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因数与倍数


课前预习

因数与倍数
一天，因数和倍数走到了一起。倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？”
“我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。
“我是老大呀。”
“你是老大？为什么”
“你说，一个数的倍数有多少个呀？”
“这我知道，一个数的倍数有无数个。”
只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数 的个数就那么可怜的几个。而一个数的倍数有无
数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。 你说，你不应该拜我吗？”
“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知 道你是老几吗？我们的家
庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。再说，离开我们这些因数 ，你们这些倍数还成立吗？”
因数理直气壮地回答。
只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对， 其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。刚才是
我不对，我向你道歉了。”
“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。 在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。
因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。



知识框架

一、 约数的概念与最大公约数
0被排除在约数与倍数之外
1
． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：
2313 711
，
2522
2
3
2
7
，所以
(231,252)3721
；
21812
②短除法：先找出所有共有的约 数，然后相乘．例如：
396
，所以
(12,18)236
；
32
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗 转
相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个 余
数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余 数
去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数 是1，
那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：
1 5156002L315
；
6003151L285
；
31528 51L30
；
285309L15
；
30152L0
；所 以1515和600的最大公约数是15．
2
． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
n
．
3
． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分 数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子
的最大公约数b；
b
即为所求．
a
二、倍数的概念与最小公倍数
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以

231,252

2
2
3
2
7112772
；
②短除法求最小公倍数；
21812
例如：
396
，所以

18,12

233236
；
32
③
[a,b]
ab
．
(a,b)
2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
b
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍 数
a
；求出各个分数分母的最大公约数
b
；
a
35[3,5 ]15
即为所求．例如：
[,]

412(4,12)4
< br>14


1,4

4
注意：两个最简分数的最大 公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：

,


23


2,3

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果
m
为< br>A
、
B
的最大公约数，且
Ama
，
Bmb
，那么
a、b
互质，所以
A
、
B
的最小公倍数为
mab
，
所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①
ABmambmmab
，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是
A
、
B
、
AB
、
AB及最小公倍数的约数．
2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即
(a,b)[a,b]ab
，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：
567210
，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：
678 336
，而6,7,8的最小公倍数为
3362168

性质（3）不 是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，
即“几个数最小公 倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1
． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为
2
3
5
2
7
，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲 的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲
过的数字“唯一分解定理”形式 基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要
求其掌握。难点在于公式的逆推 ，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉
一个数有多少个约数，然后再结 合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

2
． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其 严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的
最高次幂求和，然后再将这些得到的和 相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：
210002
3
35
3
7
，所以21000所有约数的和为
(122
2
2
3
)(13)(155
2
5
3
)(17) 74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮 助学生找规律性的
记忆即可。

重难点

重点：
分解质 因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并
且灵活运用。

难点：
在对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
例题精讲

【例1】 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

【巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

【例2】 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米. 现在要把它们截成相等的小段，每根都
不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件， 第二道工序每
个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡， 三道工序至少
各分配几个工人？

【例3】 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三 种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3
人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料. 问参加会餐的人数是多少人？

【巩固】一张长方形纸，长2703厘米，宽 1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩
余且正方形的边长要尽可能大.问： 这样的正方形的边长是多少厘米？

【例4】 用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

【巩固】求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？

【例5】求21672和11352的最小公倍数。

【例5】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问 ：
能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

【巩固】一个房间长4 50厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多
少块(整块)，才 能正好把房间地面铺满？



【例7】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

【巩固】用
1:9
这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位 数，求这些数的最大公约数．

【例8】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．

【巩固】一次考试，参加的学生中有
人，那么得差的学生有多少人？
111
得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50
732


【例9】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的 最小公倍数是126，
那么甲数是多少?

【例10】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．

【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
课堂检测

1、教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个 鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些
果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份 礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？

在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个 ？
2、用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的 最大公约数最
大可能是___________．

3、一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？


4、一次考试，参加的学生中有
那么得差的学生有多少人？
111
得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，
743

5、 有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．已
知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？

6、已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．（★）

复习总结

1、质数与合数:一个数除了1和 它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除
了1和它本身，还有别的约数，这 个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2、质因数与分解质因数如果一个质数是某个 数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一
个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质 因数。

家庭作业

1、 有336个苹果，252个桔子，210个梨 ，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，
三样水果各多少？（★）
2、 把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小
朋 友？（★）
3、 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．（★）

4、
两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．（★）

5、从
20
以内的质数中选出
6
个，然后把这
6
个数分别写在正方体木块的6
个面上，并且使得相对两个面
的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个 面的三个数之和可能有多少种不同的值？


教学反馈

学生对本次课的评价

○特别满意 ○满意 ○一般

家长意见及建议



家长签字：