彭文坚-学生会工作总结怎么写

论文题目：
意大利数学家求解三、四次方程的思想方法


论文要求：


教师评语：











教师签字：
年 月 日

意大利数学家求解三、四次方程的思想方法

16世纪以前 ，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式，但在这之前人
们已经得出了一元一次和二次方程的求 根公式。在一部14世纪的意大利数学手稿中，
作者类比一元二次方程的求根公式，给出了方程
ax
3
bxc
的错误求根公式。15世
纪意大利数学家帕西沃里（li, 1445—1509）在其《算术，几何，比例和比
例性概率》中称，求解三，四次方程
ax< br>3
bxc
，
ax
3
bx
2
c
和
ax
4
bx
3
c
在当
时和“画圆为方”问 题一样是不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪
第 1 页 共 8 页

意大利数学家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我们要讲述的关于三，四次方程求
解的故事。

1. 费罗对三次方程的求解

在帕西沃里做出悲观结论不久，大约15 00年左右，波仑大学的算术与几何学教
授费罗（Ferro,1465—1562）用代数方法得到了
x
3
mxn
这样一类缺项三次方程的
求解公式，据说他的工作是 以更早的阿拉伯资料为基础的。但他并没有马上发表自己
的成果，这在现在我们看来是不太可能的，但在 当时社会，一个人要想保住自己的大
学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。因此一个重要的新发现 就成了一件在论
争中保持不败之地的有力武器。直到费罗去世前才把三次方程的求法传给了他的学生菲奥。
费罗对缺项三次方程的求法并没有公布于世，但后来的数学家们并没有停止对三
次 方程根的探求。

2.塔塔利亚对三次方程的探求

2.1 塔塔利亚生平

塔塔利亚1499年出生于意大利的布雷西亚城，小时因头部受伤留 下口吃的后遗
症，14岁因交不起学费而辍学，但他很早就表现出惊人的数学才能。1543年，他去< br>了威尼斯，当上了数学教授。


第 2 页 共 8 页

图1塔塔利亚

2.2 塔塔利亚对三次方程的求解

1530年，科伊（ Coi）向塔塔利亚请教了两个问题：
(1)一数的平方根加3，乘以该数，积为5，求该数；
(2)求三数，其中第二数比第一数大2，第三数又比第二数大2，三数乘积为1000。
用今天的代数符号可以表示成求解两个三次方程：
x
3
3x
2
5

x
3
6x
2
8x1000

塔塔利亚说他知 道求解三次方程
x
3
px
2
q
的一般解法，对第二个问 题，他承认不
会解，但他认为一定是可解的。
当费奥知道塔塔利亚会解三次方程时，向塔塔利 亚提出了挑战。费奥是费罗的学
生二十年前费罗成功解决了三次方程
x
3
p xq
，并把解法传授给了费奥。
塔塔利亚全心投入三次方程的研究，终于发现了方程
x
3
pxq
，
x
3
px
2
q< br>和
x
3
qpx
2
的解法。并在威尼斯和费奥进行比赛。费 奥给塔塔利亚出的三次方程都
是形如
x
3
pxq
的方程，塔塔利 亚不到两个小时就劝解出来了，而费奥却一个都没
解出塔塔利亚提出的方程。
但塔塔利亚由于 种种原因未能把自己关于对三次方程解法的研究发表出来。科伊
曾经多次向塔塔利亚请教三次方程的解法 ，但塔塔利亚都没有告诉他。
下面我们看看塔塔利亚对三次方程的求解：[1]
三次方程的 一般形式为：
x
3
sx
2
txu0
，但对任意一个 三次方程可经过减
根运算变换成缺项方程：
x
3
pxq
，
第 3 页 共 8 页

在此令
x
3
m
3
n
，即
2112
x
3
m3m
3
n
3
3m
3
n
3
nmn3

mn

1
3x
，
于是方程变为
mn3

mn

1
3
xpxq
.
nq
，
3

m n

1
3
p
或mn
p
3
当
m
27
时，可满足方程，故有
m
2
2mnn
2
q
2
,4mn
4p
3
27
.
两式相加得 < br>m
2
2mnn
2
q
2

