宿州大学-六年级班级工作计划

约数与倍数
一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范 围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫
做a的约数；
(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；
(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；
(4)0被排除在约数与倍数之外
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以
(231,252)3721
；
21812< br>②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
396
，所以
(12,1 8)236
；
32
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那 个余数，就是所求的最大公约
数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大 的一个数，得第一
个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数 ，得第
三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600 和1515的最大公约数：
15156002L315
；
6003151L2 85
；
3152851L30
；
285309L15
；30152L0
；所以1515和600的最大公约数是15．
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
n
．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个
分数的分子的最大公约数b；即为所求．
1
b
a

4． 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
(2)公倍数:在 两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做
它们的公倍数
(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以

23 1,252

2
2
3
2
7112772
；
②短除法求最小公倍数；
21812
例如：
396
，所以

18,12

233236
；
32
ab
．
(a,b)
③
[a,b]
2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数
a
；求出各个分数分母的最大
公约数
b
；即为所求．例如：
[,b
a
35[3,5]15
]

412(4,12)4
14

4
注意：两个最简分数的最大公 约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：

,


232, 3



1,4

4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
2

（1）倍数是对一个数说的；
（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果
m
为
A
、
B
的最大公约数，且
Ama
，
Bmb
，那么
a、b
互质，所以
A
、
B
的最小公
倍数为
mab
，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①
ABma mbmmab
，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约 数是
A
、
B
、
AB
、
AB
及最小公倍 数的约数．
2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即
(a,b)[a,b]ab
，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：
567210
，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：
678 336
，而6,7,8的最小公倍数为
3362168

性质（3）不 是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的
大小关系，即“几个数最小公 倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数 )加1后所
得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为
2
3
 5
2
7
，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24
个。(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲 的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建
立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式 基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，
3

建议给学生推导并要 求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就
是对这个公式的逆用，即先告诉 一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原
构造”出来，或者是“构造出可能的最值” 。
2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后， 将它的每个质因数依次从1加至这
个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个 合数的所有约数的和。
如：
210002
3
35
3
7
，所以21000所有约数的和为
(122
2
2
3)(13)(155
2
5
3
)(17)74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生
找规律 性的记忆即可。
1. 求最大公约数
例：把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁 成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，
问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长
应 该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边
长是长方形的 长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，
长方形纸块的面积为
13510514175
(平方厘米)，正方形纸块的面积为
1515225

(135,105)15
，
(平方厘米)，共可裁成正方形纸块
1417522563
(张)．
2. 约数
例：过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜， 为了冬天里有胡
萝卜吃，小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等 ，则
一棵大白菜可以换__________只胡萝卜。
解：方法一：若使他们存储粮食的数 量相等，需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔

180120

2=30（只），但是本题需要去换，即若干次换完后要多30个胡萝卜即可，若想用十几颗大白菜换，
而< br>30
里面只有
15
这个约数是十几，所以需要换15次，，每次换后要多
3015=2
（只），所以1
棵白菜换了
21=3
只胡萝卜
方法二：设1棵白菜换
x
只胡萝卜，灰兔用
a
棵白菜换胡萝卜，则
a 

10,20

，
180axa120aax⇒a< br>
x1

30215
，
4

∴
a15
，
x12
，∴
x3
，即1棵白菜换了 3只胡萝卜
3. 倍数
例：
N
为自然数，且
N1
，< br>N2
、……、
N9
与690都有大于l的公约数．
N
的最 小值为多
少？
解：
69023523
，连续9个数中，最多有5个 是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数．
如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍 数，1个5的倍数，1个23的倍数，
所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有 大于l的公约数．
所以9个数中有5个偶数，则
N1
、
N3
、
N5
、
N7
、
N9
是偶数，剩下的4个奇数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数．可知4个奇数中
N2
、
N 8
是3的倍数，
还有
N4
、
N6
一个是5的倍数，一个 是23的倍数，那么这两个数最小只能为23和25，故
N423
，得
N19< br>．故
N
的最小值为19．
4. 约数与倍数综合
例：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
解：假 设这两个数是
21a
和
21b
，易得
21ab126
，所以
ab6
，由
a
和
b
互质，那么就有
所以 甲、乙是：它
61623
两种情况．
216126
或
2 1242
，
21363
两种情况．
21121
，
们的和是147或105．






练习题
1. 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来 慰问退休的教职
工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果 、桔
子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？



5

2. 马鹏和李虎计算甲、乙两个两位 数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；
李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407 ，那么甲、乙两数的乘积应是______.






3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给
第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴
子，每只 可得多少粒？


4. 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最 大公约数的105倍，那么a、b中
较大的数是多少？




参考答案
1. 因为
(320,240,200)40
，
320 408
，
240406
，
200405
，所以最多可分 40份，每份
中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.

2. 乙数是473与407的 公约数.473与407的最大公约数是11，11是质数，它的两位数约数
只有11，所以乙数是11 ，又
4734311
，
4073711
，所以甲数是47，甲、乙两 数的乘积应
为：
4711517
.

6