荆楚理工大学-开门红主持词

专题二 二进制问题
知识要点 用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被
叫做十进制，十进 制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方
法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。
除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一
分，60分时1小时。 还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十
进制计数法的道理实质是一样的。现代计算机上大 多用二进制，即满二进一，
退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“ 2”
就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。
为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。
任何一个十进制正整数N都可以 写成各数位上的数字与10的次方数的
乘积的和的形式，如9758
（10）
=9×1 0
3
+7×10
2
+5×10
1
+8×10
0（注：10
0
=1）。
任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数 位上的数字与
2的次方数的乘积的和的形式，如110101=1×2
5
+1×24
+0×2
3
+1×2
2
+0×2
1
+1（2）
×2
0

典例评析
例1 将139
（10）
化成二进制
【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2 .因为139=69×
2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有 1个
1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。
但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；
接下去17= 8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六
位为0；2=2×1，即 第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。
这个过程也可以简算以“短 除法”求得。
解 因为
















说明 十进制数139
（10）
的下标10，是为了与其它进位制区别开来，同理小学五年级奥数 第 1 页 共 5 页

10001011
（2）
的下标2是表示的二进制，有时十进制的下标可以省略，但其 余
的进制，则下标不可省。
特别提出的是，在用“短除法”求得数时，要将每次除以2所得的 余数
写在被除数的后面，一直得到商是1为止。
例2 将101101
（2）
改成十进制数。
【分析】我们可以思考一下二进制数1011 01
（2）
上各个数位上的1是怎
么进上来的，从右往左数第6位是1，是从第5位上 满2才进上去是，这个
数可以看做21101，第5位上是2，是因为第4位上满2个2才进过来的，< br>可以看作5101，同理第4位上5，是因为第3位上满5个2才进过来的，应
是（11,01） ，同理得出（22,1），（22,1）得45。对于一个十进制数，如果是
3
7385，可以 写成7385=7×10+3×10
2
+8×10
1
+5×10
0< br>。同理二进制也可以写成
这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成2的次方数与0或1的乘积 ，
就没必要像上述改写那样麻烦了。
解 101101
（2）
=1×25
+0×2
4
+1×2
3
+1×2
2
+0×2
1
+1
=2
5
+2
3
+2
2
+1
=32+8+4+1
=45
说明 对于任意一个二进制数 a
m
a
m-1
a
m-2
…a
2
a
1(2)
改写成十进制数，都有如下
的方法：a
m
a
m-1
a
m-2
…a
2
a
1(2)
=a
m
×2< br>m-1
+a
m-1
×2
m-2
+…a
2
×2
1
+a
1
×2
0
。
例3 计算：10110
（2）
+1010
（2）
。
【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算
解 10110
（2）

+ 1010
（2）

100000
（2）
10 110
（2）
+1010
（2）
=100000
（2）

说明 在将相同数位上的数相加时，与十进制加法有所不同，十进制加法
中满十进一，而二进制 加法中是满二进一，本题中从右往左第2位开始，便
连续出现了4次“满二进一”。
例4 计算1101101（2）-1011110（2），并要求验算。
【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结
果是否正确。。
解 1101101
（2）
1011110
（2）

-1011110
（2）
验算 + 1111
（2）

1111
（2）
1101101
（2）

说明 在计算二进制数的减法时，与十进制的减法也是有所区 别的，十
进制减法计算中，本位不够减时，是向前一位借一当十，而在二进制数减法
当中，出现 不够减时时借一当二。如在本题中，从右往左第2位不够减时向
前一位借一当二，得2-1=1，其余数 位上则依次类推。为了计算的正确，用
减法的逆运算作适当检验。
例5 计算：11101
（2）
×11
（2）

【分析】二进制数的乘法计 算，同整数乘法一样，也可以列竖式计算，
在计算过程当中要注意两点：（1）1乘任何数仍得原数；（ 2）0乘任何数都
得零。。
解 11101（2）×11（2）=1010111（2）
小学五年级奥数 第 2 页 共 5 页

11101
（2）

× 11
（2）

11101
（2）

11101
（2）

1010111
（2）

说明 通过两次乘法得出乘积后，用加法求出结果时，要按照二进制数
加法的方法计算出结果。
例6 计算：1001011
（2）
÷1111
（2）
。
【分析】二进制 数的除法同十进制数的除法一样，也可以用竖式计算，
但在除的过程当中，要综合运用二进制数的加、减 、乘法的计算方法辅助除
法计算。
解 1001011（2）÷1111（2）=101（2）

101
(2)


1111
(2)
1001011
(2)

1111
(2)

1111
(2)

巩
1111
(2)
固练习
1.将下列二进制数化成十进制的数
0
（1） 1101101
（2）

解：原式＝1×2
6
+1×2
5< br>+1×2
3
+1×2
2
+1
＝64+32+8+4+1
＝109
（2） 111101101
（2）

解：原式＝1×2
8
+1×2
7
+1×2
6
+1×2
5
+1×2
3
+1×2< br>2
+1
＝256+128+64+32+8+4+1
＝493
2.将下列十进制数化成二进制数。
（1） 28
解：短除法可得：11100
（2）

