五年级奥数-立体图形问题
清朝历史故事-大一英语学习计划
课程五
立体图形问题
学习目标
1.长方体、正方体表面积的计算
2.长方体、正方体的切割问题
3.长方体、正方体的体积
4.不规则物体的体积
重 点
计算长方体和正方体的表面积应注意的问题
（1）找出必备条件（长、宽、高或棱长），如题中没有直接给出，则
先求出必备条件，再求表面积（有盖还是无盖）。
（2）统一计量单位，单位不统一的，一般要通过化、聚，使单位统一
后再计算。
（3）求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。
（4）用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积
就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀，就增加两个面。
总 结
1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式
（1）长方体体积＝长×宽×高
V
长方体
＝abc
（2） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长
V
正方体
＝a
3
2.求不规则物体的体积
水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。
水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积
容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度
例1
有一个长15厘米
，宽10厘米，高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，
那么剩下
部分的表面积是多少？
（1）
（2） （3）
分析与解法
根据长方体的特征我们
可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况，可能是在面上，如图（1），可能在顶点上，
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如图（2），可能在棱上，如图（3
）。在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积;在角上时，正好等
于长方体的表面积；
在棱上时，要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。
解：原长方体表面积为:
（15×10+15×8+10×8） ×2=700（平方厘米）
在角上时，剩下部分的表面积是700（平方厘米）；
在面上时，剩下部分的表面积是：
700+5×5×4=800（平方厘米）
在棱上时，剩下部分的表面积是：700＋5×5×2＝750（平方厘米）
所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。
说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。
例2
如图棱长是
2分米的正方体，沿与AB棱垂直的方向切3刀，沿与BC棱垂直的方向切4刀，沿与BF棱垂直的
方向
切5刀，共得到大小长方体120个。问这120个长方体的表面积之和是多少平方分米。
B
E
F G
A
C
H
D
分析与解法
在这道题中，120个长方体表面积的总和是由原来
正方体的表面积与所有切面的面积两部分组成。每切一刀，
就增加2个边长是2分米的正方形，共切12
刀，增加了24个边长是2分米的正方形。
解： 2×2×6＋2×2×[（3＋4＋5）×2]
＝24＋96
＝120（平方分米）
答：这120个长方体的表面积是120平方分米。
说明：此题并没有要求是平均切，所以只能考虑在原来基础上增加了多少。
例3
有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？
分析与解法
把方木截成三段要截2次，每截一次要增加2个面，截2次增加4个面，4个面
的面积为144平方厘米，144÷
4＝36（平方厘米），根据体积公式就能求出方木的体积。
解： 144÷4＝36（平方厘米）
36×350＝12600（立方厘米）＝12.6（立方分米）
答：这根方木的体积是12.6立方分米。
说明：切n
刀分出（n+1）段，增加2n个面。
例4
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一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面积是19平方分米
，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多
少？
分析与解法
表面积减去
两个底面积，差就是长方体的侧面积，侧面积除以底面周长是长方体的高。根据公式“底面积×高”
求出
长方体的体积。
（67.92-19×2）÷17.6
＝29.92÷17.6
