墨守成规-200字读后感

第一讲 分数计算技巧（裂项）



(美国长岛小学数学竞赛)
11111


1223344556




(第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)
11111
计算
1234L20

261220420



11111111


8244888




(2009年迎春杯初赛六年级)
111

1计算
25


L


=

2325

133557




(第三届祖冲之杯邀请赛填空题第12题、人大附中入学测试题)
365791113
计算



57612203042

计算
1
5
6

7
12

9
20
< br>11
30

13151719
42

56

72

90






1．黄金数列

2．裂差：先裂再碎，掐头去尾。

抵消
3．裂和
凑整
测试题一

1．
111111
2

6

12

20

30
42

A．1
6
7
B．1
1
．
1

7
C

7


2．
1
1
6
2
1
12
3
11111
20
4
3 0
5
42
6
56
7
72

A．
28
1
7
18
B．
27

18
C．

29
1
18


3．
1
3

11
6

10

15
21

28

36

45

55

66

78

91

105
120
A．
1
8
B．
9

8
C．
7
8



4．
213

2
35

2
57
...... 
2
9799

A．
98
98
99
B．
1
99
C．
1
99


5．
1
109
2
＋
5
6
＋
11
12
＋……＋
110

A．10
10
11
B．9
10
．9
1

11
C

11



2 25
D．
6
7

D．
28
7
18
D．
7
10

D．
1
1
99

D．10
1
11

第二讲 分数四则混合运算


2411
计算
11(282.5)

3593



.

21
计算
2.59.632.1

53




34

1

2

计算

3.9136.096



21.125


11.5

6.04

77

8

3





15
计算
1.2517.4125%

48





7

71999
2
19991
计算
9

9

< br>8

81999
2
199919981998
2






3 25

(2007年希望杯第五届六年级一试)
11111111
(1) (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
23456789
_____ 。

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9




计算
1
2
3
1
1< br>1
4
1
5


第三讲 因数与倍数（一）
——公因数公倍数



因 数和倍数的定义：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的
因数。
注意：有些题目中会出现“约数”一词，它与“因数”的含义是完全相同的。

因数的找法：因数总是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身。
如60包含因数：1和60；2和30；3和20；4和15；5和12；6和10。


如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍。现有 一
个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满
足 条件的整数n有哪些？



最大公因数的定义：如果一个自然数同时是 若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若
干个自然数的公因数。在所有公因数中最大的一个公因数 ，称为这若干
个自然数的最大公因数。例如：(8，12)＝4，(6，9，15)＝3。
最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若
干个自然数的 公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，
4 25

称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：[8，12]＝24，[6，9，15]＝90。

求最大公因数的方法：
分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：231＝3×7×11 ，252＝2
2
×3
2
×7，所以(231，252)＝3×7＝21；
又如：24＝2
3
×3，36＝2
2
×3
2
，所以(24，36)＝2
2
×3＝12；
短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．
例如：

，所以(12，18)＝2×3＝6。
幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平 均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼
干多出4块，桔子多出2个。这个大班的小朋友最多有多少人？



现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？



求最小公倍数的方法：
分解质因数法：先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次。
例如：231＝3×7×11，252＝2
2
×3
2
×7，
所以[231，252]＝2
2
×3
2
×7×11＝2772；
又如：24＝2
3
×3，36＝2
2
×3
2
，所以 [24，36]＝ 2
3
×3
2
＝72；
短除法：先找所有包含的因数，然后相乘。
例如：，所以[18，12]＝2×3×3×2＝36；
特殊地，如果要求多个数的最小公倍数，需要短除直至任意两数都互质。
例如：

，所以[12，18，40]＝2×3×2×3×1×10＝360；
动物园的饲养员给三 群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第
二群，则每只猴子可得15粒；如 只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么平均给三群猴
5 25

