香港媒体-党风廉政工作总结

巧求表面积

教学目标
掌握长方体和正方体的特征、表面积和体积计算公式，并能运用公式解决一些实际
问题。
教学过程
一、例题讲解
我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或 正方体六个面面积的总和叫做长方
体或正方体的表面积。如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h 表示，那么，长
方体的表面积=（ab＋ah＋bh）×2。如果正方体的棱长用a表示，则正方体的表 面积
=6a
2
。对于由几个长方体或正方体组合而成的几何体，或者是一个长方体或正 方体组合
而成的几何形体，它们的表面积又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们
的看图能力和空间想象能力。小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体，这些图
形的特点都是可以 从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方
向（有时只考虑上、左、前三个方向 ）的平面图形的面积的总和。有了这个原则，在解
决类似问题时就十分方便了。
例1 在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），
求这个立体图形的表面积。

（ 例1图） （例2图）
分析 我们把上面 的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：
小正方体的上面与大正方体上面中的阴 影部分合在一起，正好是大正方体的上面。这样
这个立体图形有表面积就可以分成这样两部分：
上下方向：大正方体的两个底面；侧面： 小正方体的四个侧面 大正方体的四个侧面。
解：上下方向：5×5×2=50（平方分米） 侧面：5×5×4=100（平方分米）
4×4×4=64（平方分米） 这个立体图形的表面积为：
50＋100＋64=214（平方分米）答：这个立体图形的表面积为214平方分米。
例2 下 图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个
棱长为1厘米的正方体小洞，接着 在小洞的底面正中向下挖一个棱长为
小洞，第三个正方体小洞的挖法与前两个相同，棱长为
1< br>厘米的正方体
2
1
厘米。那么最后得到的立体图
4
形的表面积 是多少平方厘米？
分析 这道题的难点是洞里的表面积不易求。在小洞里，平行于上下表面的所有面 的面
积和等于边长为1厘米的正方形的面积，这个边长为1厘米的正方形再与图中阴影部分
的面 积合在一起正好是边长为2厘米的正方体的上表面的面积。这个立体图形的表面积
分成两部分：

上下方向：2个边长为2厘米的正方形的面积；
边长为2厘米的4个正方形的面积和
侧面： 边长为1厘米的4个正方形的面积和
1
厘米的4个正方形的面积和
2
1
边长为厘米的4个正方形的面积和
4
边长为
解：平行于上下表面的各面面积之和：
2×2×2=8（平方厘米） 侧面：2×2×4=16（平方厘米）
1×1×4=4（平方厘米）
11
××4=1（平方厘米）
22
111
××4=（平方厘米）
444

这个立体图形的表面积为：
11
=29（平方厘米）
44
1
答：这个立体图形的表面积为29平方厘米。
4
8＋16＋4＋1＋
例3 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按下图中的方式拼成一个立体
图形，求这个立体图形的表面积。

分析 从上下、左右、前后看时的平面图形分别如下面三图所示：
因此，这个立体图形的表面积为：
2个上面＋2个左面＋2个前面
解：上面的面积为：9平方厘米； 左面的面积为：8平方厘米；
前面的面积为：10平方厘米。
因此，这个立体图形的表面积为：（9＋8＋10）×2=54（平方厘米）
答：这个立体图形的表面积为54平方厘米。
例4 一个正方体开头的木块，棱长为1米， 沿着水平方向将它锯成3片，每片
又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小 小的长方体60
块，如下图。问这60块长方体表面积的和是多少平方米？


分析
原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是1×1=1（平方米），无论 后
来锯成多少块，这六个外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面积的。

再考虑每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，现在一共锯了：2＋3＋4=9（刀），
一共得到1 8平方米的
表面。因此，总的表面积为：6＋（2＋3＋4）×2=24（平方米）
解：每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面。 1×2=2（平方米）
一共锯了：2＋3＋4=9（刀）得到：2×9=18（平方米）的表面。
因此，这大大小小的60块长方体的表面积的和为： 6＋18=24（平方米）
答：这60块长方体表面积的和为24平方米。

例5 有一些棱长是1厘米的正方体，共1993个，要拼成一个大长方体，问表面积最
小是多少？
解：因为1993是一个质数，所以这1993个正方体只能摆成长1993厘米、宽1
厘米、高1厘米 的长方体，因此这个长方体的表面积为：
1993×1×4＋1×1×2=7974（平方厘米）
答：摆成的大长方体表面积最小是7974平方厘米。

