中考英语词组-圣诞促销

巧求周长与面积




教学目标：

1. 掌握巧求周长与面积的基本方法；
2. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。




巧求周长

【例1】 （“希望杯”第一试）右图中的阴影部分
BCGF
是
G H
EF
正方形，线段
FH
长
18
厘米，线段
AC< br>长
24
厘米，
则长方形
ADHE
的周长是_________ _厘米。

【分析】 由于图中阴影部分
BCGF
是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形
ADHE
的宽。
A
C
D
B
FHAC
的和应为长方形
ADHE
的长加上正方
形
BC GF
的边长，所以等于长方形
ADHE
的长与宽之和。所以长方形
ADHE< br>的周长为：
(1824)284
厘米。

D
C

丙
【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方 形，使三
E
J
个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形
乙F
区域甲，和
L
形区域乙和丙。甲的边长为
4
厘米，乙的边I
长是甲的边长的
1.5
倍，丙的边长是乙的边长的
1.5
倍， 那
甲
么丙的周长为多少厘米？
EF
长多少厘米？
A
G
HB

【分析】 乙的周长实际上是正方形
AHJE< br>的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、
向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形
ABCD
的周长。由于
AE41.56
，
AD61.5 9
，所以丙的周长为
9436
厘米，
。
EFAEAF642
（厘米）

【例3】 用若干个边长都是2
厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边
形，已知大平行四边形的 周长是
244
厘米，
那么平行四边形和三角形各有多少个？

【分析】 大平行四边形上、下两边的长为
(24422)2120
厘米，观 察上边，每
6
厘米有两
个平行四边形的边，所以共有小平行四边形
1206 240
个，三角形的数量与小平行

四边形的数量相等，也是
40
个。

[拓展] 用若干个边长都 是
2
厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，
已知大平行四 边形的周长是
236
厘米，那
么平行四边形和三角形各有多少个？

[分析] 大平行四边形上、下两边的长为
(23622)2116
厘米， 观察上边，每
6
厘米有两
个平行四边形的边，
116619L2
，所以有三角形
19238
个，小平行四边形
38139
个。


【例4】 有
9
个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9
个
小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是
45
平方厘
米， 求这个大长方形的周长。

【分析】 从图上可以知道，小长方形的长的
4
倍等于宽的
5
倍，所以长是宽的
541.25
倍。
每个小长方形 的面积为
4595
平方厘米，所以
1.25
宽

宽< br>5
，所以宽为
2
厘米，
长为
2.5
厘米。大长方形 的周长为
(2.5422.5)229
厘米。

[拓展] 右图的长方形被分割成
5
个正方形，已知原长方形的面积为
120
平方厘米，求原长方形的长与宽。

[分析] 大正方形边长的< br>2
倍等于小正方形边长的
3
倍，所以大正方
形的边长是小正方形边长的
1.5
倍，大正方形的面积是小正方形面积的
1.51.52.25
倍， 所以小正方形面积为
120(2.2523)16
平方厘米，所以小正方形的边长为< br>4
厘
米，大正方形的边长为
6
厘米，原长方形的长为
43 12
厘
米，宽为
4610
厘米。
7


【例5】 （希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽
11
分米的长方形 ,再截去宽
7
分米的长方形，所得图形的面积比
11
原正方形减少
3 01
平方分米。原正方形的边长是______分米。

【分析】 把截去的两个长 方形拼在一起，如右下图所示，再补上长
11
分米、宽
7
分米的小长方
形，所得长方形的面积是
301117378
平方分米，这个
长方形的长等于 原正方形的边长，宽为
11718
分米，所
以原正方形边长为：
378 1821
分米。







巧求面积：

G

36

C

AD
20
16B
【例6】 如 图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个
30
E
矩形的面积如图中所示（单位：平 方厘米），问
12
大矩形的面积是多少平方厘米？
F

【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为
16
平方厘米和面积为
20
平方 厘米的两
个长方形的宽相等，即
BC
相等，不妨假设
BC2
厘米， 可以算得：
AC8
厘米，
CD10
厘米。于是可以算得：
GC 3684.5
厘米，
BE30103
厘米，
于是大长方形的长为< br>10818
厘米，宽为
4.5231.511
厘
EF1 281.5
厘米。
米，因此大长方形的面积为
1811198
平方厘 米。