子，每只可得多少粒？


菜单A＝ma
菜单B＝mb
(A，B)＝m
[A，B]＝mab
(A，B)×[A，B]＝A×B

a，b两数的最大公约数为4，最小公倍数为120。问a，b各是多少？写出所有答案。




甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105， 甲、丙两数的最小公倍数
是126，那么甲数是多少？



测试题三
1．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数 的12倍，
那么这个整数最小是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
2．学校举办运动会，给啦啦队的队员分物品，共有141面小旗，2 32束花环，278条彩带，
若平均分给啦啦队的队员，则旗多3面，花环多2束，彩带多2条，那么啦 啦队的队员
最多有( )人。
A．40 B．42
C．46 D．48

3．4个自然数的和是1001，那么这4个数的公因数当中，最大的可能是( )
A．143 B．200
C．286 D．429

4．幼 儿园给小朋友分水果，如果只分给小班的小朋友，那么每人可得4个，如果只分给中
班的小朋友，那么每 人可得6个，如果只分给大班的小朋友，那么每人可得12个，那么
平均分给三个班的小朋友，每人可得 ( )个。
A．1 B．2
C．3 D．4

5．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是56，那么这两个数的和是( )
A．30 B．60
C．36或60 D．36


6 25

第四讲 因数与倍数（二）

—约数倍数综合运用


两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是216，这两个数分别是多
少？



两个 数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多
少？



有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从 右面第一人开始每隔4
人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。那么这些小朋友最多有多 少人？



一次考试，参加的学生中有七分之一得优，四分之一得良， 三分之一得中，其余的得差，已
知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有 人。



有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米 ，乙每分钟走120米，丙每分钟
走70米。已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一 地点出发，问几分钟后，
三个人首次同时回到出发点？


(10年希望杯五年级初赛第11题)
夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里 一条环形小路的长度，他们从同一点
同向行走。小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完 一圈后又都回到出发点，
这时雪地上只留下60个脚印。那么这条小路长 __ 米。

7 25

连续7个自然数的和既是5的倍数，也是9 的倍数，那么这7个自然数中最大的一个数的最
小值是_______。
测试题四
1．有两个自然数，它们的最大公因数是12，最小公倍数是180，并且两数不成倍数关系。
这两个 数分别是( )
A．36，60 B．12，180 C．12，150 D．36，150

2．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，这两个数分别是( )
A．45，72 B．36，90 C．24，135 D．18，180

3 ．鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端开始向另一端挖洞。鼹鼠每隔3米挖一个洞，老
鼠每隔5米挖 一个洞，老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来
要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要 挖的洞，所以老鼠可以少挖( )个洞。

A．10 B．9 C．6 D．5

4．某班学生不足50人，在一次测验中有七分之一得优，三分之一得良，二分之一及格，这
个班有( )人。
A．45 B．44 C．43 D．42

5．三个无业游民A、B、C在一棵树下赌博，开始时他们所有钱数比是7∶6∶5，赌完之后
他们的钱 数比变成6∶5∶4(钱的所有者次序相同)。其中一个人嬴了12元，他原来有
( )元钱。
A．420 B．210 C．105 D．55






8 25

第五讲 完全平方数（一）



一、完全平方数的定义：
我们把一个自 然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数。如0
2
＝0，1
2
＝1，2
2
＝
4，…，11
2
＝121，12
2
＝144， …其中0，1，4，…，121，144叫做完全平方数。

二、完全平方数表：
五年级应记住20以内自然数的平方，六年级应记住32以内自然数的平方。32以内自
然数的平方如下 ：

三、完全平方数的常用性质：
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9；

某班同学做体 操时正好可以排成一个行数与列数相等的方阵。做完操后，老师让班长按5人
一组分组活动，班长算了一 下说：“5人一组分组还多2人。”老师马上说：“你一定算错了。”
你知道老师这样说的根据吗？


