安全阀校验报告-海南省地方税务局

第二十六讲 比较与估算

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在前面的章节中 ，同学们已经对分数的计算有了一定的认识，也学习了很多比较分数大
小的方法．今天我们将继续研究一 些较复杂的分数比较大小和估算的问题．
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例题1．
&&
、
3
1
、
116
、
3.15
&
&
、
3
37
．如果按照从小到大排列的第三现 有7个数，其中5个是
3.14
737273
116
，那么位于最中间的数是 多少？
37
「分析」这是一个比较多个数大小关系的推理题，虽然其中有着两个数未知，但是 我们还应
该先比较已知数之间的大小关系，再利用其他条件来推理出题目的结果．






练习1．
个数是
2
52413
&&
&
有8个数，
0.51
、、、
0.51
、、是 其中的6个．如果按从小到大的顺序排列时，
3
94725
&
第4个数是0.51
．那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？



例题2．
253

的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．
3□4
「分析」分子相同，分母大的分数小．但分子不一样怎么比较大小呢？




练习2
在不等式
在不等式
25

的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．那么方框中最大可以填多少？
7□





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在算式的估算中，有一种方法比较常用，就是用非常接近的数来替换原来的数，这样可
以得到一 个和真实答案非常接近的近似值，但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符
合题意．
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例题3．
算式
33.33333.333
计算结果的整数部分是多少？
「分析」本 题需要计算两个较复杂的数相乘，但是不要求计算出最后结果，只要求出结果的
整数部分就可以了．我们 可以从以下两个方面考虑：
（1）估算结果的大致情况，推出整数部分．
（2）计算出准确结果，确定整数部分．
那大家想一想应该怎么办？


练习3．
算式
66.66666.666
计算结果的整数部分是多少？



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算式的缩放是估算问 题中经常用到的方法．缩放的方法有很多．在放缩的时候要注意不
可将范围放缩得过大，这样将无法起到 放缩本来应该有的作用．
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例题4．
算式
2222
计算结果的整数部分是多少？
L
11121320

「分析」本题显然不能硬算，不然太麻烦．如 果能将该算式稍加变形，使它不仅变得好算，
还能确定大小范围，那就可以求出它的整数部分是多少了．

练习4．
算式



例题5．
求出
9999999999999999
的计算结果的整数部分．
L 
10000000
3333
L
计算结果的整数部分是多少？ 20212229
「分析」同例题4，需要对算式稍作变形，加以放缩来确定大小范围，进而求出整 数部分．


例题6．
（1）两个小数的整数部分分别是4和5，那么这 两个小数乘积的整数部分共有多少种可能
的取值？
（2）将两个小数四舍五入到个位后，所得 到的数值分别是7和9．将这两个小数的乘积四
舍五入到个位后共有多少种可能的取值？
「分 析」注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围，那么乘积也一定有一个连续
的取值范围．

等号与不等号的历史


一、等号，不等号
为了表示等量关系，用“＝”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号了．
说来话长，在1 5、16世纪的数学书中，还用单词代表两个量的相等关系．例如在当时
一些公式里，常常写着aequ 或aequaliter这种单词，其含义是“相等”的意思．
1557年，英国数学家列科尔德，在 其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地
重复isaequalleto（等于）这个单词，我 认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没
有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了．”于 是，列科尔德有创见性地用两条平行且
相等的线段“＝”表示“相等”，“＝”叫做等号．
用 “＝”替换了单词表示相等是数学上的一个进步．由于受当时历史条件的限制，列科
尔德发明的等号，并 没有马上为大家所采用．历史上也有人用其它符号表示过相等．例如数
学家笛卡儿在1637年出版的《 几何学》一书中，曾用“∞”表示过“相等”．直到17世纪，
德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大 力倡导使用“＝”，由于他在数学界颇负盛名，等
号渐渐被世人所公认．
顺便提一下，“≠” 是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号．“≠”和“=”的意
义相反，在数学里也是经常用到的，例 如a＋1≠a＋5．
二、大于号，小于号
现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间 之间，有相等关系，也有不等关系．我
们知道，相等关系可以用“＝”表示，不等关系用什么符号来表示 呢？
为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽了脑汁．1629年，法国
数学家日腊尔，在他的《代数教程》中，用象征的符号“ff”表示“大于”，用符号“§”
表示“小于 ”．例如，A大于B记作：“AffB”，A小于B记作“A§B”．1631年，英国数
学家哈里奥特 ，首先创用符号“＞”表示“大于”，“＜”表示“小于”，这就是现在通用
的大于号和小于号．例如5 ＞3，－2＜0，a＞b，m＜n．
与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号． 例如，
1631
年，数
学家奥乌列德曾采用“”代表“大于”；用“”代表“小于”．
1634
年，法国
数学家厄里贡在他写的《数学教程》里，引用了很不简便的符号，表 示不等关系，例如：
a
＞
b
用符号“
a3
|
2b< br>”表示；
b
＜
a
用符号“
b2
|
3a
”表示．因为这些不等号书写起来十分繁琐，
很快就被淘汰了．只有哈里奥特创用的“＞”和“＜”一 直广为使用．

