七个月宝宝发育指标-教师年度总结

九 图形的计数(A)
年级 班 姓名 得分

一、填空题
1．下图中一共有（ ）条线段.









A
12
A
11
A
10
A
9
A
8
A
7
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
O
2. 如右上图,O为三角形A
1
A
6
A
12
的边 A
1
A
12
上的一点,分别连结OA
2
,OA
3< br>,…OA
11
，这样图中
共有_____个三角形.
A

3. 下图中有_____个三角形.
D




C
B

4. 右上图中共有_____个梯形.

5. 数一数
(1)一共有( )个长方形.
(2)一共有( )个三角形.

D
C

(1)
B


(2)

6. 在下图中,所有正方形的个数是______.















A

7. 在一块画有4

4方格网木板上钉上了25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正 方形,最多可
以围出_____个.


N
P O
A
M



B
C
D
Q
R
X


S

Y


T
W
V


L
K
J
I














F
G
U

H



E
8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉 板,上面有4

4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你
能用皮筋套出正方形和长方形 共_____个.

9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.











































10. 数一数,下图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.
二、解答题
11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比.

O

1

2
A B
3

C D
4

5

E F
6

7

M
N


12. 下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少

13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成 边长为2厘米、4厘米、
8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形 都是涂有红颜
色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，
总共需要红色正方形多少个白色正方形多少个





14．将 ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四
边形

九 图形的计数（B）
年级 班 姓名 得分

一、填空题
1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.





2. 右上图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.

3. 下图中共出现了_____个长方形.





4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.

5. 图形中有_____个三角形.







6．如右上图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色 ,两个有公
共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多< br>_____个.

7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.









8. 右上图中共有_____个正方形.

9. 有九张同样大小的圆形纸片 ,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有
数码“3”的有3张，标有数码“4” 的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但
标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：
如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.




M




10. 如下图,在2 ×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最
多可穿过5个方格.那么 10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格.

二、解答题
11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成
多少个不同的三角形（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是
相同的.）

12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条 ,它们的数量都足够多,从中
适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘 米长,你能围成多少个
不同的三角形

13. 下图中的正方形被分成9个相同的小 正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一
个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构 成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有
同样大小面积的有多少个







14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3 个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个
大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方 体的话,最多可以穿透几个小立方
体

———————————————答 案——————————————————————

1． 30
由例 1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6

5=30条线段.
2. 37
将 A
1
A
6
A
12
分 解成以OA
6
为公共边的两个三角形. OA
1
A
6
中共有5+4+3+2+1=15(个)三角
形, OA
6
A
12
中共有6+5+4+3+2
+1=21(个)三角形,这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形.
3. 15
这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的
两大类.含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类.分类图解如
下:

A A



D



B C B
C



A

D


B
D

C
B


所以原图有
(3+2+1)+(3+2+1)+3
=15(个)三角形.
4. 18
梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6( 个),所以一共有6

3=18(个)梯形.
5. 108,36
(1 )因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照
前面所介绍的线 段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的
个数.
98因为AB边上有8+7+6+…+2+1==36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中一共2
有36

3=108个长方形.
(2)三角形一共有6行,每行都有 3+2+1=6(个),所以一共有6

6=36(个)三角形.
6. 30 < br>由例5注可知整个图形中共有1
2
+2
2
+3
2
+4
2
=30个正方形.
7. 50
此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下:
边长为AB的正方形有16个；

边长为AC的正方形有9个；
边长为AD的正方形有4个；
边长为AE的正方形有1个；
边长为DF的正方形有9个；
边长为CF的正方形有8个；
边长为BF的正方形有2个；
边长为CG的正方形有1个.
所以,最多可围出50个正方形.
8. 44
因为正方形是特殊的长方形,所以 可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方形和
长方形的个数,仍用分类计数的方法求解. 先考虑有一组对边平行于BC的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为6小类,
即位置在 BF、FE、EC、FC、BE、BC.同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有6

6=3 6个长方
形.

A
D





B
F


E


C < br>另一类是没有边平行于BC的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,其中分别有6个
和2 个长方形.










































所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个.
9． 21
以正方形的面积大小分类计数.
设相邻两点的距离为1，则正方形面积为1的有9个；
面积为2的有4个；
面积为5的有2个；
面积为8的有4个；
面积为13的有2个；

所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形.
10． 30
将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30个.
(16)6
11. 白色小三角形个数=1+2+3+…+6==21，
2
(17)7
黑色小三角形个数=1+2+3+…+7==28，
2
213
所以它们的比==.
284
12. 解法一
本图中三角形的个数为(1+2+3+4)

4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两底 唯一确定.首
先在AB,CD,EF,MN中,考虑两底所在的线段,共有(4

3)

2=6(种)选法；对上述四条线段中确定
的两条线段，共有10（10=4+3+ 2+1）个梯形.共60个梯形.故所求差为20.
解法二
在图 中可数出4个三角形 ,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个.而在题图中,这种恰有
10个.故题图中,梯形个数与三角形 的个数之差为2

10=20(个).
13. 边长2厘米的正方形:
2

2=4(个) ……红色
边长4厘米的正方形
(4-1)

4=12(个) ……红色
(4-2)

(4-2)=4(个) ……白色
边长8厘米的正方形
(8-1)

4=28(个) ……红色
(8-2)

(8-2)=36(个) ……白色
边长9厘米的正方形
(9-1)

4=32(个) ……红色
(9-2)