4p
3
27
，
由此得
q
2

4p
3
mn
27
，
mnq
，从而有
m
q
2

q
2
4< br>
p
3
27
,n
q
2

q2
p
3
又因为
4

27
，于是
x
3
qq
2
p
32
3
qqp
3
2< br>
4

27

2

4

27
。
但塔塔利亚发现的三次方程后不仅没有告诉别人，也没有马上发表出来。他想 把
这个方法发表在筹划已久的著作《数量通论》中。最后却被卡当先发表在了《大术》
中，而这 也成了塔塔利亚一生的遗憾。
后来卡当发现在解方程的过程出现了一个他难以理解的问题即：当

23

1

2
q





p


3


时，就 会出现负数开平方的问题。例如他在解方程
x
3
15x4
时，得
到
x
3
2121
3
2121
这使卡当感到不解 ，形式迫使他不得不正视虚数。
我们就是在解决问题中发现新的问题，然后再去寻找解决新问题的方法 。善于观
察，善于发现，善于思考，这样才能推动科学的进步，社会的发展。

2.3 卡当的背信弃义
第 4 页 共 8 页

当时研究三次方程求解的数学家还有卡当，卡当 1501年出生于帕维亚，并在帕
多瓦获得医学博士，但他又精通数学。1534年在米兰当上了数学教 师，同时继续行
医，并且是一个颇受欢迎的医生。除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，
同时是一个占星术家。他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳。在他去世后
一百年，伟 大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡当是一个有许多缺点的伟人；没有这
些缺点，他将举世无双。”但在 我们故事中卡当却是一个将才能与人品不佳的角色。
替卡当出庭，费拉里能言善辩，让本来是受害人的 塔塔利亚败诉。费拉里掌握了三次
方程的求解后有研究出了四次方程的求解。
3.2 费拉里对四次方程的求解
1540年，意大利数学家科伊向卡当提出了可以导致四次方程求解的问题：
把10分成三个数，使它们成连比，且前两个数的乘积为6。
下面我们理解费拉里对四次方程的求解：
四次方程都可以转化成最高次项的系数是1的方程形如
432
当卡当听说塔塔利亚研 究出了三次方程，就请求他交给自己解三次方程的方法，
当遭到塔塔利亚的拒绝，但卡当并没有放弃，他 想了各种方法使塔塔利亚说出方程的
解法，并发誓不告诉别人也不会发表出去，并立下誓言。最后卡当答 应了，把解法编
成了诗歌的形式抄录给了卡当：[2]
一、立方共诸物，和为已知数，另寻数 一双，差同已知数；二、根据题之需，再
定其乘积，物数三之一，立方算仔细；三、差积既了然，双数得 不难，复算立方边，
相减是答案；四、诸物加定数，立方独一边，君且莫急躁，别有好箴言；五、定数一
拆二，物数三之一，两分相乘时，立方是其积；六、既知和与积，两分易得手。复算
立方边，相 加是所求；七、立方加定数，诸物成单独。定数化为负，依样画葫芦；八、
一五三四年，水城勤钻研，诸 物为我求，基础牢且坚。”
正如现在咱们所知道的，三次的方程的求根公式又叫做卡当公式，因为得卡 当的
背信弃义，将方程的解法发表在了自己的著作《大法》中。
塔塔利亚非常愤怒，将卡当告 上了法庭，卡当知道自己的行为有违道德，不敢出
席，派他的学生费拉里出庭，塔塔利亚本来就有口吃的 毛病，在法庭上被能言善辩的
费拉里战胜。塔塔利亚本来是受害者，最后却败诉。卡当的行为在我们看来 是可耻的，
剽窃别人的研究成果，污染了纯净的学术研究领域。
在我们今天看来塔塔利亚是虽 然是受害者，但他对自己的研究不公开的做法不
利于数学的发展，如果没有卡当的背信弃义，数学家对三 次方程的探索不知道还要经
过多少时间。只有大家相互交流，共同分享，才能推进科学研究的发展。
3. 费拉里与四次方程