（2） 63
解：短除法可得：111111
（2）

3．计算
（1） 1100110
（2）
+10011
（2）

1100110
（2）

+ 10011
（2）

1111001
（2）



（2） 1010011
（2）
-11011
（2）
（要求验算）
解： 1010011
（2）

- 11011
（2）

小学五年级奥数 第 3 页 共 5 页

111000
（2）

（3） 101101
（2）
×1101
（2）

解： 101101
（2）

× 1101
（2）

101101
101101
101101
1001001001
（2）

（4） 11011101
(2)
÷1011
(2)

解： 10100
（2）

1011
（2）
）11011101
（2）

1011
1011
1011
1
4. 150粒糖果需至少装在 几个盒子，就能保证150以内所有糖果都可
以几只盒子凑齐，而不必打开盒子？此时每只盒子里面多少 粒糖果？
分析与解：先用1+2
1
+2
2
+2
3
+…+2
n
≤150，找出n最大是多少，然后计算
出1+2
1
+2
2
+2
3
+…+2
n
的结果。把每一个加数作为一个盒子的 糖果数，最后一
盒用150减去前面所有盒子中糖果数的和。
1+2
1
+2
2
+2
3
+…+2
6
=127<150（粒）
150-127=23（粒）
150=1+2
1
+2
2
+ 2
3
+…+2
6
+23
答：这8个盒子，每个盒子中分别是1,2,4,8,16,32,64,23粒即可。
5. 一位老大爷带上了1000元钱上街买东西。东西的价格都是整元数，
为了保证至少1000元的东西都 能立即付钱，他把钱包分成若干包。付钱时
只要拿出几包而无需折散也无需找零便行。他应如何包这些钱 ？
解：应分别包成1元、2元、4元、8元、16元、32元、64元、128元、
256元 及489元功10包。支付不超过511元时，把钱化为二进制数，易知取
前九包中的若干包可按要求支 付；超过511元，可支付489元，再把余钱转
化为二进制数再选取若干包支付。
6.有1 、2、4、8克的砝码各1个，每次从中取3个称重，如果天平的
两边都可以放砝码，能称出多少种重量 ？
解：由于每次取3个砝码和天平两边可以同时放，可知：
用1、2、4三种砝码，可称出4±2±1克，即1、3、5、7克；
用1、2、8三种砝码，可称出8±2±1克，即5、7、9、11克；
用1、4、8三种砝码，可称出8±4±1克，即3、5、11、13克；
用2、4、8三种砝码，可称出8±4±2克，即2、6、10、14克；
答：可称出1、2、3、5、6、7、9、10、11、13、14共11种重量。



7. 欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个正整数，两人各
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出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同
的和，那么，两人卡片上所写 数中最大最小是多少？（全国第二届两岸四地
“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛总决赛试题）
分析与解：因为涉及的4和16是2的次方数，所以想到二进制。两张
卡片的和至少是2,16个不同 的和中的最大的至少是17。这样考虑不方便，
所以假设两张卡片上是非负整数，可以包含0，和是0到 15，也就是二进制
的0000到1111。那么，显然了，每个人控制其中两位的开关，两个人就能< br>控制全部四位的开关了。为了使得最大的数最小，控制最高位的那个人再控
制最低位就行了。一个 人控制最高位和最低位：0000,0001，1000,1001；另
一个人控制中间两位：0000 ,0010,0100,0110。最大数最小是1001也就是9，
容易发现8不行。原题要求正整数 ，所以每个数再加1，答案是10
8．市中心的建设大厦高26.5米，先将一张足够大的厚度均匀且 为0.01
厘米的纸，进行“对折→裁开→叠放整齐”算作一次操作，至少要进行多少
次这样的 操作后，所有纸片叠放的总高度比建设大厦还高？
解；26.5米=2650厘米
2650÷0.01=265000（层）
210×28＝262144
26144<265000
218<265000
18+1=19（次）
答：所有纸片叠放的总高度要比建设大厦高，必需超过18次，即至少
19次。
9. 有一批规格相同的圆棒，每根划分为长度相同的五节，每节用红黄
蓝三种颜色来涂，问可以得到多少种着 色不同的圆棒。
分析与解：用2表示“红”、1表示“黄”、0表示“蓝”，于是一种涂色
对 应着一个五位数，如“红红黄蓝黄”对应“22101”。由于这种五位数只用
三个数码，即为三进制数 。这种五位数中最大是22222，而22222
（3）
=2×3
4
+2×3
3
+2×3
2
+2×3+2＝242，再加上“00000”共计2 43种。但像“22101”与
“10122”互为反序数，表示了同一种涂色法，而有3
3< br>=27个数与其反序数相
等。从而应有（243+27）÷2＝135种不同涂色法
答：只有135种不同的涂色方法。
10. 为了称出1～100克的所有整数克的重量，用 一架天平与至少几个
砝码？（1）砝码只准放在天平的一边，物体放在另一边；（2）砝码允许放
在天平的两边。
（1）7个，用1,2,4,8,16,32,37克这7个砝码即可。
（2）5个，用1,3,9,27,81克的砝码。（提示：可以用三进制来考虑）

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