性质2：完全平方数除以3只可能余0或1；
完全平方数除以4只可能余0或1；
完全平方数除以8只可能余0、1或4；
完全平方数除以16只可能余0、1、4或9；

有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和。请问这个三位数的最大值是多少？


性质3：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数；（反之也一样）
如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数；
如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中
的一个；
如果一个完全平方数的个位是奇数，那么它的十位一定是偶数；

9 25

有没有各位数字完全相同的完全平方数？(至少两位)


性质4：完全平方数做质因数分解后每个质因数的次数都是偶数；


从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的共有多少个？



求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数。




测试题五

1．7744是四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同的完全平方数吗？
A．不是 B．不确定 C．是

2．8，88，888，8888…中有完全平方数吗？
A．有 B．没有 C．不确定

3．已知
3528a
恰是自然数
b
的平方数，
a
的最小值是( )
A．5 B．6 C．3 D．2

4．从1到 1820的所有自然数中，乘以48后是完全平方数的共有多少个？
A．24 B．25 C．19 D．21

10 25

5．两数乘积为
1080
，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多
1
，那么这两个
数分别是 ( )
A．31、36 B．36、30 C．40、42 D．38、24
第六讲 完全平方数（二）


性质5：完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。特别地 ，因数个数为3的自然数是质
数的平方。

求一个房间中有100盏灯，用自然数 1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，
所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间 ，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯
的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号 为2的倍数的灯的开关按一下，然
后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍 数的灯的开关按一下，然
后离开。问：第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？



(2009年迎春杯初赛五年级)200名同学编为1至200号面向南站成一排 。第1次全体同学向右
转(转后所有的同学面朝西)；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号 为3的倍数的
同学向右转；…；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有_ _____名。


性质6：平方差公式：a
2
－b
2
＝(a＋b)(a－b)
其中a＋b，a－b奇偶性相同。
特殊时期，b＝1有不同应用。

一个数减去100是一个完全平方数，减去63也是一个完全平方数，问这个数是多少？



一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数 ”，比如
16＝5
2
－3
2
，16就是一个“智慧数”。在自然数列 中从1开始数起，第2009个“智慧数”是
________。

草地上趴着3 599只面朝前的小甲虫。他们身上背着从1到3599的号码牌。第一秒时号码是
1的倍数的甲虫向右 转90度，第二秒时2的倍数的小甲虫向右转90度，第三秒时3的倍数
的小甲虫向右转90度…一个小 时后，第3599只小甲虫面朝哪儿？
11 25

测试题六
1．已知
m
，
n
都是自然数，且
n2
=
126m
，则
n
的最小值为( )
A．26 B．39 C．42 D．50

2．三个连续正整数，中间一个是完全 平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。
问：所有美妙数的最大公约数是多少？
A．50 B．60 C．56 D．39

3．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
A．能 B．不能 C．不确定

4．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为 “智慧数”，比如16=
，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是
5
2
3
2
，16就是一个“智慧数”
_______。
A．2673 B．3259 C．1986 D．2158

12 25

5．有两个两位数，它们的差是
18
，将它们分别平方，得到的两个平方数 的末两位数(个位
数和十位数)相同，那么这样的两位数有 组。
A．4 B．3 C．2 D．1

第七讲 数字谜综合


有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数。再把这个小数和原来的
四位数相加，得数是4003.64，求这个四位数。



把1至6填入下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立。请写出所有的答案。


已知a是一个自然数，A、B是1至9中的数字，最简分数



将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入图中的9个圆圈内，使其中一条边上的4个数之和与另一条边的4个数之和的比值最大，那么这个比值是多少？
a
&
&
。请问：a是多少？
0.3A3B
222




老师在黑板上 写了13个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小明计算出的答数是
12.43。老师说最后 一位数字错了，其他的数字都对。正确答案应该是什么？




