郑州中招录取分数线-幼儿园中班教学反思

因数与倍数相关习题（1）
一、填空题
1．28的所有因数之和是_____.
2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.
3. 一个两位数,十位 数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数
字的积是24.这个两位数是_____.
4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树
667棵,如果师 生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.
5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_____.
6. 现有梨36个 ,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相
等,最多可分给_____个小朋友, 每个小朋友得梨_____个,桔_____个.
7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形
布片_____块.
8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块
(不余料 )_____块.
9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.
10. 含有6个因数的两位数有_____个.

11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大 公因数是1，但两两均不互
质，请问有多少组这种解？
12．和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？
13
13． 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳
4
米，黄鼠狼每次跳
2
米，
24
3
它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔
12
米设有一个陷 井,当它们
8
之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
14. 已知a与b的最 大公因数是12,a与
c
的最小公倍数是300,b与c的最
小公倍数也是300,那 么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组?
(例如:a=12、b=300、c=300，与a =300、b=12、c=300是不同的两个自然数
组)



———————————————答 案——————————————————————

答 案:
1． 56
28的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2. 4

因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长 方形的长与宽分别是
105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.
3. 64
因为28=2

2

7,所以28的因数有 6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9
中，只有6与4之积，或者8与3之积 是24，又6-4=2，8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有64.
4. 28
因为667=23

29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因
数: 1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.
当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题
目要求.
当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.
所以,一班共有28名学生.
5. 40或20
两个自然数的和是50,最大公 因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和
35,它们的差分别为(45-5=)40,(35- 15=)20,所以应填40或20.
[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.
6. 36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨 数、桔子
相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108
的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的
最大公因数.36和 108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.
每个小朋友可分得梨: 36

36=1(只)
每个小朋友可分得桔子: 108

36=3(只)
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.
7. 56 剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以
它是48与42的公因 数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与
42的最大公因数.
因为48= 2

2

2

2

3,42=2

3

7,所以48与42的最大公因数是6.这样,最
大正方形的边长是6 厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7
块,共可剪(48

6)

(42

6)=8

7=56(块)正方形布片.
8. 200
根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即 正方体
的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是
180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长
是9厘米 .这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分
成2段.这根木料共分割 成(180

9)

(45

9)

(1 8

9)=200块棱长是9厘米的正
方体.
9. 150
根 据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元
钱卖出15个苹果,这样, 他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出
150个苹果.

10. 16
含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连
乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个因
数的数，用a和b 表示M的质因数，那么

Ma
5
或
Ma
2
b

因为M是两位数，所以M= a
5
只有一种可能M=2
5
，而M= a
2

b就有以下
15种情况：
M2
2
3, M2
2
5,M2
2
7
，
M2
2
11,M2
2
13,M2
2
17
，

M2
2
19,M2
2
23,M3
2
2
，

M3
2
5,M3
2
7,M 3
2
11
，
M5
2
2,M5
2
3,M7
2
2
.
所以,含有6个因数的两位数共有
15+1=16(个)
11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最 大公因数只
能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15 三组.
12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大
公因数 应该是1111的因数.将1111作质因数分解,得
1111=11

101
最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101. 若为101,则将这四个数分别
除以101,所得商的和应为11.现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,101

2,101

3,101

5,
它们的和恰好是
101

(1+2+3+5)=101

11=1111,
它们的最大公因数为101.
所以101为所求.
3399
13. 黄 鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是
2
与
12
的“最小公倍数”，
48
4
991113

=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是
4
和
12
的即跳了
28
44
99999
“最小公 倍数”，即跳了

=11次掉进陷井.
222
经过比较可知,黄鼠狼先掉进 陷井,这时狐狸已跳的行程是
1
4

9=40.5(米).
2
14. 先将12、300分别进行质因数分解：

12=2
2

3
300=2
2

3

5
2

(1)确定a 的值.依题意a只能取12或12

5(=60)或12

25(=300) .
(2)确定b的值.
当a=12时,b可取12,或12

5,或12

25；
当a=60,300时，b都只能取12.
所以,满足条件的a、b共有5组：
a=12 a=12 a=12 a=60 a=300
b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.
(3)确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
5
2
，52

2，5
2

2
2
，5
2

3，5
2

2

3，5
2

2
2

3，即25，50，100，75，150，300.
所以满足条件的自然数a、b、c共有5

6=30（组）

因数与倍数相关习题（2）
一、 填空题
1．把20个梨和25个苹果平 均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还
缺2个，一共有_____个小朋友.
2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结
果糖多出7颗，饼干 多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有_____
人.
3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用
这样的木板_____块.
4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，
至少需要这种长 方体木块_____块.
5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15 、10分
钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.
6. 动物园 的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得
12粒；如只分给第二群，则每只猴子可 得15粒；如只分给第三群，则每只猴子
可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.
7. 这样的自然数是有的:它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍
数,加4是5 的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,在这种自然数中除了1
以外最小的是_____.
8． 能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是_____.
9. 把26,3 3,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的
最大公因数是1, 那么至少要分成_____组.
10. 210与330的最小公倍数是最大公因数的_____倍.

