安康学院分数线-出国留学申请时间

图形的计数
图形的计数
一、填空题
A
12
A
11
A
10
A
9
1．如下左图中一共有（ ）条线
O
段.


A
8

A
7

A
6

A
1
A
2
A
3
A
4
A
5


2. 如上右图,O为三角形A
1
A
6
A
12< br>的边A
1
A
12
上的一点,分别连结
OA
2
,OA
3
,…OA
11
，这样图中共有_____个三角形.
3. 如下左图中有_____个三角形.

A


D



C
B

4. 如上右图中共有_____个梯形.
D
C
5. 数一数

(1)一共有( )个长方形.

(2)一共有( )个三角形.
A
B

(1) (2)
6. 如下左图中,所有正方形的个数是______.
N
P O
A

M


Q
B










C



R
S
F



X



W
V



L
Y
T
K
J
I


D
E
U

7. 在一块画有4

4方格网木板上钉上了25颗铁钉(如 上右图),如果用线绳围正方形,最多可
以围出_____个.
8. 一块相邻的横竖两排距 离都相等的钉板,上面有4

4个钉(如下左图).以每个钉为顶点,你
能用皮筋套出 正方形和长方形共_____个.



















G H
1
















图形的计数


9. 如下左图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.
























































10. 数一数, 如上右图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.
二、解答题
11. 如下左图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比.

O

1

A B
2
3

C D
4

5

E F
6

7

M
N

12. 如上右图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？

13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘
米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色
的小正方形，除此以 外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总
共需要红色正方形多少个？白色正 方形多少个？

BC
的每一边4等分，14．将
A
过各分点作边 的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？












2

图形的计数


———————————————答 案——————————————————————

1． 30
由例1 注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6

5=30条线段.
2. 37
将 A
1
A
6
A
12
分 解成以OA
6
为公共边的两个三角形. OA
1
A
6
中共有5+4+3+2+1=15(个)三角形,
O A
6
A
12
中共有6+5+4+3+2+1=21(个)三角形,这样,图中 共有15+21+1=37(个)三角形.
3. 15
这样的问题应该通过分类 计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类.含
顶点C的又可分成另外两顶点 在线段AB上的和在线段BD上的两小类.分类图解如下:

A



D


BC




所以原图有
A
A
D
B
B
C
C
B
D
(3+2+1)+(3+2+1)+3
=15(个)三角形.
4. 18
梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6( 个),所以一共有6

3=18(个)梯形.
5. 108,36
(1 )因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍
的线 段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.
因为AB边上有8+ 7+6+…+2+1=
98
=36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中一共有3 6

3=108
2
个长方形.
(2)三角形一共有6行,每行都有 3+2+1=6(个),所以一共有6

6=36(个)三角形.
6. 30
2222
由例5注可知整个图形中共有1+2+3+4=30个正方形.
7. 50
此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下:
边长为AB的正方形有16个；
边长为AC的正方形有9个；
边长为AD的正方形有4个；
边长为AE的正方形有1个；
边长为DF的正方形有9个；
边长为CF的正方形有8个；
边长为BF的正方形有2个；
边长为CG的正方形有1个.
所以,最多可围出50个正方形.

3

图形的计数

8. 44
因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就 不必分别求正方形和长方形的个
数,仍用分类计数的方法求解.
先考虑有一组对边平行于BC 的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为6小类,即位置在
BF、FE、EC、FC、BE、 BC.同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有6

6=36个长方形.

A






F



E
D

B
C
另一类是没有边 平行于BC的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,其中分别有6
个和2个长方形.




 

































 



所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个.
9． 21
以正方形的面积大小分类计数.
设相邻两点的距离为1，则正方形面积为1的有9个；
面积为2的有4个；
面积为5的有2个；
面积为8的有4个；
面积为13的有2个；
所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形.
10． 30
将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30个.
(16)6
=21，
2
(17)7
黑色小三角形个数=1+2+3+…+7==28，
2
11. 白色小三角形个数=1+2+3+…+6=

4

图形的计数
所以它们的比=
213
=.
284
12. 解法一
本图中三角形的个数为(1+2+3+4)
4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两底唯一确定.首先在
AB,CD,EF,MN中,考 虑两底所在的线段,共有(4

3)

2=6(种)选法；对上述四条线段中 确定的两条线段，
共有10（10=4+3+2+1）个梯形.共60个梯形.故所求差为20.
解法二
在图 中可数出4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个.而在题图中 ,这种恰有10个.故
题图中,梯形个数与三角形的个数之差为2

10=20(个) .
13. 边长2厘米的正方形:
2

2=4(个) ……红色
边长4厘米的正方形
(4-1)

4=12(个) ……红色
(4-2)

(4-2)=4(个) ……白色
边长8厘米的正方形
(8-1)

4=28(个) ……红色
(8-2)

(8-2)=36(个) ……白色
边长9厘米的正方形
(9-1)

4=32(个) ……红色
(9-2)

(9-2)=49(个) ……白色
所以,红色小正方形共有
4+12+28+32=76(个)
白色小正方形共有
4+36+49=89(个)
[注]本题的要求是由边长为1厘 米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘米,4厘米,8厘米,9
厘米的大小不同的正方形,可 以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵,因此,
涂红色正方形的个数等于 4

(n-1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形
的个数等于(n-2)

(n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方 形,涂红色的小正方形的
个数是:4

(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的 个数是:(9-2)

(9-2)=49(个).
14. 将平行四边形分为三类:①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方.
就第③类而言: 型6个； 型3个，与其对称的3个；
型1个，与其对称的1个； 型1个；共15个.同理,第②、①类也分别含15个，故上述
三类平行四边形共45个.
[ 注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC平行的
平行四边形,延长各边必与BC有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多。
由于BC上有5个交点，其中可构成5个4点组；10个3点组，即 边不平行于BC的平行四边形有15
个。
同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行。
由此可知，共有45个平行四边形。




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