13 25

111
0.658
上式是经 过四舍五入得到的等式，其中每个△代表一个一位数。那么这3

个△所代表的3个数分别 是多少？


测试题七

1．有一个五位整数，在它的某位数字 前面加上一个小数点，再与这个五位数相加，得数是
30286.256．求这个五位数是多少？
A．30256 B．20836 C．40356 D．31456
2．小明在做一道数学 题，题目要求计算17个自然数的平均值(结果精确到0.001)，小明计
算的结果是14.473， 第二天老师公布答案时，小明发现自己的结果就是最后一位错了，
其他都对，那么正确的结果是多少？
A．14.478 B．14.475 C．14.474 D．14.471
3．你能用1，3，7，8

四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得计
算结果等于21吗？
A．能 B．不能
C．不确定 D．以上答案都不对
&
&
化成最简分数后，分子与分母之和为400，那么A，B，C分别是多少？
4．循环小数

A．3、2、6 B．2、0、1 C．1、3、5 D．4、0、3
5．将3，4，5，6，7，8，9，10，11分别填入图中的9个圆圈内，使其中一条边上的4个< br>数之和与另一条边的4个数之和的比值最大。那么这个比值是多少？
A．1 B．2 C．3 D．4
.

第八讲 等比数列


什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么
这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

什么是等比数列？
和等差 数列类似，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数，那么这个数 列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。

14 25

找出下列数列的规律，继续写出两项，并说出哪些是等差数列，哪些是等比数列？
⑴5，5，5，5
⑵1，2，4，7，11
⑶6，12，24，48，96
⑷2，3，5，8，13
⑸20，17，14，11，8

世界杯期 间，e度社区举办了竞猜得金币活动。只要你竞猜成功，你的金币数就会乘以一个
固定的倍数（可以是分 数）。小昊昊原来有200个e度金币，在竞猜成功两次后，金币数变
成了450个。那么小昊昊下一次 竞猜成功后，会有多少金币？


一个等比数列，其相邻两项的差（大减小）构成一 个公比为4的等比数列，第3项比第2项
小12。那么第1项是多少？


一个等比数列，第1项和第5项的和是164，第2项和第6项的和是492。那么第1项是多
少？



计算：
1＋2＋4＋8＋…＋1024


测试题八
1．下列数列哪些是等差数列，哪些是等比数列？( )
9，9，9，9

①
9，12，36，108，324

②
4，86，81，76，71
③
91，
A．等差数列：①，等比数列：②，③
B．等差数列：①，③，等比数列：①，②
C．等差数列：①，③，等比数列：②
D．等差数列：③，等比数列：①，②
2．世界杯期间，e度社区举办了竞猜得金币活动。只 要你竞猜成功，你的金币数就会乘以一
个固定的倍数(可以是分数)。小昊昊原来有150个e度金币， 在竞猜成功两次后，金币
数变成了600个。那么小昊昊下一次竞猜成功后，会有( )金币。
A．1000 B．1100 C．1200 D．1300
15 25

3．一个等比数列，其相邻两项的差(大减小)构成一个公比为6的等 比数列，第3项比第2项
小10。那么第1项是( )。
A．60 B．72 C．84 D．96
4．一个等比数列，第1项和第5项的和是8194，第2项和第6项的和是65 552。那么第1
项是( )。
A．2 B．8 C．12 D．16
5．计算：
139L2187
的和是( )
A．3278 B．3280 C．6560 D．6562
第九讲 时钟问题





两点几分，时针分针重合？



有一座时 钟现在显示10时整，那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合？再经过多少
分钟，分针与时针第二 次重合?

4时与5时之间，什么时刻时钟的分针和时针成一直线？
16 25

8时到9时之间，在什么时刻时针与分针的夹角是60度？



在0点到12点之间，钟面上的时针与分针成60°有几次？

在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央。请问：
这一时刻是 6点多少分？

测试题九
1．在6点和7点之间，两针在( )时重合。
A．5点
32
C．6点
32
8
分
11

8
B．6点
31
分
11
87
分 D．6点
32
分
1111
2．现在是6点45分，( )时时针与分针第一次重合。
A．7点39
C．7点38
2

11
B．6点38
2

11
23
D．7点38
1111
3．一个时钟现在显示的时间是8点整，那么

⑴( )分钟后，时针与分针第一次重合。
⑵再经过( )分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线。
A．
42
C．
43
7
10
，
10