例6 用12个长5厘米 、宽4厘米、高3厘米的长方体码放成一个表面积最小的长方
体，码放后得到的这个长方体的表面积是多 少？
分析 用这12个长方体可以码放出许多不同的长方体，当然得到的表面积就不会< br>相同。我们可以把所有不同情况下的长方体的表面积都计算出来，再选出最小值，但这
样做，会浪 费很多时间，情况还不一定考虑得周全。因此，要考虑有没有巧妙的方法。
先重申一下基本原理：
在体积固定的所有长方体中，只有各棱长相等的立方体，其各棱长之和最小，其表面积
也最小。
因为所给长方体的长、宽、高都已确定，而且已知是12个长方体，所以拼成的这
个大长方体的 体积就已固定（3×4×5×12=720立方厘米）。因为这个大长方体的体积
不是一个立方数，因而 不可能使各棱长都相等，但我们可以使长方体的长、宽、高这三
个数尽可能地接近，这样使其各棱长之和 最小，这个大长方体的表面积也最小。
解：一方面12=2
2
×3，另一方面，长、 宽、高应尽量接近，观察到720立方厘米
=8（厘米）×9（厘米）×10（厘米），并且有5×2= 10（厘米），4×2=8（厘米），3×
3=9（厘米）。
拼成的大长方体的长、宽、高分别为10厘米、8厘米、9厘米，这时长方体的表
面积为：
（10×9＋10×8＋9×8）×2=484（平方厘米）。
答：码放后得到的这个长方体的表面积为484平方厘米。
二、实题演练
1，如下 图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2
米、4米，要在表面涂刷油漆， 如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积
是多少平方米？

2，将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱体如下图所
示组成一 个物体，求这个物体的表面积（

取为3.14）.

（ 第二题图）


3，小明小制作时把6个棱长分别为1、2、3、4、5、6（单 位：分米）的正方体
按由大到小的顺序码放成一个宝塔，并且把重合部分用胶固定粘牢，再把所有外露的 部
分涂上油漆，交给老师。所有涂上油漆部分的面积是多少平方分米？









4，有30个棱长为1米的正方体， 在地面上摆成如下图的形式，求这个立体图形
的表面积是多少平方米？



5，下图（a）中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的表面积
是多少平方 厘米？

6，一个正方体的棱长为4厘米，在它的前、后、左、右、上、下面中心各挖去一
个棱 长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积。如果把本题的条件“4
厘米”改换为“3厘米 ”，那么这个玩具的表面积是多少？[图（b）]。




7，下图(c)中是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方 体木块，如果把它沿
着虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少 平
方厘米？




8，有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透 “十字形”
的孔（如下图阴影部分），如果将其全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为1厘
米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面积总和是多少？

答案：
1.解：4×4＋（1×1＋2×2＋4×4）×4 =100（平方米）。
答：模型涂刷油漆的面积是100平方米。
2.解：π×1.5
2
×2＋2π×（0.5+1+1.5）×1＝32.97（平方米）。
答：这个物体的表面积为32.97平方米。
3.解：6
2
×2＋ （1
2
＋2
2
＋3
2
＋4
2
＋5
2
+6
2
）×4 =436（平方分米）。
答：涂上油漆部分的面积是436平方分米。
4.解：4
2
×2＋（1
2
＋1×2＋1×3＋1×4）×4＝72（平方米）。
答：这个立体图形的表面积为72平方米。
5.解：上下方向：2
2
×9×2=72（平方厘米），
前后方向：2
2
×7×2＝56（平方厘米），
左右方向：2
2
×9×2＝72（平方厘米），
（计算左右方向面积时，请注意底层前部凹进去的二个侧面）.
表面积为：72＋56＋72＝200（平方厘米）。
答：立体图形的表面积为200平方厘米。
6.解：由于本题所给出的正方体棱长为4厘米，从六个面的中心位置各挖
去一个棱长为1 厘米的正方体，这样得到的玩具中心部分是实体。
原正方体的表面积为：4
2
× 6=96（平方厘米）.在它的六个面各挖去一个棱
长为1厘米的正方体后增加的面积为：1
2
×4×6=24（平方厘米），
这个玩具的表面积为：96+24＝120（平方厘米）。
答：这个玩具的表面积为120平方厘米。
如果把本题的条件“4厘米”改换成“3厘米”，那么 解法就要发生变化，
因为挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的
新玩具是镂空的.把这个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，如右图。

每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：1
2
×3=3（平方厘
米），则8个“角”外露部分的面积为：3×8=24（平方厘米）。
每条“梁”为棱长 1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：1
2
×4＝4（平
方厘米），则12条“梁 ”外露部分的面积为：
4×12=48（平方厘米）。
这个玩具的表面积为：24＋48=72（平方厘米）。
答：这个玩具的表面积为72平方厘米。
7.解：10
2
×（3×2）＝600（平方厘米）
答：这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和为600平方厘米。
8.解：①先求切成棱长为1厘米的小正方体后，所有这些小正方体的表面
积：
把这个几 何体分成20部分，8个“角”和12条“梁”.每个“角”有8个
小正方体，则8个“角”共有8×8 ＝64个小正方体.
每条“梁”有1个小正方体，则12条“梁”共有1×12＝12个小正方体。
所以共有小正方体 ：64＋12＝76个），这些小正方体的表面积和为：1
2
×6
×76＝456（平 方厘米）。
②再求被染上黄漆的面积总和：
8个“角”被染上黄漆的面的个数：
（4×6-3）×8＝168（个）。
12条“梁”被染上黄漆的面的个数：4×12=48（个）.被染上黄漆的面积总
和为：
1
2
×（168＋48）=216（平方厘米）。
③最后求未被染上黄漆的面积总和：
456-216=240（平方厘米）。
答：这些小正方体未被染上黄漆的面积总和为240平方厘米.

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