3.1 费拉里的简介
费拉里(Ferrari L.,1522-1565)出身贫苦，15岁时做了卡当的家仆，卡当的数
学研究引起了他对数学的热爱，并表现出了出众的数学才能，被卡当收做学生，曾代
把由（5） 式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边
开方，可以得到两个关于x的一元 二次方程。解这两个一元二次方程，就可以得出原
方程的四个根。
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xbxcxdxe0
(1)
移项可得
x
4
bx
3
cx
2
dxe
(2)
2
两边同时加上


1

2
bx



，可将(2)式左边配成完全平方，方程化为

2


x
2

1

1
2

2
2
bx





4
bc


xdxe
(3)
在(3)式两边同时加上



x
2

1
2
bx



y
1
4
y
2< br>可得

2





x
2

1


1

2
bx


2
y


(4)


1
b
2
cy


x
2



1
byd


x
1
y
2

4

2

4
e
(4)式 中的
y
式一个参数。当(4)式中的
x
为原方程的根时，不论y取什么值，（ 4）
式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一
个完全 平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。
为了使（4）式右边关于x的二次三项 式也能变成一个完全平方式，只需使它的
判别式变成0，即

2

1

2
byd



4


1

4
b
2
cy




1

4
y
2
e

< br>
0
(5)
这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。
费拉里对四次方 程转化成已经发现求根公式的三次方程的方法来求解，就是我们
现在所说的“化未知为已知”“化复杂为 简单”。我们要不断发现，只有发现问题才
会想办法去解决它。
第 6 页 共 8 页

塔塔利亚的三次方程的解法和费拉里对四次方程的发现都 收录在卡当的《大术》
中，《大术》是卡当在1545年在德国纽伦堡出版的一部关于代数学的拉丁文巨 著。
正是因为三次方程首次出现在《大术》中，人们把塔塔利亚对三次方程的解法称为卡
当公式 。
参考文献
[1] 朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2] 汪晓勤郭学萍
.
三次方程求根公式的诞生
http:?name=204


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论文题目：
意大利数学家求解三、四次方程的思想方法


论文要求：


教师评语：











教师签字：
年 月 日

意大利数学家求解三、四次方程的思想方法

16世纪以前 ，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式，但在这之前人
们已经得出了一元一次和二次方程的求 根公式。在一部14世纪的意大利数学手稿中，
作者类比一元二次方程的求根公式，给出了方程
ax
3
bxc
的错误求根公式。15世
纪意大利数学家帕西沃里（li, 1445—1509）在其《算术，几何，比例和比
例性概率》中称，求解三，四次方程
ax< br>3
bxc
，
ax
3
bx
2
c
和
ax
4
bx
3
c
在当
时和“画圆为方”问 题一样是不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪
第 1 页 共 8 页

意大利数学家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我们要讲述的关于三，四次方程求
解的故事。

1. 费罗对三次方程的求解

在帕西沃里做出悲观结论不久，大约15 00年左右，波仑大学的算术与几何学教
授费罗（Ferro,1465—1562）用代数方法得到了
x
3
mxn
这样一类缺项三次方程的
求解公式，据说他的工作是 以更早的阿拉伯资料为基础的。但他并没有马上发表自己
的成果，这在现在我们看来是不太可能的，但在 当时社会，一个人要想保住自己的大
学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。因此一个重要的新发现 就成了一件在论
争中保持不败之地的有力武器。直到费罗去世前才把三次方程的求法传给了他的学生菲奥。
费罗对缺项三次方程的求法并没有公布于世，但后来的数学家们并没有停止对三
次 方程根的探求。

2.塔塔利亚对三次方程的探求

2.1 塔塔利亚生平

塔塔利亚1499年出生于意大利的布雷西亚城，小时因头部受伤留 下口吃的后遗
症，14岁因交不起学费而辍学，但他很早就表现出惊人的数学才能。1543年，他去< br>了威尼斯，当上了数学教授。