11
11
B．
43
78
，
32

1111
71088
，
11
D．
43
，
32

11111111
4．在10点与11点之间，钟面上时针和分针在( )时刻第一次垂直，( )时刻第二次垂直。
A．10点
5
B．10点
5
C．11点
5
6
2
分，10点
38
分
11
11
5
2
分，11点
38
分
11
11
5
2
分，10点
38
分
11
11
5
2
分，10点
38
分
11
11
D．10点
5

17 25

5．在18点18分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是( )度。

A．81度 B．72度 C．69度 D．83度


第十讲 分数应用题




胖胖重30kg，气球重45kg。胖胖的体重是气球的几分之几？


气球的体重比胖胖多几分之几？


胖胖的体重比气球少几分之几？

气球的体重比胖胖多




1
，则胖胖比气球少几分之几?
2

18 25

有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少
同学多少人？



一批木料先用去总数的
共有多少立方米？



甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元。在人民市场，甲买一
4
，乙买一件衬衫花去了人民币16元。这样两人身上所剩的钱正
9
好一样多。问甲、乙两人原先 各带了多少钱?


22
，又用去剩下的，这时用去的比剩下的多10立方 米，这批木料
75
1
，总人数增加16人，那么现有男
20
双运动鞋 花去了所带钱的

王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年 龄和的
1
，李
2
1
1
先生的年龄是另外三人年龄和的，赵先 生的年龄是其他三人年龄和的，杨先生26岁，
3
4
你知道王先生多少岁吗?



今年孙子是爷爷年龄的
年龄的
1
1
，若干年以后孙子变成爷爷年龄的，再过若干年，孙子变成爷爷
5
6
1
。则 今年爷爷多少岁？
4

1
林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆 ，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林
3
1
又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀 ，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了
3
一杯纯牛奶总量的 (用分数表示)。
19 25

1．四个基本问题
2．一个不变量
测试题十
2
1．果农卖水果，总共有梨和苹果700个 ，卖掉200个苹果，又卖掉梨的
，总水果数减少
3
了400个，那么现在有梨( )个。
A．300 B．200 C．100 D．50
1
2
2．孙悟 空给小猴分桃子，第一天分了全部的
，第二天分了剩下的，第二天比第一天少
3
5分20个桃子，那么孙悟空分的桃子一共有( )个。
A．50 B．100 C．150 D．200
1
3．叮叮和铛铛两个人一共有48个苹果，叮叮又买来12个苹果 ，铛铛又买来自己苹果的
，
7
此时他们的苹果数相同，那么原来叮叮有( )个苹果。
A．20 B．24 C．28 D．30
1
4．小明、小英、小丽 和小华四人爱好集邮，小明的邮票数是小英的
，小英的邮票数是小
2
1
1丽的，小丽的邮票数是小华的，已知四人共集邮132张，那么小明集邮( )张。
3
4
A．48 B．12 C．8 D．4
11
5．今年孙子是 爷爷年龄的
，若干年以后孙子变成爷爷年龄的，再过若干年，孙子变成
76
1
爷爷年龄的。则今年爷爷( )岁。(已知爷爷今年的年龄超过50岁，但不到
4
100岁。)
A．35 B．60 C．70 D．85
第十一讲 工程问题



工程问题三个基本量：工作效率、工作时间、工作总量。
工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
工作时间：完成工作总量所需的时间。
工作总量＝工作效率×工作时间

工程问题的本质就是研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
特别需要注意的是，工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

常用方法和技巧
关于工程问题有如下一些常用的解题方法和技巧：
20 25

一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天 完成，由乙单独做需要30天
完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？



一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天。若甲先做若干天后乙接 着做，共
用10天完成，问甲做了几天？