＝1.7（分米）
19×1.7＝32.3（立方分米）
例5
一个长
方体正块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它的六个面上都漆满油漆然后锯成棱长都是1分米的正
方
体木块，锯成的小正方体木块中，几个三面有红色？两个面、一个面有红色的各有几个？有没有六个面都没有红<
br>色的？如果有，有几个？
分析与解法
切开后三个面是红色的8个顶点处；两个面是
红色的在每条棱的中间（两头各去掉1个）；一面是红色的在每个
面的中间（上下和左右都各去掉1个）
。六个面都没有红色的，在原来的长方体的正中，也就是把原来长方体涂色的
面都去掉剩下的长方体。
解： 切开后三面有红色的有8个；
两个面有红色的有
[（5－2）+（3－2）＋（4－2）]×4＝24（个）
一个面有红色的有[（5－2）×（3－
2）＋（5－2）×（4－2）＋（3－2）×（4－2）]×2＝22（个）
六个面都没有红色的有（5-2） ×（3-2） ×（4-2）=6（个）
说明：平时要多动手，多培养自己的动手能力和空间想象能力。
例6
在长为16
厘米，宽为15厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。现在往水箱里放一块石头完全沉入水中，这时
水
面上升了4厘米。如果把石头取出来又放入一个铁球（球浸没在水中，且水没有溢出），这时水深17厘米，正好
是水箱的高度。求水箱的容积和铁球、石头的体积。
分析与解法
水上升4厘米的体积就是石头的体积。
17－10＝7（厘米），这7厘米高的水的体积就是
铁球的体积，由这些已知条件，再根据长方体的体积公式就能
分别求出它们的体积。
解：16×15×4＝960（立方厘米）
16×15×（17－10）＝1680（立方厘米）
16×15×17＝4080（立方厘米）
答：水箱的容积是4080立方厘米，铁球的体积是1680立方厘米，石头的体积是960立方厘米。
说明：仔细读题，注意“上升了”，“水深”等词语，很容易解题。
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例7
一个棱长都是整数
的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的6个面中有2个相对面是正方形，它的体积是
多少？
分析与解法
根据题意得知，这个长方体6个面中有两个面是正方形，假设它的长、宽相等。
假设长和宽用字母a表示，高
用h表示，根据等量关系式就能找到答案。
解：设长方体的长和宽都是a厘米，高是h厘米。由题意可知：
2a
2
+4ah=110
即a（a+2h）=55=5×11
因为a和h都是整数，所以a＝5，a＋2h＝11
所以a=5,h=3
长方体的体积是5×5×3＝75（立方厘米）
答：长方体的体积是75立方厘米。
说明: 当题目出现未知数时，列方程解方程是比较简便的方法。
例8
小明在桌
面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如图（1），从侧面看如图（2），那么他最多用
了多少块木块？最少用了多少块木块？
（1）
（2）
分析与解法
（1）最多用了25块正方体，第一层放3×4＝12块，第二层放3
×3＝9块，第三层的4角各放一块共4块，总
共用了12＋9＋4＝25块。
（2）在（1）的基础上不影响视图（1）、（2）的情况下逐步减少正方体，最少用9块。
我们用图来说明
小正方体
最多25块 最少9块
在一个4×3的方格长方形中，每个小方格中标有
的数字表示在这个小方格中摞起的小正方体的个数。左图显示
最多用25块小正方体；右图显示最少用9
块小正方体。
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1. 图（
练
1）是用棱长
习
1厘米的立方体搭成的一个空间图形，问其体积是多少？表面积是多少？
2. 从一个长方体上截
下一个体积是32立方厘米的长方体后，剩下的部分正好是棱长为4厘米的正方体，问原来
这个长方体的
表面积是多少平方厘米？
3. 下面图中哪些可以拼成正方体（ ）
A B
C D
4. 一根铁丝围成的长方体，长15分米
，宽8分米，高7分米，如果还用这根铁丝改围成一个正方体，那么这个
正方体的棱长是多少分米？
5. 用棱长是1厘米的立方块拼成如图的立体图形，从正面看和从右面看得到的是什么样的图形？
6. 一个长方体的水箱
，从里面量长8分米，宽6分米，先倒入102升水，再放入一块棱长2分米的正方体铁块，
这时水面离
箱口2分米，问这个水箱的容积是多少立方分米（升）？
7.
沿图的虚线折叠可以围成一个长方体，它的体积是多少？
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练习答案
1. 体积为29立方厘米，表面积为76平方厘米
2.
128平方厘米
3. BCD
4. 10分米
5.
（正面看）
6. 206立方分米（升）
7. 60 cm
3
（右面看）
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