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五年级奥数第七讲

———行程问题（一）

教学目标：
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题


知识点拨：
发车问题
（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；
汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔
汽车间距=（汽车速度- 行人速度）×追及事件时间间隔
汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔
（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列 3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数
数。
（3） 当出现多次相遇和追及问题——柳卡

火车过桥
火车过桥问题常用方法
⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身
长度之和.
⑵ 火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，
两 者路程和则为两车身长度之和.
⑶ 火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽 略本身的长度，那么
他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.
对于火车过桥、火车 和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等
这几种类型的题目，在分析题目的时候一 定得结合着图来进行.

接送问题
根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见
题型：
（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）
（2）车速不变-班速不变-班数多个
1 6

（3）车速不变-班速变-班数2个
（4）车速变- 班速不变-班数2个
标准解法：画图＋列3个式子
1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；
2、班车走的总路程；
3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”
分别是时钟的分针和 时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或
者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

流水行船问题中的相遇与追及
①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速
②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.
甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速
也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与
水速没有 关系.

例题精讲：
模块一 发车问题

【例 1】 某人 沿着电车道旁的便道以每小时
4.5
千米的速度步行，每
7.2
分钟有一辆电 车迎
面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一
速度不停地 往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？



【解析】 设电车的速度为每分钟
x
米．人的速度为每小 时
4.5
千米，相当于每分钟75米．根
据题意可列方程如下：

x 75

7.2

x75

12
，解得< br>x300
，即电车的速度为
每分钟300米，相当于每小时18千米．相同方向的两辆 电车之间的距离为：

30075

122700
(米)，所 以电车之间的时间间隔为：
27003009
(分钟)．



2 6

【巩固】 某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电 车迎
面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔．
【解析】 设电车的速 度为a，行人的速度为b，因为每辆电车之间的距离为定值，设为l．由
电车能在12分钟追上行人l的 距离知，
x(2t1)y
； 由电车能在4分钟能与行
1
人共同走过l的距离知， ,所以有l=12(a-b)=4(a+ b)，有a=2b，即电车的速度是
12
16
行人步行速度的2倍。那么l=4(a+ b)=6a，则发车间隔上：
50(1)54
．即
1211
发车间隔为 6分钟．

【例 2】 一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度 的3倍，每
隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，
如 果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽
车？

【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步
行。 甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行
60米，每隔10分15秒 遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开
出一辆电车？
【解析】 这类问题一 般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相
6
遇问题，他们的路程和 即为相邻两车间距离，根据公式得
54
，类似可得
11
51
65(1210)605465
，那么
65
，即，解得
54
米分，因此发车间隔为
1112
1111
9020÷820=11分钟。

【例 3】 甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有
上 坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，
有一名学生从乙城 骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速
度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在 平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇
到一辆汽车？

【例 4】 甲、乙两地是电车 始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王
分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每 辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一
辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟 遇到迎面开
来的一辆电车．已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他
们已 行走了 分钟．

【例 5】 小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰注意 到，每隔9分钟就有一辆公交车从
后方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，小峰只好打的去小宝家，这 时小峰又
发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度
的5倍 ，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，公交车的发车时
间间隔为多少分钟？

【例 6】 某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从
后 面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过，已知A、B两港间货船的
发船间隔时间相同，且船 在净水中的速度相同，均是水速的7倍，那么货船发出
的时间间隔是__________分钟。

3 6

模块二 火车过桥
【例 7】 小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5 米秒，这
时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了 20秒．已知火车全
长 390米，求火车的速度．


【例 8】 小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速 度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一
块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另 一块表记下了从车头
过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的< br>距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?



【例 9】 李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里，看到一辆有 30节车厢的货车迎
面 驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口
时，所计的时间是18秒．已知 货车车厢长15.8米，车厢间距1.2 米，货车
车头长10米．问货车行驶的速度是多少？


【例 10】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速 度
为3.6千米时，骑车人速度为10.8千米时，这时有一列火车从他们背后开过来，
火车通 过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