作业1.
下面的分数中，最大的是哪个？
3
2
6
，，
11
9
25
作业2.
下面三个算式的结果中，最大的是哪个？最小的是哪个？
A
111111
，
B
，
C
．

6

2222
作业3.
算式
135L11
的整数部分是多少？
13151723

作业4.
6.66669.9999
的整数部分是多少？

作业5.
小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到
8972
，那么原算 式结果的整数部分
有多少种可能？

第二十六讲 比较与估算

例题1. 答案：
3
37

273
1116
&&< br>3.1414L
，详解：我们把所有的数化为小数后比较：
3.14
33. 1428L
，
3.1351L
，
737
&
&
3 .1515L
，
3
37
3.1355L
．经比较，有
11 6
3
37
3.14
&&
3
1
3.15&
&
．注意到
3.15
273372737
116116
是7个数中从小到大排列的第3个，说明另两个没有写出的数比小，为最小的
3737
两个数 ．那么可知7个数中位于中间的数是
3

例题2. 答案：7
详解：通分子，

例题3. 答案：1111
303030
，所以
45

45640
37
．
273
640
，只能填7．
&
，而
33.3
&
估
&
33
1
．因此我们可以尝试利用
33.3
详解：我们发现33.33333比较接近
33.3
3
算结果，再把小数化成分数计算 ：
111
33.3333333.3333333331111
．因此
33.3333333.33333
333399
计算结果的整数部分是1111．

例题
4.
答案：
1
122221
10< br>，详解：
10L
结果介于
1~2
之间，所以整数部分是< br>1
．

51112132010

例题5. 答案：9 99999999999999999
L10
，所以结果介
1000 000010
于9到10之间，整数部分是9．

例题6. 答案：（1）10；（2）17
详解：（1）设两个小数分别为a和b，由于两个小数四舍五入到个位 后所得到的数值分
别是4和5，所以考虑到小数点的情况，可得
4a5
，
5b6
．因此，我们得到
所以两个小数乘积的整数可取20到29之间的任何
a b4520
，
ab5630
．
整数值，一共有10种可能的取 值．
（2）设两个小数分别为a和b，由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分别是7
和9，所以考虑到小数点的情况，可得
6.5a7.5
，
8.5b9.5．因此，我们得到
ab6.58.555.25
，
ab9.57. 571.25
．所以两个小数乘积的整数可取55到
71之间的任何整数值，一共有17种可 能的取值．
详解：通过放缩可得：
110

&
&
练习1. 答案：
0.51

24135
2< br>&&
&
、
0.51
、
0.51
、、、．说明另外两个
47259
3
&
&
不知道的数一定是最小的和第二小的，由此可知第 四大的数是
0.51
．
简答：已知的六个数从小到大的顺序是

练习2. 答案：17
简答：通分子，得

练习3. 答案：4444
简答：
66.66666.66666.666

练习4. 答案：1
简答：

作业1. 答案：
3

11
1010
，方框中最大可填17．

352
200
4444.4
，所以整数部分是4444． < br>3
30333333
10L101.5
．可知整数部分是 1．
29292021222920
简答：把分子都变成6．
作业2. 答案：A，C
404040
，
B
，
C
．分子都是40 ，根据和同近积大，可知A
112913271426
的分母最小，C的分母最大．
作业3. 答案：36
简答：
A
简答：
135L11 36
，
即
22222
6L6
，
23131 52313
1222212
L1
．可知原式的整数部分是36．
2313152313
20
9.999966.666
．整数部分是66．
3
作业4. 答案：66
简答：原式

作业5. 答案：18 < br>简答：设两个乘数分别为A和B，那么A在7.5与8.5之间，B在8.5与9.5之间．那么
它们的乘积在63.75与80.75之间．整数部分可能是63~80，有18种可能．