3
bx
2
cxd0

的新求根公式及相应的根的判别法则。


【资料来源】
同作者已发表的学术论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判 别法则》
（2012年第21期《数学学习与研究》）和网页专题研究论文集《三次方程研究》



一般实系数三次方程的谢国芳求根公式（形式1）
和根的判别法则
对于实系数三次方程
ax
3
+bx
2+cx+d=0
，定义
2
第一判别式（first discriminant）
Db3ac
,
关键比（key ratio）
r =
9abc2b
3
27a
2
d
2D
3
,
则有如下根的判别法则和求根公式：

（一）当
Db
2
3ac0
时，方程有一个实根和两个共轭虚根：
1

bD(K)

K

x
1

3a


11

bD(K)

2K
ix
2,3

3a

其中
K=r+r
2
+1
.
3
D
31
(K)
2K
3a

（1.1）

Page 2 9



（二）当
Db
2
3ac0
，
r 1
时，方程也有一个实根和两个共轭虚根：
1

bD(
< br>)



x
1

3a

（1.2）

1131

bD(

)D(

)

2

i
2

x
2, 3


3a3a


3
其中

rr
2
1
.


（三）当
Db
2
3ac0
，
r1
时，方程有两个相等的实根（即一个两重实根）和另一
个与之不等的实根，此时仍可用求根公式（1. 2）求解.

3
当
r1
时，

rr
2
11
，代入式（1.2）即得
x
1

b2DbD
,
x
2
x
3

.
3a
3a

3
当
r1
时，

rr
2
11
，代入式（1.2）即得
x
1

b2DbD
,
x
2
x
3

.
3a
3a

（四）当
Db
2
3ac0
，
r1
时，方程有三个互异的实根：

Page 3 9


b


x
1



b


x
2


< br>b


x
3



D2co s
3a

3

2

D2cos()
3 3
3a

2

D2cos()
33
3a

（1.3）
其中
q=cos
-1
r
.


以上求 根公式的推导参见2012年第21期《数学学习与研究》上同作者的论文
《一般三次方程的简明新求根 公式和根的判别法则》。




（五）当
Db
2
3ac0
（即关键比的分母为0）时，方程
ax
3
+bx2
+cx+d=0
可以配成
b
2
完全立方求解，两边同除以a
，再利用
c
可将它改写成
3a
(x
b
3
bd
)()
3


3a3aa

解得

b
3
b
3
27a
2
d

x
1

3a


b
3
b3
27a
2
d


（1.4）

x
2

3a


b< br>3
b
3
27a
2
d

2
x
3

3a


其中
w
为三次单位根 （
w=e
2pi3
=-
1313
i
）.
+i，

2



22
22
易见当< br>b
3
27a
2
d
时，
x
1
为实根 .
x
2
,
x
3
为共轭虚根.

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当
b
327a
2
d
时，
x
1
=x
2
=x< br>3
=-



b
b
，即方程有一个三重实根
-
.
3a
3a
例题1 判别方程
27x
3
10x
2
10x100
根的情况并求其实根.
解：
a27
,
b10
,
c10
,
d10
,
Db
2
3ac  (10)
2
32710  710
,
由
D0
可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（1.1）求解.

r =
9abc2b
3
27a
2
d
2D
3
=
927(10)102(10)
3
2727
2
(10)
2710
3

4.6912,

K
3
rr
2
12.166
,


实根
x
1




bD(K3a
11
)10710(K)
K

K
0.659 8
,
327
例题2 判别方程
731x
3
823x
2
307x380

根的情况并求其实根.

解：
a731
,
b823
,
c307
,
d38
,
Db
2
3ac(823)
2
37313074078
,

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r = < br>9abc2b
3
27a
2
d
3
2(D)
1.69297,

=
9731(823)3072(823)
3
27731
2
(38)
2(4078)
3
由
D0
,
r1
可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（1.2）求解.



3
rr
2
11.45297
,

实根
x
1




1
bD(

)
3a


1
8234078 (

)
3731

0.43761
.
例题3 判别方程
x
3
0.57x
2
0.068x 0.0019440

根的情况并求解.

解：
a1
,
b0.57
,
c0.068
,
d0.001944
,
Db
2< br>3ac(0.57)
2
30.0680.1209
,


r =
=
9abc2b
3
27a
2
d
3
2D
9(0.57)0.0682(0.57)
3
270.001944
20.1209
3

0.368,


由
D0
,
r1
可知该方程有三个互异的实根，可用求根公式（1.3）求解.


cos
1
r1.947681846333064
（弧度）
,

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bD2cos
x
1



3
0.570.12092cos
3

3
0.3746441646 75488
,
3a

2

0.570.12092c os()
33
0.412
,
x
2

3


2

0.570 .12092cos()
33
0.219
.
x
3

3


若改用角度计算（这在计算器上操作起来更方便一些），则


cos< br>1
r111.593949629132305



bD2cos
x
1



3
0.570.12092cos
3

3
0.3746441646 75488
,
3a
0.570.12092cos(120

)
3
x
2
0.412
,
3


0.570.12092cos(120

)
3
x
3
0.219
.
3





附录： 实系数三次方程谢国芳求根公式的记忆秘诀

Page 7 9

（1）三次方程的谢国芳求根公式在整体形式上和二次方程的求根公式 极为相似，这大大方
便了记忆。

●
二次方程
ax
2
bxc0
的求根公式
bbb
2
4ac

x


2a2a

●
三次方程
ax
3
bx
2
cxd0
的谢国芳求根公式

x
1


bDf(r)
3a

其中
f(r)
仅仅是单个变量关键比
r
的简单函数。

（2）谢国芳公式中的第一判别式
D
和二次方程的判别式极为相似，非常好记：

2
3a
,
c

b
2
4ac

Db


（3）谢国芳求根公式真正核心的参数只有一个，那就是关键比
r
（只要算出了关键比，整
个方程就解出了一大半，因为接下来的运算非常简单），以 下是记忆关键比的秘诀：

Page 8 9

●
注意齐次性，关键比的分子和分母的各项全都是
a,b,c,d
的三次 式（因为是三次
方程，这很好记）。

●
关键比的分母最简单，就含一个
D
，因为
Db
2
为了变成三次，
3ac
是二次的，
必须开

3
次方，即
(D)
3
或
D
3
（注意当
D
为负时加绝对值符号）。
2
●
关键比的分子有三项，每项都是
a,b,c,d
的三次式，第一项
9abc
最容易记，后
面两项全都是减号：
2b
3
和
27a
2
d
，系数连起来是
9, 2, 27
（
93
2
,
273
3
，
这很好 记吧），最后别忘了分母的系数也是
2
！合起来关键比


r =

9abc2b
3
27a
2
d
2D
3




作者简介：

谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者 和数学研究者，著有《解密英语——学外语从零点到
绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《 破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语
和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。已发表的重 要数学和物理论文有：

1. 《D 函数的一种初等推导及应用》（1996年01期《大学物理》）
2. 《量子角动量理论新探》（1998年06期《大学物理》）

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3. 《球坐标D函数
D
j
m'm(q,j,
w
)
与
d
j
m'm
(
w< br>)
的傅里叶级数表示》 （2001年01期《大
学物理》）
4. 《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》 （2012年第21期《数学学
习与研究》）