甲、乙、丙三人同 时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙
用12小时，丙用15小时。第 二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同。甲
在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙， 用了16个小时将两个仓库同时搬完。丙在A仓
库搬了多长时间？



一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做此
项工 程需6个月完成，每月耗资5万元。
⑴甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？
⑵现要求最迟5个月完成此工程，请设计一种方案，既保证按时完成任务，又尽量节省资
金。



放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完 成；如果同时打开2，3，
4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟 可以完成；如果同
时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号 阀门，那么
多少分钟可以完成？

21 25

1．基本概念

2．常用方法和技巧
测试题十一
1．一项工作甲、乙两人合作10天完成；乙、丙两人合作12天完成；甲单独做需要24天，
如果甲 、乙、丙三人合作，完成这项工作需要( )天。
A．4 B．6
C．8 D．10
2．一项工作，甲单独完成需要24天，乙单独完成需要32天，若甲先做若干天然 后乙接着
做，则共用26天时间，那么甲做了( )天。
A．12 B．14
C．16 D．18
1
3．甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程。B工程的工作 量比A工程的工作量多
，甲、
4
乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、 24天、30天。为了同时完成这两
项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后 ，又调丙队与甲队
共同完成A工程。那么丙队与乙队合作了( )天。
A．12 B．18
C．20 D．45
4．一小段公路需要修建，如果用甲队修建需要 15天完成，需要费用30万元，如果用乙队
修建需要10天完成，需要费用40万元，现在同时用甲、 乙两队修建，需要费用( )
万元。
A．30 B．36
C．38 D．40
5．一个水池有四根注水管，同时开放①、②、③号水管，12分钟注满水池；同时开放②、
③、④号水管，15分钟注满水池；若只同时开放①、④号水管，则要20分钟才能注满
水池。 那么当①、②、③、④号水管同时打开，需要( )分钟可以注满水池。
A．9 B．10
C．15 D．18
第十二讲 圆和扇形的周长与面积
（一）


圆是最美的图形
1．圆上各点到圆心的距离相等。
2．疯狂对称。
22 25

在一 个直径为d米的地球仪赤道上用铁丝打一个箍，需要多长的铁丝？如果要把这个铁丝
箍向外扩张1米(即 直径增加2米)，需要增加多长的铁丝？地球的赤道半径约是6370千米，
如果我们也可以给地球的赤 道上用铁丝打一个箍，再把这个铁丝箍向外扩张1米，需要增加
多长的铁丝？(圆周率可直接用π表示， 不需要代入数值)



23 25

一个大圆内有4个小圆，其直径的和等于大圆的直径。
问：大圆周长与所有小圆周长之和哪个长？为什么？


如图，阴影部分的面积是多少？
4
2
2
2


如图，ABCD 是边长为10厘米的正方形，且AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是______
平方厘米。(π取3.14)
D
C
(1)
A
(2)
B


如图 ，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B
、
D为圆心以4厘米为半径在正方形内画
圆。求阴影部分面积。(π取3)
A
D
B
C


24 25

测试题十二

1．一个圆的直径增加5米，那么该圆的周长增加( )米。(

取3)
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如下图所示：一个大圆内有3个小圆，其直径 的和等于大圆的直径。那么大圆周长与所
有小圆周长之和哪个长？( )
A．相等 B．大圆周长
C．所有小圆周长之和 D．无法确定

3．下图中阴影部分的面积是( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
1

4．如下图，一个半径为3厘米的半圆，以半圆的半径为边长做一个正方形，那么 图中阴影
部分的面积是多少？(

取3)( )
A．4.5平方厘米 B．6平方厘米
C．6.75平方厘米 D．9平方厘米
1
1

5．如下图，正方形ABCD的边长是2
cm
，分别 以正方形的边长为直径在正方形内画圆，那
么图中阴影部分的面积是( )
cm
2
(

取3)
A．1 B．2 C．3 D．4
A
D
B
C

25 25