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第39讲 推理问题
一、专题简析：
解数学题，从已知条件到未知的结论， 除了计算外，更重要的一个方
面就是推理。通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。 < br>推理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事情的逻辑关系进行合情推
理，仔细分析，寻找突破 口，并且可以借助于图表，步步深入，这样才能
使问题得到较快的解决。
二、精讲精练
例题1 有8个球编号是（1）——（8），其中有6个球一样重，另外两
个球都轻1克。为 了找出这两个轻球，用天平称了3次，结果如下：
第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；
第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻；
第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4）+（8）一样重。
那么，两个轻球分别是几号？



练习一
1、甲、乙 、丙、丁四个人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁
高。请说出他们各是几号。



1

2、某商品编号是一个三位数，现有五个三位数： 874，756，123，364，925，
其中每一个数与商品编号恰好在同一个数位上有一个相同数 字。这个商品
的编号是多少？



例题2 一个正方体6个面 上分别写着1、2、3、4、5、6。根据下图摆放
的三种情况，判断每个数字对面上的数字是几。



练习二
1、一个正方体的6个面分别涂着红、黄、白、黑、 绿六种颜色，根据下面
的三种摆法，判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。




2

2、根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相 对的两个面上的字母各是
什么？




例题3 小英 、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中，每人都
获得了其中的一门第一名，一门第二名和一门 第三名。现在只知道小英获
得了语文成绩的第一名，小明获得了数学第二名。获得英语成绩第一名的是谁？



练习三
1、下面盒子上写的标签只有一张是正确的，请判断乒乓球在哪个盒子里。





3

2、赵、钱、孙、李四位老 师分别教数学、语文、自然和体育中的一门功课。
赵只能教语文或自然，钱只能教数学或体育，孙能教数 学、语文或自然，
李只能教自然。请问：这四人中只能派谁教数学？




例题4 有6只盒子，每只盒内放有同一种笔，6只盒子所装笔的支数分别
是11 支、13支、17支、20支、28支、43支。在这些笔中，水彩笔支数
是圆珠笔的2倍，铅笔的支数 是水彩笔的一半，其中有一只盒子放的是钢
笔。这盒钢笔共有多少支？




练习四
1、十三个鱼盆里鱼的条数分别是2、3、5、7、9、10、11、14 、13、17、
21、24、24条。已知同一盆里的鱼是同一种类，只有一盆是刀鱼，其余都
是青鱼或鳊鱼，并且鳊鱼的条数是青鱼的6倍。刀鱼有几条？



4

2、有六只水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，< br>其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千
克，且苹果的 重量是梨的5倍。求香蕉有多少千克。



例题5 小明看一本书，如 果看过的页数每天比前一天增加一倍，7天正好
看完。已知这本书一共96页，他第几天看到了12页？



练习五
1、有一种水草，水草生长的面积每天扩大2倍，1 0天后，这片水草的面
积是42平方米。问：当水草长到第7天时，面积是多大？



2、有一条毛毛早由幼虫长到成虫，每天长一倍，30天能长到20厘米。问：
长到 5厘米时要用多少天？



5

三、课后作业
1、小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人、一位是战士、一位是大学生。现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比
小张年龄小。他们三人中， 谁是工人？谁是战士？谁是大学生？



2、下图是由四个完全一样的正 方体拼成的长方体，每个正方体的六个面都
按同样的顺序写有1、2、3、4、5、6六个数字，请写出 每个数字的对面上
的数字是几。

3、甲、乙、丙、丁四人住在一个宿舍里，一天晚 上，他们中间最晚回来的
哪位同学忘了关灯，第二天宿舍管理员查问谁回来最晚。
（1）甲说：我回来时，丙还没回来；
（2）乙说：我回来时，丁已经睡了，我也就睡了；
（3）丙说：我进门时，乙正在床上；
（4）丁说：我回来就睡了，别的没注意。
他们说的都是实话，你知道谁回来最晚吗？


6

4、图书员在整理图书，他把同一类书叠一叠，一共叠好了7叠，其中只有< br>一叠是连环画，其余都是故事书和科技书，且故事书是科技书的6倍。已
知这7叠书分别有3、4 、5、16、21、25和38本。问：连环画有多少本？