第 2 页 共 8 页

图1塔塔利亚

2.2 塔塔利亚对三次方程的求解

1530年，科伊（ Coi）向塔塔利亚请教了两个问题：
(1)一数的平方根加3，乘以该数，积为5，求该数；
(2)求三数，其中第二数比第一数大2，第三数又比第二数大2，三数乘积为1000。
用今天的代数符号可以表示成求解两个三次方程：
x
3
3x
2
5

x
3
6x
2
8x1000

塔塔利亚说他知 道求解三次方程
x
3
px
2
q
的一般解法，对第二个问 题，他承认不
会解，但他认为一定是可解的。
当费奥知道塔塔利亚会解三次方程时，向塔塔利 亚提出了挑战。费奥是费罗的学
生二十年前费罗成功解决了三次方程
x
3
p xq
，并把解法传授给了费奥。
塔塔利亚全心投入三次方程的研究，终于发现了方程
x
3
pxq
，
x
3
px
2
q< br>和
x
3
qpx
2
的解法。并在威尼斯和费奥进行比赛。费 奥给塔塔利亚出的三次方程都
是形如
x
3
pxq
的方程，塔塔利 亚不到两个小时就劝解出来了，而费奥却一个都没
解出塔塔利亚提出的方程。
但塔塔利亚由于 种种原因未能把自己关于对三次方程解法的研究发表出来。科伊
曾经多次向塔塔利亚请教三次方程的解法 ，但塔塔利亚都没有告诉他。
下面我们看看塔塔利亚对三次方程的求解：[1]
三次方程的 一般形式为：
x
3
sx
2
txu0
，但对任意一个 三次方程可经过减
根运算变换成缺项方程：
x
3
pxq
，
第 3 页 共 8 页

在此令
x
3
m
3
n
，即
2112
x
3
m3m
3
n
3
3m
3
n
3
nmn3

mn

1
3x
，
于是方程变为
mn3

mn

1
3
xpxq
.
nq
，
3

m n

1
3
p
或mn
p
3
当
m
27
时，可满足方程，故有
m
2
2mnn
2
q
2
,4mn
4p
3
27
.
两式相加得 < br>m
2
2mnn
2
q
2

4p
3
27
，
由此得
q
2

4p
3
mn
27
，
mnq
，从而有
m
q
2

q
2
4< br>
p
3
27
,n
q
2

q2
p
3
又因为
4

27
，于是
x
3
qq
2
p
32
3
qqp
3
2< br>
4

27

2

4

27
。
但塔塔利亚发现的三次方程后不仅没有告诉别人，也没有马上发表出来。他想 把
这个方法发表在筹划已久的著作《数量通论》中。最后却被卡当先发表在了《大术》
中，而这 也成了塔塔利亚一生的遗憾。
后来卡当发现在解方程的过程出现了一个他难以理解的问题即：当

23

1

2
q





p


3


时，就 会出现负数开平方的问题。例如他在解方程
x
3
15x4
时，得
到
x
3
2121
3
2121
这使卡当感到不解 ，形式迫使他不得不正视虚数。
我们就是在解决问题中发现新的问题，然后再去寻找解决新问题的方法 。善于观
察，善于发现，善于思考，这样才能推动科学的进步，社会的发展。