【解析】 行人的速度为3.6千米时=1米秒，骑车人的速度为10.8千米时=3米秒。火车
的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。
如果设火车的速度为
x
米秒，那么火车的车身长度可表示为（
x
-1）×22或（
x-3）
×26，由此不难列出方程。
法一：设这列火车的速度是
x
米秒 ，依题意列方程，得（
x
-1）×22=（
x
-3）×
26。
解得
x
=14。所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米）。
法二：直接设火车的车长是
x
, 那么等量关系就在于火车的速度上。可得：
x
26＋
3＝
x
22＋1 这样直接也可以
x
=286米
法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。
两次的追及时间比是：2 2：26＝11：13，所以可得：（
V
车－1）：（
V
车－3）＝13：< br>11，
可得
V
车＝14米秒，所以火车的车长是（14-1）×22=286（米）

4 6

【例 11】 一列长110米的火车以每小时30千米 的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小
路上，一位工人也正向北步行。14时10分时火车追上这位工人， 15秒后离
开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问：工
人与 学生将在何时相遇？


【例 12】 同方向行驶的火车，快车每秒行30米，慢 车每秒行22米。如果从辆车头对齐开
始算，则行24秒后快车超过慢车，如果从辆车尾对齐开始算，则 行28秒后快车
超过慢车。快车长多少米，满车长多少米？

【例 13】 两列火 车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，
甲车上一乘客发现：从乙车 车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共
用了14秒，求乙车的车长.

【例 14】 在双轨铁道上，速度为
54
千米小时的货车
10
时到 达铁桥，
10
时
1
分
24
秒完全通
过铁桥，后来一 列速度为
72
千米小时的列车，
10
时
12
分到达铁桥，< br>10
时
12
分
53
秒完全通过铁桥，
10
时
48
分
56
秒列车完全超过在前面行使的货车．求货车、列
车和铁桥 的长度各是多少米？

【例 15】 一条单线铁路上有A,B,C,D,E 5个车站,它 们之间的路程如图所示(单位:千米).
两列火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行6 0千米,从E站开出
的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来< br>的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能
使停车等候的 时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?
【解析】



A
225千米
2
5千米
15千米
B C
D
230千米
E
两列火车同时从
A
,
E两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,
从而知道应在哪一个车站停车等待时间最 短.
从图中可知,
AE
的距离是:225+25+15+230=495(千米)
两车相遇所用的时间是:495÷(60+50)=4.5(小时)
相遇处距
A
站的距离是:60×4.5=270(千米)
而
A
,
D
两站的距离为:225+25+15=265(千米)
由于270千米>265千米,从
A
站开出的火车应安排在
D< br>站相遇,才能使停车等
待的时间最短.
因为相遇处离
D
站距离为27 0-265=5(千米),那么,先到达
D
站的火车至少需要
等待:
2:1< br>(小时) ，
x
小时=11分钟



5 6

模块三 流水行船

【例 16】 乙船顺水航行2小时，行了1 20千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一
段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几 小时?


【例 17】 船往返于相距180千米的两港之间， 顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小
时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么 逆水而行需要几小时?



【例 18】 一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千
米，逆流航行 120 千米也用 16 时。求水流的速度。


【例 19】 江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘
游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了
1 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6 分钟后货船上
的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速
度 为每小时多少千米？


【解析】 此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货 舱追上游船的过
程中，两者的追及距离是 15 千米，共用了 5 小时，故两者的速度差是 15÷5=3
千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是 3 千米。在紧接着
的 1 个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距 3×1=3千米。这时货船上的
东西落入水中，6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已
经是货船的静水速度×110 千米，从 此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，
又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度 ，所以这段时间是货
船的静水速度*110÷货船的静水速度=110小时。按题意，此时也刚好遇上追 上
来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*110=3310 千米，两
者到相遇共用了 110 小时，帮两者的速度和是每小时 3310÷110=33 千米，这
与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时
快 3 千米，故游船的速度为每小时（33-3）÷2=15 千米。

【例 20】 一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为
每小时11千米. B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千
米.已知A,C两镇水路相距50千 米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上
船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又 顺流而下到C镇,共用8小
时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?
【解析】 如下画出示意图
有
A

B
段顺水的速度为11+1.5=12.5 千米小时,有
B

C
段顺水的速度为
3.5+1.5=5千米小时． 而从
A

C
全程的行驶时间为8-1=7小时．设
AB
长< br>x
千米,
有

x50x
7
,解得
x< br>=25．所以
A
,
B
两镇间的距离是25千米.
12.55
6 6