5、有一种细菌，每天繁殖一倍，20天达到4000个。问：当繁殖到500个
时，是第几天？



第39周 推理问题答案解析
专题简析：
解数 学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主
要依靠推理 来解的数学题称为推理问题。
推理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事情的逻辑关系进行合情推 理，仔细分析，寻找突破
口，并且可以借助于图表，步步深入，这样才能使问题得到较快的解决。
例题1 有8个球编号是（1）——（8），其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出< br>这两个轻球，用天平称了3次，结果如下：
第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；
第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻；
第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4）+（8）一样重。
那么，两个轻球分别是几号？
分析 从第一次看，（3）、（4）两球中有一个轻；从第二次看，（5）、（6）两球中有一个轻；
7 < /p>

从第三次看，（1）、（3）、（5）中有一个轻，（2）、（4）、（8）中也有一个轻 。
综合上面的分析可以推出，两个轻球的编号分别是（4）和（5）。
练习一
1 ，甲、乙、丙、丁四个人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。请说出他们各是几
号。
答案
解：
因为乙不是最高，但他比甲和丁高，由此推出丙是最高，而甲不比丁高， 那么丁
比甲高，由此从高到底排序为丙＞乙＞丁＞甲，图示从高低为2＞4＞1＞3，；1
号是 丁，2号是丙，3号是甲，4号是乙.
故答案为：
1号是丁 2号是丙 3号是甲 4号是乙
根据条件依次判断，并把他们进行排序.
解析
因为乙不是最高，但他比 甲和丁高，由此推出丙是最高，而甲不比丁高，那么丁
比甲高，由此排序为丙＞乙＞丁＞甲，由此进行选 择.

2，某商品编号是一个三位数，现有五个三位数：874，756，123，364， 925，其中每一个数与商品
编号恰好在同一个数位上有一个相同数字。这个商品的编号是多少？
答案
方法一:每一个与商品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字.五个数,就要有五
次 相同,列出这五个数:874,765,123,364,925百位上五个数各不相同,十位上有两
个 6和两个2,个位上有两个4和两个5.
∴,商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字 相同,商品编号的十
位数字一定和给定5个数中的两个十位数字相同,商品编号的百位数字只能跟5 8

个数中的一个百位数字相同.
若商品编号的个位数字是5,我们就 把第二个和第五个数拿走,剩下的三个数的十
位数字各不相同,无法满足题目的要求(事实上,十位数字 只能取7,而十位上只有
一个7).
若商品编号的个位数字是4,拿走第一和第四个数后,十 位上仍有两个2,可取十位
数字为2,再拿走第三和第五个数,剩第二个数,它的百位是7,所以商品的 编号为
724.
如果一个数与商品编号在某一位有相同数字,那么这个数与商品编号不会再有 另
外相同数字.因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的.
方法二:商品编号的个位数字只可能是3、4、5.
如果是3,那么874,765,364 ,925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字
（百位有一个相同,十位有两个相同）,还有一 个数与商品编号无相同数字,矛盾.
如果是5,那么765,925的个位数字是5,从而商品号码的 十位数字不是6、2,因此
必须是7.这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字,矛盾.
∴,该商品号码的个位数字只能是4,而且这个号码应为724.
即这个三位数为724.
3，小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人、一位是战士、一位是大学生。现在知道：小
李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。他们三人中，谁是工人？谁是战士？
谁 是大学生？
答案
【解析】
根据小李比战士年龄大，所以小李是大学生或工人；因 为小王和大学生不同岁，
所以小王是工人或战士；因为大学生比小张年龄小，所以小张是工人或战士；又
因“小张年龄比战士大”，所以小张是工人；小王是战士，小李是大学生，据此解
答．
9

【答案】解：根据小李比战士年龄大，所以小李是大学生或工人；因为小 王和大
学生不同岁，所以小王是工人或战士；因为大学生比小张年龄小，所以小张是工
人或战士 ；又因“小张年龄比战士大”，所以小张是工人；小王是战士，小李是大
学生．
故答案为：

小张是工人；小王是战士，小李是大学生．
【点评】
此题主要考查推理 问题的解法．解答此题的关键是要结合题意，进行分析、推理，
弄清所给的各个人身份之间的关联关系， 进而得出所求的结论．

例题2 一个正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6。 根据下图摆放的三种情况，判断每个数
字对面上的数字是几。