(9-2)=49(个) ……白色
所以,红色小正方形共有
4+12+28+32=76(个)
白色小正方形共有
4+36+49=89(个)
[注]本题的要求是由边长为1厘 米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘米,4厘
米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可 以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的,可
看成是空心方阵,因此,涂红色正方形的个数等于 4

(n-1).其他小正方形是涂白色的，可当作实
心方阵，所以，涂白色的正方形 的个数等于(n-2)

(n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边
长为9厘 米的正方形,涂红色的小正方形的个数是:4

(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的 个数
是:(9-2)

(9-2)=49(个).
14. 将平行四边形分为三类:①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、
右下方.
就第①类而言: 型6个； 型3个，与其对称的3个；
型1个，与其对称的1个； 型1个；共15个.同理,第②、③类也分别含15个，
故上述三类平行四边形共45个.
[ 注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC平行的平
行四边形,延长各边必与BC有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC上的任意
四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和 三
交点组的数目一样多。

由于BC上有5个交点，其中可构成5个4点组；1 0个3点组，即边不平行于BC的平行四边形有15
个。
同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行。
由此可知，共有45个平行四边形。


———————————————答 案——————————————————————

1. 90
利用例1和例4公式可直接计算:
(5+4+3+2+1)×(3+2+1)
=15×6
=90(个)
[注]注意,由长方形、正方形的意义可知，正方形一定 是长方形，但反之不然.故求长方形个数时,不必
把正方形分开考虑.
2. 3个正方形; 18个三角形; 6个平行四边形; 8个梯形.
3. 18
根据这个图形的特点,我们 先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1)×(2+1)=9个；然后在图(1)
的内部添上一个长 方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1)×(2+1)=9个.至此已将图(1)还原
为题 图,同时题图中的长方形已全部数完.因此,原图中共有长方形.
(2+1)×(2+1)+ (2+1)×(2+1)=18(个).





(1) (2)

4. 16 < br>具体分法如下图所示.基中小三角形有8个,由两个小三角形组成的三角形有4个,由四个
小三角 形组成的三角形有4个,所以共有三角形8+4+4=16(个).






5. 72
把图中最小三角形作为基数,然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.
含一个基数的三角 形,共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四个基数的三角
形，共有20个；含八个基数的 三角形，共有8个；含十六个基数的三角形，共有4个.因此,
整个图形中共有
16+24+20+8+4=72(个)三角形.
6. 6
图中的三角形可分成 两种,一种是尖头向上的,一种是尖头向下的.从图上可以看出,每种三
角形必须涂成同一颜色.为了使 涂红色的三角形比涂蓝色的三角形多,尖头向上的三角形要涂

红色.
每一横排 ,尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个,共有6排,因此,涂红色的比涂
蓝色的三角形多6个 .
7. 38
将原立体图形从左至右分类计算,共有16+9+5+7+1=38个.
8. 115
单独的一个4×4的方格中有1
2
+2
2
+3
2
+4
2
=30个正方形,两个4×4的方格如原图重叠后,重 叠
部分有5个正方形.所以原图中一共有30×4-5×3=115个正方形.
9. 6
根据标有相同数码的纸片不许靠在一起的条件，当M位置上放标有数码“3”的纸片时，
其余两 个标有数码“3”的纸片，只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下图所示.

4 1


2 M
4


4 2 3
3

这样圆圈绕M圆紧接着M的六个圈旋转一周,回到初始状态,可知共有六种不同的放置方
法.
10. 19
如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11个交点,与竖边至多 9个
交点,共20个交点.
如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生 10个交点,与竖边至多
产生10个交点,共20个交点.
20个交点,将直线分成21部分,其中在大正方形有内有19部分,故至多穿过19个方格.
[注]穿过一个方格,在直线上截出一条线段,线段由直线上的交点决定,关键是求交点个数.
对小学生来说,通常总是从简单情况入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情况,归纳出一般的 规律,
从而得出10×10方格的结果.请同学们用归纳法试一试!
11. 最大边为7时 ,另两边之和为8,可构成4个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大边
为6时，另 两边之和为9，可构成2个（3+6，4+5）不同的三角形;最大边为5时,可构成1个
(5+5)不 同的三角形.所以一共可组成7个不同的三角形.
12. 由三角形的一边为11厘米,及其他边长 必为1,2,.…，11厘米，根据三角形两边之和
大于第三边的性质，可知两边之和应介于12厘米和 22厘米之间（包含12厘米和22厘米）.
这样,共可围成36个不同的三角形.
12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；
13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；
14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；
15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；
16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；
17:(6,11),(7,10),(8,9)；
18:(7,11),(8,10),(9,9)；
19:(8,11),(9,10)；
20:(9,11),(10,10)；
21:(10,11)；
22:(11,11)
所以，一共可以围成36个不同的三角形.

13. 为方便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影三角 形的面积
1
×2×3=3.所求的三角形可分两种情形:
2
(1)三角形的 一边长为2,这边上的高是3.这时,长为2的边只能在原正方形的边上,这样的三
角形有2×4×4= 32(个)；
(2)三角形的一边长为3,这边上的高是2.这时长为3的边是原正方形的一边或平行 于一边
的分割线.其中与(1)重复的三角形不再算入,这样的三角形有8×2=16(个).
因此,所求的三角形共32+16=48(个)(包括图中开始给的三角形.)
14. 最多可以穿透7个小立方体.提示:仿题10.
是