二、解答题
11．公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车， 第二条每10分
钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6：00三条路线同时发出第一辆
车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.
12. 甲乙 两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是12.如果甲乙两数
的差是18,则甲数是多少?乙数是 多少?
5151
13. 用、、
1
分别去除某一个分数，所得的商都是整数 .这个分数
2820
56
最小是几?
14. 有15位同学,每位同学都有 编号,他们是1号到15号,1号同学写了一
个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这 个数能被他的编号数整除.1
号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:
(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.

———————————————答 案——————————————————————


答 案:
1. 9
若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2= 27(个),这
样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.
2. 36
根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是
1 15-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.
所以,这个大班的小朋友最多有36人.
3. 56
所铺成正方形的木板它的边 长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方
形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以 正方形木板的边长应是
14与16的最小公倍数.
先求14与16的最小公倍数.
2 16 14
8 7
故14与16的最小公倍数是2

8

7=112.
因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板

4． 5292
与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6， 7
的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块

126 126126
=14

21

18=5292(块)
967
112112
=7

8=56(块)
16 14
[注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，
后一 题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题
是数学家喜欢的研 究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.

5. 90
依题 意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的
最小公倍数.
因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟
又同时发第二次车 .
6. 5
依题意得
花生总粒数=12

第一群猴子只数
=15

第二群猴子只数
=20

第三群猴子只数
由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最 小公倍数是60.花生总粒
数是60,120,180,……，那么
第一群猴子只数是5，10，15，……
第二群猴子只数是4，8，12，……
第三群猴子只数是3，6，9，……
所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因 此,平均分给三群猴子,每
只猴子所得花生粒数总是5粒.
7. 421
依题意 知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、
7的最小公倍数是42 0，所以这个数是421.
8. 999768
由题意知,最大的六位数是3,7,8, 11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是
1848.
因为999999

1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数
是1848的541倍 ，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是
999999-231=999768 .
9. 3
根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一
组,26=2

13,91=7

13,143=11

13,所以,所分组数不 会小于3.下面给出一种分
组方案:

(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.
因此,至少要分成3组.
[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如1 5=3

5，21=3

7，
35=5

7，3， 5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.
除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:
(1)26,35；33，85，91；34，63，143.
(2)85,143,63；26，33，35；34，91.
(3)26,85,63；91，34，33；143，35.
10. 77
根 据“甲乙的最小公倍数

甲乙的最大公因数=甲数

乙数”，将210

330分
解质因数，再进行组合有
210

330=2

3

5

7

2

3

5

11
=2
2

3
2

5
2

7

11
=（2

3

5）

（2

3

5

7

11）
因此，它们的最小公倍数是最大公因数的7

11=77（倍）.
11. 根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发
出后,每隔80分钟又同 时发车.
从早上6:00至20:00共14小时,求出其中包含多少个80分钟.
60

14

80=10…40分钟
由此可知,20:00前40分钟,即19:20为最后一次三车同时发车的时刻.
12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两
个互质数的乘积,恰好是甲乙两数 的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商
——12.这一结论的根据是:
(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)
甲数

乙数=倍

约
甲数乙数倍约
=，所以：
约约约约

甲数乙数
倍
甲数乙数

=，=12
约约
约
约约
将12变成互质的两个数的乘积：
①12=4

3，②12=1

12
先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的4倍，一个是它们最大公
因数的3倍.
甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4和3)之差,所得的商,即甲乙两数的
最大公因数.
18

(4-3)=18
甲乙两数,一个是:18

3=54，另一个是：18

4=72.
再看②,18

(12-1)=
1
7
,不符合题意,舍去.
11
M
,则
N
13. 依题意,设所求最小分数为

M5M15M1
1
=c =a =b
N28N56N20
M28M56M20

=a

=b

=c
N5N15N21
即
其中a,b,c为整数.
M
是最小值,且a,b,c是整数,所以M是5,15,2 1的最小公倍数,N是
N
M1051
28,56,20的最大公因数,因此,符合条件 的最小分数: ==
26

N4
4
因为
14. (1)根 据2号~15号同学所述结论,将合数4,6,…，15分解质因数后，由
1号同学验证结果，进行分析 推理得出问题的结论.
4=2
2
,6=2

3,8=2
3
,9=3
2
,10=2

5,12=2
2

3,14=2

7,15=3

5
由此不难断定说得不对的两个 同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次
排除,只有8与9满足要求).
(2)1号同学 所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数
整除,也 就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是

2
2

3

5

7

11

13=60060
因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1< br>号同学写的五位数是60060.