分析 如果直接思考哪个数字的对面是几，有一定的困难。我们可以这样想：这个数字的对面不会
是几。 （1）从（A）、（B）两种摆法中可以看出：4的对面不会是2、5，也不会是1、6，那么，4对面一定是3；
（2）从（B）、（C）两种摆法中可以看出：1的对面不会是4、6，也不会是2、 3，那么，1的对
面一定是5；
（3）剩下2的对面一定是6。
练习二
1，一个正方体的6个面分别涂着红、黄、白、黑、绿六种颜色，根据下面的三种摆法，判断哪种
10

颜色的对面涂着哪种颜色。
答案
解：：从前2个图形看，和蓝相邻 的有黄、红、黑、白，那么和蓝相对的就是绿.
从第1个图形和第3个图形看，和红相邻的有黄、蓝、绿 、白，那么和红相对的
就是黑.则和黄相对的就是白.
故这个正方体各个面上的颜色中蓝对面是绿；红对面是黑；黄对面是白.
故答案为：
蓝对面是绿 红对面是黑 黄对面是白
解析
从前2个图形看，和蓝相邻的有黄、红 、黑、白，那么和蓝相对的就是绿.从第1
个图形和第3个图形看，和红相邻的有黄、蓝、绿、白，那么 和红相对的就是黑.
则和黄相对的就是白.
本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也 可动手制作一个正方体，根据
题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和 空间
想象能力.

2，根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相对的两个面上的字母各是什么？

答案
11

解：
A--E；B--D；F--C
故答案为：
A--E；B--D；F--C
解析
通过仔细观察，第一幅 图可以判断A、F、D是相邻的面，相对的面是B、C、E；
第二幅图可以判断B、C、A是相邻的面， 相对的面是E、D、F；第三幅图可以
判断E、D、C是相邻的面，相对的面是A、E、F.由此推断出 A的对面是E；B
的对面是D；F的对面是C.

3，下图是由四个完全一样的正方 体拼成的长方体，每个正方体的六个面都按同样的顺序写有1、2、
3、4、5、6六个数字，请写出每 个数字的对面上的数字是几。
答案
解：
观察图形可知，小正方形中与5相邻的数字分别为1、2、3、4，则与5对面的
数字为6；
因1、4相邻，2、4相邻，所以1和2相对；
剩下3和4相对.
故答案为：
5和6相对；1和2相对；3和4相对
例题3 小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语 三门考试中，每人都获得了其中的一门第一名，
一门第二名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成 绩的第一名，小明获得了数学第二名。获
得英语成绩第一名的是谁？
12

分析 因为小英获得了语文第一名，所以，小明获得的第一名只能是英语或数学，而小 明已获得了
数学第二名，不可能再获得数学第一名，因此，获得英语第一名的一定是小明。
练习三
1，下面盒子上写的标签只有一张是正确的，请判断乒乓球在哪个盒子里。
答案
解：
设乒乓球在A盒，则A正确，由题意知，B和C错误，而B正确，所以乒 乓球
不在A中，则C正确，所以B错误，则乒乓球在B中.
故答案为：
B
解析
根据已知条件找到本题突破口进行往下推理即可.
本题主要考查逻辑推理能力，关键点在于找到推理的突破口
2，赵、钱、孙、李四位老师分别 教数学、语文、自然和体育中的一门功课。赵只能教语文或自然，
钱只能教数学或体育，孙能教数学、语 文或自然，李只能教自然。请问：这四人中只能派谁教数学？
答案
解：
李只能教自然，则赵只能教语文，所以孙教数学.
故答案为：
孙
解析
根据已知条件找到本题突破口进行往下推理即可.
本题主要考查逻辑推理能力，关键点在于找到推理的突破口.