【例7】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边
长 各增加
30
米（如图虚线所示），则面积增加
9900
平
方米，问原 来这块正方形苗圃的面积是多少平方
米？

【分析】 小正方形的面积为：
3030900
平方米。用增加的
面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形
的面积和，为：
99009009000
平方米。而增加
的两个长方形的面积相 等，于是其中一个长方形的
面积为
900024500
平方米。长方形的宽为30
米，那么长为：
450030150
米，
这就是原来这块正方形 苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为
15015022500
（平方米）。

【例8】 长方形
ABCD
的周长是
30
厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知
这四个正方形的面积之和为
290< br>平方厘米，那么长方形
ABCD
的面积是多少平方厘
米？

【分析】 从图形我们可以看出，
A
1
B
的长度恰好为长方形的长与 宽之
和，即为长方形
ABCD
周长的一半，可以看出若以
A
1
B
和
BC
1
为边能构成大正方形
A
1
BC
1
E
1
（如右图
b
所示），其中包含两
个长方形和两个正 方形，而且两个长方形的面积是相等的，
两个正方形的面积刚好是
290
平方厘米的一 半。这样我们容易
求出：大正方形
A
1
BC
1
E
1
的边长为
30215
厘米，面积为：
C
1
D
A
1
A
C
B
E
1
D
1
E
D
C
1
C
B
1515225
平方厘米，正方形
C DD
1
C
1
与正方形
ADEA
1
的面
积之 和为：
2902145
（平方厘米）。长方形
ABCD
与长方
A
1
A
形
EDD
1
E
1
的面积相等。所以， 长方形
ABCD
的面积为：
。
(225145)240
（平方厘米）

[巩固] 用两块长方形纸 片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形
纸片面积分别为
44
平方厘米与
28
平方厘米，原正方形纸片面积
是多少平方厘米？

[分析] 做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为
442816
，所以
。
a 4
,
b2847
，原正方形面积为
7749
（平方厘米 ）


【例9】 如图，正方形
ABCD
的边长是
5
，
E
，
F
分别是
AB
和
BC
A
的中点，求四边形
BFGE
的面积。

【分析】 如下图，利用割补法，原 正方形面积等于
5
个小正方形
E
面积之和，所以每个小正方形面积是
5555
，而阴
影部分面积等于
1
个小正方形面积，所以也是
5
。

D
A

B

E


G

B
C
F


综合应用：

D
G
F
C

【例10】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外
作小正三角形，得到一个 六角形。再将这个六角形的六个
“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为
边向 外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图
形。如果所作的最小的小正三角形的面积为
1
平方厘米，
求如图中整个图形的面积。

【分析】 题目中出现了大、中 、小三种规格的正三角形(如图
a
)，
由已知，图中最小的小正三角形的面积是
1
平方厘米，于
是我们就以
1
平方厘米的小正三角形为单位，对图
a
进行
分割，得到图
b
。从图
b
可以看出，一个大正三角形 中包
含
9
个中正三角形，一个中正三角形中包含
9
个小正三角
形。由此可以求出，一个大正三角形中包含
9981
个小
正三角形，在图
a
中，除了一个大三角形之外，还有
3
个
中正三角形和
12
个小正三角形，所以整个图形中共含有
小三角形的个数为：
993912120< br>个，而每个小正
三角形的面积为
1
平方厘米，所以图
a
中图形 的面积为
120
平方厘米。
中
大
中
图a
中
图b
E
A
H

甲
丁
B

【例11】 （“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼
成一个正方形
EFGH
，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、
D
乙丙
丁四个长方形面积的 和是
32
平方厘米，四边形
ABCD
的面积
G
F
C
是
20
平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。

【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、
丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的
2
倍。大正方形的面积等于四
边 形
ABCD
的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即
2032236
平方厘米，
所以大正方形边长为
6
厘米，所以甲、乙、丙、
丁四个长方形周 长的总和为
64248
厘米。


2
1
【例12】 （
2006
年“希望杯”第二试）如右图，用标号 为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
的五种大小不同的正方形拼成一
5
个大长方形，大长方形的长和宽分别是
18
，
14
，
3
则标号为
5
的正方形的面积是多少？
44
4

【分析】 如果标号为
5
的正方形的边长是
a
，那么
1
号比
2
号大
a
，
2
号比
3
号大
a
，所以
1
号比
3
号大
2a
，又因为
2
号和
3
号的边长之和是
14
，< br>1
号和
2
号的边长之和是
18
，所以
1
号比
3
号
大
18144
，即
2a4
，
a 2
，标号为
5
的
3
2
1
正方形的面积是
224
。
4
[巩固] （希望杯培训题）小军用编号为
1
，
2
，
3
，
22厘米
4
5

