德宏职业学院-朱自清春

第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用
一、基本概念和知识
1.奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被
2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）
表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，
奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，
奇数×奇数=奇数。


二、例题
利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.
例1 1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？
分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再 判别和是奇数，还是偶
数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判
断和的奇偶性.此题可以有两种解法。
解法1：∵1+2+3+…+1993
又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，
∴原式的和是奇数。
解法2：∵1993÷2=996…1，
∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。
∵996个偶数之和一定是偶数，
第 1 页

又∵奇数个奇数之和是奇数，
∴997个奇数之和是奇数。
因为，偶数+奇数=奇数，
所以原式之和一定是奇数。
例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个
数是多少？
解法1：∵相邻两个奇数相差2，
∴150是这个要求数的2倍。
∴这个数是150÷2=75。
解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.
则有
（2a+1）x-（2a-1）x=150，
2ax+x-2ax+x=150，
2x=150，
x=75。
∴这个要求的数是75。
例3 元旦前夕， 同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回
赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数 ，还是偶数？为什么？
分析 此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇
偶性上，因此与总人数无关。
解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么
贺年卡的总张数应能被 2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。
送贺年卡的人可以分为两种：
一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。
另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人
送出的贺年卡总数- 所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶
数-偶数=偶数。
他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。
所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。
第 2 页

例4 已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，
c-3的乘积一定是偶数。
证明：∵a、b、c中有两个奇数、一个偶数，
∴a、c中至少有一个是奇数，
∴a-1，c-3中至少有一个是偶数。
又∵偶数×整数=偶数，
∴（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶数。
例5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数
与原数之和不能等于999。
则有a+a′=b+b′=c+c′=9，因为9不会是进位后得到的
又因为a′、b′、c′是a、b、c调换顺序得到的，
所以a+b+c=a′+b′+c′。
因此，又有（a+a′）+（b+b′）+（c+c′）=9+9+9，
即2（a+b+c）=3×9。
可见：等式左边是偶数，等式的右边（3×9=27）是奇数.偶 数≠奇数.
因此，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，
命题得证 。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种
说法正确，再利用 假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可
能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种 思考证明的方法在数学
上叫“反证法”。
例6 用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：
a×b×c×d-a=1991
a×b×c×d-b=1993
a×b×c×d-c=2019
a×b×c×d-d=2019
试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。
解：由原题等式组可知：
a（bcd-1）=1991，b（acd-1）=1993，
第 3 页

c（abd-1）=2019，d（abc-1）=2019。
∵1991、1993、2019、2019均为奇数，
且只有奇数×奇数=奇数，
∴a、b、c、d分别为奇数。
∴a×b×c×d=奇数。
∴a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后，一定为偶数.这与原
题等式组矛盾。
∴不存在满足题设等式组的整数a、b、c、d。
例7 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6 只同时“翻转”.请说
明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子
口全朝下，必须经过9个奇数之和次 “翻转”.即“翻转”的总次数为奇
数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻 转的
总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子
全部口朝下。
例8 假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否
把所有的灯都关上 ？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。
证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。
因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。
由于n是奇数，所以n个奇数的和=奇数，
因此要把所有的灯（n盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇
数。
但因为规定每次拉动n-1个开关，且n-1是偶数，
故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。
∵奇数≠偶数，
∴当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。
当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下：
设灯的编号为1，2，3，4，…，n.做如下操作：
第一次，1号灯不动，拉动其余开关；
第 4 页

第二次，2号灯不动，拉动其余开关；
第三次，3号灯不动，拉动其余开关；
第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。
例9 在圆周上有1987个珠子，给 每一珠子染两次颜色，或两次全红，或
两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，19 87次染蓝.求
证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。
证明：假设没有一个珠子被染 上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是
两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m 个珠子
为红色.则染红色次数为2m次。
∵2m≠1987（偶数≠奇数）
∴假设不成立。
∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。
例10 如下图，从起点始 ，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的
小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂 牌的树，它们之
间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？
解：任意挑选三棵树挂上 小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的
树之间相距a米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距 b米，那么
第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b（米）（如下图），
如果a 、b中有一个是偶数，题目已得证；如果a、b都是奇数，因为奇数
+奇数=偶数，所以c必为偶数，那 么题目也得证。
例11 某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答
对 一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级
参赛学生得分总和一定是偶数。
解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答
错一道，相当于从 120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4
的倍数，即扣偶数分.从120里减去偶数.差 仍是偶数.同样，如果有某题
不答，应从120里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数 是2
的倍数，也是偶数.所以从120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生
得分数是偶数 ，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数.
第 5 页

例12 某学校 一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5
个座位.把每一个座位的前、后、左、右的 座位叫做原座位的邻位.问：让
这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？
分析 为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析.
我们把每一个黑、白 格看作是一个座位.从图中可知，已在黑格“座
位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“ 座位”上的同学
要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人换为邻座位，
必须 黑、白格数相等。
解：从上图可知：黑色座位有13个，白色座位有12个，13≠12，因此，不可能使每个座位的人换为邻座位。
例12 的解法，采用了黑白两色间隔染（着）色的办法 .因为整数按奇偶
分类只有两类，所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色，可以帮助我们
较直 观地理解和处理问题.让我们再看一道例题，再体会一下奇偶性与染
色的关系。
例13 在中 国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中
国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时， 这只“马”跳了若干步后回到
原处，问：“马”所跳的步数是奇数还是偶数？
解：在中国 象棋中，“马”走“日”字，如果将棋盘上的各点按黑白
二色间隔着色（如图），可以看出，“马”走任 何一步都是从黑色点走到
白色点，或从白色点走到黑色点.因此，“马”从一色点跳到另一同色点，必定要跳偶数步.
因此，不论开始时“马”在棋盘的哪个位置上，而且不论“马”跳多
少次，要跳回原处，必定要跳偶数步。
例14 线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点 染蓝色.在这个
AB线段中间插入n个交点，或染红色，或染蓝色，得到n＋1条小线段（不
重 叠的线段）.试证：两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。
证明：当在AB中插入第一点时，无论红或蓝色，两端色不同的线段
仍是一条。
插入第二点时有三种情况：
第 6 页

①插入点在两端不同色的线段中，则两端不同色线段条数不变。
②插入点在两端同色的线段中，且插入点颜色与线段端点颜色相同，
则两端不同色线段条数不变。
③插入点在两端同色的线段中，但插入点颜色与线段端点颜色不同，
则两端不同色线段条数增加两条。
因此插入第二个点时端点不同色的线段数比插入第一个点时端点不
同色的线段数（=1）多 0或2，因此是奇数（1或3）。
同样，每增加一个点，端点不同色的线段增加偶数（0或2）条 .因此，
无论n是什么数，端点不同色的线段总是奇数条。
第 7 页

习题五
1.有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中 ，奇数的
个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？
2.有一串数，最前面 的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每
一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问： 在这一串数中，会依
次出现1、9、8、8这四个数吗？
3.求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。
4.把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格 内，试说明一定有一
个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。
5.如果 两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全
世界通话次数是奇数的那些人的总数为__ __。
（A）必为奇数，（B）必为偶数，
（C）可能是奇数，也可能是偶数。
6.一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人
数是奇数还是偶数。
7.有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3
张上面写着5，有3 张上面写着7.你能否从中选出五张，使它们上面的数
字和为20？为什么？
8.有10 只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经
过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？
9.电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即
前、后、左、右 ）一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？
10.由14个大小相同的方格组成下列图形，请 证明：不论怎样剪法，
总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形.

第 8 页