3，甲、 乙、丙、丁四人住在一个宿舍里，一天晚上，他们中间最晚回来的哪位同学忘了关灯，第
二天宿舍管理员 查问谁回来最晚。
13

（1）甲说：我回来时，丙还没回来；
（2）乙说：我回来时，丁已经睡了，我也就睡了；
（3）丙说：我进门时，乙正在床上；
（4）丁说：我回来就睡了，别的没注意。
他们说的都是实话，你知道谁回来最晚吗？
答案
本题主要考查统计中的有关知识，先 从第一句话知道，丙比甲晚，从第二句话知
道，乙比丁晚，从第三句话知道，丙比乙晚，从第四句话知道 ，它们说的都是实
话，所以丙是最晚.
答案
解：
先从第一句话知道，丙 比甲晚，从第二句话知道，乙比丁晚，从第三句话知道，
丙比乙晚，从第四句话知道，它们说的都是实话 ，所以丙是最晚.
故答案为：
丙
点评
本题主要考查统计中的有关知识 ，先从第一句话知道，丙比甲晚，从第二句话知
道，乙比丁晚，从第三句话知道，丙比乙晚，从第四句话 知道，熟练掌握此类题
的推导.
例题4 有6只盒子，每只盒内放有同一种笔，6只盒子所 装笔的支数分别是11支、13支、17支、
20支、28支、43支。在这些笔中，水彩笔支数是圆珠 笔的2倍，铅笔的支数是水彩笔的一半，其
中有一只盒子放的是钢笔。这盒钢笔共有多少支？
分析 因为水彩笔是圆珠笔的2倍，而铅笔是水彩笔的一半，即水彩笔也是铅笔的2倍，所以，水彩笔、圆珠笔和铅笔的总支数一定是4的倍数。11+13+17+20+28+43=132支，132正 好是4的倍数，
说明那一盒钢笔也正好是4的倍数，而满足条件的只有20和28。
（1）当 钢笔是20支时：（132－20）÷4=28支，17+11=28支，43+13=56支符合条件；
14

（2）当钢笔是28支时：（132-28）÷4=26支，题中没有 一盒或2盒的和是26，不符合条件。
所以， 盒钢笔有20支。
练习四
1，十 三个鱼盆里鱼的条数分别是2、3、5、7、9、11、14、13、17、21、24、24条。已知同一盆< br>里的鱼是同一种类，只有一盆是刀鱼，其余都是青鱼或鳊鱼，并且鳊鱼的条数是青鱼的6倍。刀鱼
有几条？
答案
解：
由题意知，共有160条鱼，设刀鱼为x条，青鱼y条，则有x ＋7y＝160，当x
＝13时，y是正整数，所以刀鱼有13条.
故答案为：
所以刀鱼有13条
解析
根据已知条件找到本题突破口进行往下推理即可.
2，有六只水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已
知所 放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。求香蕉有多少
千 克。
答案
苹果的重量是梨的5倍.所以,苹果与梨的和是梨的

倍.

所以被6除余5的数就是香蕉,就是17千克的那一箱.
3，图书员在整理图书， 他把同一类书叠一叠，一共叠好了7叠，其中只有一叠是连环画，其余都
是故事书和科技书，且故事书是 科技书的6倍。已知这7叠书分别有3、4、5、16、21、25和38
本。问：连环画有多少本？< br>答案
解答
连环画为：21本。
解析
根据题意可知，故事书和科技书是7的倍数，
（3+4+5+16+21+25+38）÷7=16，而21÷7=3，所以连环画为：21本。
例题5 小明看一本书，如果看过的页数每天比前一天增加一倍，7天正好看完。已知这本书一共
15

96页，他第几天看到了12页？
分析 由于他每天看过的页数比前一天增 加一倍，7天正好看完，也就是说第7天能看到96页。由
此往前推：第6天看到了96÷2=48页， 第5天看到了48÷2=24页，第4天看到了24÷2=12页。
所以，他第4天看到了12页。
练习五
1，有一种水草，水草生长的面积每天扩大2倍，10天后，这片水草的面积是42平 方米。问：当水
草长到第7天时，面积是多大？
答案
42÷2÷2÷2=21÷4=5、25m
2

2，有一条毛毛早由幼虫长 到成虫，每天长一倍，30天能长到20厘米。问：长到5厘米时要用多少
天？
答案
解：毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条
毛毛虫在第30天时，身长为2 0厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的
身长为20÷2=10厘米；在第28天时，这条虫的身长为 10÷2=5厘米。
解析

3，有一种细菌，每天繁殖一倍，20天达到4000个。问：当繁殖到500个时，是第几天？
答案
解答
繁殖到500个时，是第17天.
解析
根据题意可 知，20天是4000个，那么19天是4000÷2=2000个，18天是
2000÷2=1000 个，17天是1000÷2=500个，所以当繁殖到500个时，是第17
天.


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