五年级奥数容斥问题讲座及练习答案
小考作文-广东的大学排名
五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除
包含与排除问题其实也叫容斥问题。即
当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，
应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合B
组成一个新的集合C，再计算C的元素
时为：C=A+B-AB
例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37
人举手。
又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做
完？”
没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37
+
42 = 79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作
业
的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，
这
个班语文、数学作业都完成的有： 79－48 = 31（人）
37 +
42－48=31（人）
答：语文、数学作业都完成的有 31 人。
想一想：下面算式有何道理？
( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人）
( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人）
【疯狂操练】：(1）五年级有 122
名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优
秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65
人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少
人？
解：语文成绩优秀的有
65 人，数学优秀的有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）
其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）
答：语文数学都优秀的有30人。
( 2）四年级一班有 54 人，订阅 《
小学生优秀作文 》 和 《 数学大世界 》 两种读物的
有 13 人，订 《 小学生优秀作文
》 的有 45 人，每人至少订一种读物，订 《 数学大世
界 》 的有多少人？
解：根据两种读物的有 13 人，订 《 小学生优秀作文 》 的有 45
人，每人至少订一种
读物，可知只订了《 数学大世界
》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13
人，所以订了《 数学大世界
》的有：13+9=22（人）
答：订 《 数学大世界 》 的有22人。
(
3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17
A
AB B （韦恩图）
人，其中两种乐器都会演奏的有 8
人。这个文艺组一共有多少人？
解：24+17-8=33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
例2：某班有 36
个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，
两题都答对的有
15 人。问多少个同学两题都答得不对？
【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有 25
人，两题都答对的有 15 人，可以求出只
答对第一题的有 25－15＝ 10
（人）。又已知答对第二题的有 23
人，用只答对第一题的人
数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10 + 23 =
33（人）。所以，两题
都答得不对的有 36－33 = 3 （人）。
36－［(
25 －15 ) + 23］=3（人）
想一想：下面算式有何道理。
(l)
36－［( 23－15 ) + 25］ = 3 （人）
(2) 36 －［( 25－ 15
) + ( 23 － 15 ) + 15 ］＝ 3 （人）
【疯狂操练】：( l）五（ 1
）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组， 23 人参加科
技小组，有 19
人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
解：19人两个小组都参加
则只参加数学小组为25－19=6人，只参加航模小组为23－19=4人
所以参加小组活动的为4+6+19=29人，两个小组都没参加的为40－29=11人
( 2）一个班有 55 名学生，订阅 《 小学生数学报 》 的有 32 人，订阅 《
中国少年报 》
的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
解：订 《 小学生数学报 》 的 32 人，订 《 中国少年报 》 的 29
人，两种报纸都订
的有25人，实际上订阅的总人数是：29+32－25=36人，
那么两种报纸都没订的有55－36=19人。
答：两种报纸都没订的有19人。
( 3 ）某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有
27
人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？
解：只获作文比赛奖的14-3=11人，只获数学比赛奖的12-3=9人。
获奖人数一共有11+9+3=23人，没获奖的就有50-23=27人。
例3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28
人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没
有参加的有 25
人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数56－25
=31
（人），再求两科竞赛同时参加的人数：28 + 27 －31 = 24 （人）。
28 + 27－（ 56－ 25 ) = 24 （人）
答：同时参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。
想一想：下面算式有何道理
( l
) 28－（56 －25－27 ）= 24（人） ( 2 ) 27 －（56－25－28 ）= 24
（人）
【疯狂操练】： ( 1）一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有
18 人，两
样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？
解：因为除了两样都不会的4
人，有36－4=32人，这32人分为会英语的，会法语的，两
样都会的，而会英语和会法语中包括两
样都会的所以就是：24+18=42（人）比32人多的
人数就是两样都会的人数，即42－32=1
0（人）。
综合列式：
24＋18－﹙36－4﹚＝10（人）
答：两样都会的有10人.
( 2）一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有
69 人，会下国际象棋的 52 人，这两
种棋都不会下的有 12
人。问这两种棋都会下的有多少人？
解：解法同上题：即：69+52
－﹙103－12﹚=30（人）
答：
这两种棋都会下的有30人.
( 3）三年级一班参加合唱队的有
40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞
蹈队的有 14
人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算，这个班共有多少人？
解：参加合唱队的有 40
人，参加舞蹈队的有 20 人，那么共40+20=60人，其中14个两
个队都参加了，所以只有：
60
－14=46人，
再加上两个队都没参加的，一共有46+10=56人。
即：40+20
－14+10=56（人）
答：这个班共有56人
例4：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有
24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10
幅，
其他年级参展的书法共有多少幅？
【思路导航】由题意知， 24
幅作品是一、二、三、四、五、六年级参展作品的总数； 22
幅作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24 + 22 =46〔幅），这是一个五、六<
br>年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六年级的共参展的 10
幅
即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数．再除以2，即可求出其它年级参展的作
品。
(24+22－10)÷2=18（幅）
答：其他年级参展的作品共有 18 幅。
练一练
( l
）科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110
件不
是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32
件。其他年级参
展的作品共有多少件？
解：由“有 110 件不是一年级的，有
100 件不是二年级的”可知二年级比一年级多
10件，根据“一、二年级参展的作品共有32 件”
可得一年级展出科技作品数是（32
－10）÷2=11件，则二年级展出作品数是32－11=21件
，全校展出作品总数为：
11+110=121件或：21+100=121件。那么除了一二年级的展
出作品数外，其它年级展出
作品数为：121－32=89件。
答：其他年级参展的作品共有89件.
( 2 ）六（ 1
）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25
幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有 8
幅，其他年级
参展的画共有多少幅？
解：25
幅画不是三年级的，19幅画不是四年级的，那么四年级展出的图画作品比三年
级多25－18=6幅.
由于三四年级共有8幅，所以三年级的作品有（8－6）÷2=1幅。
那么四年级的有8－1=7幅。
则展出作品总数为：1+25=26，或7+19=26幅，
那么其它年级展出作品数为26－8=18幅。
答：其他年级参展的画共有18幅。
( 3 ）实验小学举办学生书法展。学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有
28 幅
不是五年级的，有 24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。一、二
年
级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多
少
幅？
解：28幅不是五年级的，也就是六年级+其他年级=28幅；24幅不是六年级的。也就是五<
br>年级+其他年级=24幅；上述两个式子相加得：
(五年级+六年级)+2×其他年级=28+24，
因此其他年级的有：(28+24-20)÷2=16幅，
又因为一、二年级参展的作品总数
比三、四年级参展的作品总数少4幅，因此一、二年级
参展的书法作品共有：(16－4)÷2=6幅。