中国地震局工程力学研究所-新学期计划300字

五年级奥数最优方案与策略例题分析和练习
[题型概述]
最优化概念反映 了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时
间前提下，争取获得在可能范围内 的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要
课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容 。
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思
路，增强数学能力很有益处。但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。
因此，主 要是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法和经验。
[经典例题]
例1 :货轮 上卸下若干只箱子，总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能
把这些箱子一次运走，问 至少需要多少辆载重3吨的汽车？
[分析] 因为每一只箱子的重量不超过1吨，所以每一辆汽车可运 走的箱子重量不会少于2
吨，否则可以再放一只箱子。所以，5辆汽车本是足够的，但是4辆汽车并不一 定能把箱子
全部运走。例如，设有13只箱子，，所以每辆汽车只能运走3只箱子，13只箱子用4辆< br>汽车一次运不走。
因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要5辆汽车。
例2: 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原
材料几根？怎样截法最合算？
[分析] 一个10尺长的竹竿应有三种截法：
（1） 3尺两根和4尺一根，最省；
（2） 3尺三根，余一尺；
（3） 4尺两根，余2尺。
为了省材料，尽量使用方法（1），这样50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根
4 尺的竹竿，还差50根4尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需25根
即可，这样，至 少需用去原材料75根。
例3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数 ，它们个位数字
的和是7的倍数，这个三角形的周长最长应是多少厘米？
[分析] 因为三角 形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，2，4，6，8，并
且它们的和也是偶数，又因 为它们的个位数字的和是7的倍数，所以只能是14，三角形三
条边最大可能是86，88，90，那么 周长最长为86+88+90=264厘米。
例4: 把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。
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[分析] 先从较小数形开始实验，发现其规律：
把6拆成3+3，其积为3×3=9最大；
把7拆成3+2+2，其积为3×2×2=12最大；
把8拆成3+3+2，其积为3×3×2=18最大；
把9拆成3+3+3，其积为3×3×3=27最大；……
这就是说，要想分拆后的数的乘积 最大，应尽可能多的出现3，而当某一自然数可表示为若
干个3与1的和时，要取出一个3与1重合在一 起再分拆成两个2之和，因此25可以拆
成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积37×22=8 748为最大。
例5: A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多 可携带
一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙
漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用
呢？
[分析] 设A走X天后返回，A留下自己返回时所需的食物，剩下的转给B，此时B共有
（4 8-3X）天的食物，因为B最多携带24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B
只能再向前走 8天，留下16天的食物供返回时用，所以B可以向沙漠深处走16天，因为
每天走20千米，所以其中 一人最多可以深入沙漠320千米。
如果改变条件，则问题关键为A返回时留给B24天的食物，由于 24天的食物可以使B单
独深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B两人往返一段路，这 段路为24÷4=6
天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入 沙漠
360千米。
例6: 甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服，甲厂每月用的时间
生产上衣， 的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙厂每月用 的时间生产上衣， 的
时间生产裤子，全月 恰好生产1200套西服，现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产
西服，那么现在每月比过去多生 产西服多少套？
[分析] 根据已知条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间之比为2:3；因此在 单位时间
内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比为2:3；同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子< br>的数量之比是3:4；，由于，所以甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。两厂联合生产，
尽量 发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣，由于乙厂生产 月生产1200件上衣，那么乙
厂全月可生产上衣1200÷ =2100件，同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产
裤子900÷ =2250条。 为了配套生产，甲厂先全力生产2100条裤子，这需要2100÷2250=月，然后甲厂再用月
单独生产西服900×=60套，于是，现在联合生产每月比过去多生产西服
（2100+60）-（900+1200）=60套
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例7 今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮 流各
取一次，规定每次只能取7P（P为1或不超过20的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜
者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？
[分析] 因为1400=7×200，所以原题可以转化为：有 围棋子200颗，甲、乙两人轮流每
次取P颗，谁最后取完谁获胜。
[解] 乙有必胜的策略。
由于200=4×50，P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式（k 为零或正整数）。
乙采取的策略为：若甲取2，4k+1，4k+3颗，则乙取2，3，1颗，使得余下 的棋子仍是
4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部< br>取完而获胜。
[说明] （1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所
面临的“情形”；
（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形--剩余棋子的颗数分成两类，第
一 类是4的倍数，第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取1
或2或3，使得剩 下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的
一定是第二类情形。所以，谁先 面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，
都可采用这种方法。
例8 有一个 80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5
人的三种房间，男、女分 别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？
[分析] 为了使得所住房间数最少，安排时应尽量先安 排11人房间，这样50人男的应安排
3个11人间，2个5人间和1个7人间；30个女人应安排1个 11人间，2个7人间和
1个5人间，共有10个房间。

[课后练习]
1、十个自然数之和等于1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？（不
包括0 ）
2、在两条直角边的和一定的情况下，何种直角三角形面积最大，若两直角边的和为8，则
三角形的最大面积为多少？
3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间 分别是1分钟、
2分钟、3分钟、4分钟和5分钟，如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序，就能 够
使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最小值是多少分钟？
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4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小 时注满。
若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？
5、有1995名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该 在该公路
的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？
6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑板上已写过的数的
约数，不能 完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如何取胜？


[习题参考答案及思路分析]
1、因为1001=7×11×13，所以可以7×13为公约数,这样这十个正整数可以是 ,91×2，
它们的最大公约数为91。
2、对于直角三角形而言，在直角边的和一定的情况 下，等腰直角三角形的面积最大。若两
直角边的和为8，则三角形的最大面积为 ×4×4=8。
3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：
（1）排队的人尽量少；（2） 每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水，才能
保证开始排队人多的时候，每个人等待的时间 要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35
（分钟）。
4、由于甲、乙单独开 放都不可能在10小时注满水池，因此必须有时间甲、乙全放。为了
使它们合放的时间最少，应尽量开放 甲管（速度快），这样甲开10小时注满水池的，余下
只能由乙注满，需。因此甲乙两管全放最少需要4小时。
5、此问题我们可以从最简单问题入 手，寻找规律，从而解决复杂问题，最后集合地点应在
中间地点。
6、先写者存在获胜的策略 。甲第一步写6，乙仅可写4，5，7，8，9，10中的一个，把
它们分成数对（4，5），（8，1 0），（7，9）。如果乙写数对中的某个数，甲就写数对
中的另一个数，则甲必胜。









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奥数知识点题型解析：最优方案与最佳策略

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