2.3 卡当的背信弃义
第 4 页 共 8 页

当时研究三次方程求解的数学家还有卡当，卡当 1501年出生于帕维亚，并在帕
多瓦获得医学博士，但他又精通数学。1534年在米兰当上了数学教 师，同时继续行
医，并且是一个颇受欢迎的医生。除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，
同时是一个占星术家。他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳。在他去世后
一百年，伟 大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡当是一个有许多缺点的伟人；没有这
些缺点，他将举世无双。”但在 我们故事中卡当却是一个将才能与人品不佳的角色。
替卡当出庭，费拉里能言善辩，让本来是受害人的 塔塔利亚败诉。费拉里掌握了三次
方程的求解后有研究出了四次方程的求解。
3.2 费拉里对四次方程的求解
1540年，意大利数学家科伊向卡当提出了可以导致四次方程求解的问题：
把10分成三个数，使它们成连比，且前两个数的乘积为6。
下面我们理解费拉里对四次方程的求解：
四次方程都可以转化成最高次项的系数是1的方程形如
432
当卡当听说塔塔利亚研 究出了三次方程，就请求他交给自己解三次方程的方法，
当遭到塔塔利亚的拒绝，但卡当并没有放弃，他 想了各种方法使塔塔利亚说出方程的
解法，并发誓不告诉别人也不会发表出去，并立下誓言。最后卡当答 应了，把解法编
成了诗歌的形式抄录给了卡当：[2]
一、立方共诸物，和为已知数，另寻数 一双，差同已知数；二、根据题之需，再
定其乘积，物数三之一，立方算仔细；三、差积既了然，双数得 不难，复算立方边，
相减是答案；四、诸物加定数，立方独一边，君且莫急躁，别有好箴言；五、定数一
拆二，物数三之一，两分相乘时，立方是其积；六、既知和与积，两分易得手。复算
立方边，相 加是所求；七、立方加定数，诸物成单独。定数化为负，依样画葫芦；八、
一五三四年，水城勤钻研，诸 物为我求，基础牢且坚。”
正如现在咱们所知道的，三次的方程的求根公式又叫做卡当公式，因为得卡 当的
背信弃义，将方程的解法发表在了自己的著作《大法》中。
塔塔利亚非常愤怒，将卡当告 上了法庭，卡当知道自己的行为有违道德，不敢出
席，派他的学生费拉里出庭，塔塔利亚本来就有口吃的 毛病，在法庭上被能言善辩的
费拉里战胜。塔塔利亚本来是受害者，最后却败诉。卡当的行为在我们看来 是可耻的，
剽窃别人的研究成果，污染了纯净的学术研究领域。
在我们今天看来塔塔利亚是虽 然是受害者，但他对自己的研究不公开的做法不
利于数学的发展，如果没有卡当的背信弃义，数学家对三 次方程的探索不知道还要经
过多少时间。只有大家相互交流，共同分享，才能推进科学研究的发展。
3. 费拉里与四次方程

3.1 费拉里的简介
费拉里(Ferrari L.,1522-1565)出身贫苦，15岁时做了卡当的家仆，卡当的数
学研究引起了他对数学的热爱，并表现出了出众的数学才能，被卡当收做学生，曾代
把由（5） 式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边
开方，可以得到两个关于x的一元 二次方程。解这两个一元二次方程，就可以得出原
方程的四个根。
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xbxcxdxe0
(1)
移项可得
x
4
bx
3
cx
2
dxe
(2)
2
两边同时加上


1

2
bx



，可将(2)式左边配成完全平方，方程化为

2


x
2

1

1
2

2
2
bx





4
bc


xdxe
(3)
在(3)式两边同时加上



x
2

1
2
bx



y
1
4
y
2< br>可得

2





x
2

1


1

2
bx


2
y


(4)


1
b
2
cy


x
2



1
byd


x
1
y
2

4

2

4
e
(4)式 中的
y
式一个参数。当(4)式中的
x
为原方程的根时，不论y取什么值，（ 4）
式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一
个完全 平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。
为了使（4）式右边关于x的二次三项 式也能变成一个完全平方式，只需使它的
判别式变成0，即

2

1

2
byd



4


1

4
b
2
cy




1

4
y
2
e

< br>
0
(5)
这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。
费拉里对四次方 程转化成已经发现求根公式的三次方程的方法来求解，就是我们
现在所说的“化未知为已知”“化复杂为 简单”。我们要不断发现，只有发现问题才
会想办法去解决它。
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塔塔利亚的三次方程的解法和费拉里对四次方程的发现都 收录在卡当的《大术》
中，《大术》是卡当在1545年在德国纽伦堡出版的一部关于代数学的拉丁文巨 著。
正是因为三次方程首次出现在《大术》中，人们把塔塔利亚对三次方程的解法称为卡
当公式 。
参考文献
[1] 朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2] 汪晓勤郭学萍
.
三次方程求根公式的诞生
http:?name=204


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