2
3
30厘米
1

4
，
5
的大小不同的正方形拼出一个长方形，如右图所示，则中间阴影部分正方形的周
长是多少厘米？

[分析] 因为正方形
1
的边长

正方形
2< br>的边长

正方形
3
的边长
30
厘米， 正方形1
的边长

正
方形
2
的边长
22
厘 米，所以 正方形
3
的边长
30228
(厘米)，正方形
5< br>的边长
2
正方形
3
的边长
22
厘米，所以正方 形
5
的边长
22826
厘米，周长为
6424
厘
米。

[拓展] 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为 完美长方形。下面一个长
方形是由
9
个小正方形组成的完美长方形。图中正方形
A
和
B
的边长分别是
7
厘米和
4
厘米，那么这个 完美长方形的面积是多少平方厘米？


DE
F

C
A
B
A
B


G
H


[分析] 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。
设最小的正方形边长为
x
厘米，又因为小正方形
A
的边长为
7
厘米，小正方形
B
的边长
为
4
厘米，所以小正方形
C的边长可以表示为
7x
（厘米），小正方形
D
的边长可以表
示 为
7xx72x
（厘米），小正方形
E
的边长可以表示为
7 x411x
（厘米），
小正方形
F
的边长可以表示为
11 x415x
（厘米），小正方形
G
的边长可以表示为
，小正方形
H
的边长可以表示为
7x714x
（厘米），观
15x41 9x
（厘米）
察大长方形可知：小正方形
D
、
C
、
H
的边长之和等于小正方形
F
、
G
的边长之和，
可以列方 程为：
(72x)(7x)(14x)(15x)(19x)
，解得
x1
。从而可得小正
方形
C
、
D
、
E
、
F
、
G
、
H
的边长分别为
8
厘米、9
厘米、
10
厘米、
14
厘米、
18
厘
米、
15
厘米。大长方形的长为：
181533
（厘米），宽为：141832
（厘米），大长
方形的面积为：
33321056
（平方厘米）。












【例13】 有一大一小两块正方形
积相差
220
平方米，那么
米？


试验田，他们的周长相差
40
米，面
小正方形试验田的面积是多少平方
图b

图a


【分析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐 ，画出示意图（如图
a
），将
大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼 成一个长方形（如图
b
）。
由于两个正方形的周长相差
40
米，从 而它们的每边相差
40410
米，即图
b
中的长
方形的宽是10
米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为
220
平方米，从而长方形的长为：
2201022
（米）。由图可知，长方形的长是大正方形与小正 方
形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长
为：(2210)26
（米）。所以小正方形的面积为：
6636
（平方米 ）。



附加题：



【附1】 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为
0.5
米的一个长方形玻璃条
后，剩下的长方形的面 积为
5
平方米，请问锯下的长方形玻璃
条的面积等于多少？

【分析】 我们先按题目中的条件画出示意图(如图
a
)，我们先看图中剩
0 .5
5
图a
下的长方形，已知它的面积为
5
平方米，它的长和宽相差
0.5
米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图
5
5
(如 图
b
)。
图
b
是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，
0.5
中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，
0.5
即< br>0.5
米。所以中间的小正方形的面积为
0.50.50.25
平
5
方米，那么大正方形的面积为
540.2520.25
平方米。 < br>5
因为
4.54.520.25
，所以大正方形的边长等于
4.5
米。所
以原题中剩下的长方形的长与宽的和为
4.5
米，而长与宽
图b
的差为
0.5
米，所以剩下的长方形的长为：
即原正方形的边 长为
2.5
米。又知锯下的长方形玻璃条的宽为
0.5

(4.5 0.5)22.5
米，
米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为
2.50.5 1.25
平方米。

【附2】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一 个正方形盒内，它们之间相互叠合
（如右图），已知露在外面的部分中，红色面积是
20
，黄色面积
是
12
，绿色面积是
8
，那么正方形盒的底面积是多少 ？
黄

红
绿

【分析】 黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，由于三块纸片的大小一样，把黄色纸
片向左移动，在 这个移动过程中，黄色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出
部分增加的面积，它们露出部分的 面积和不变，为
81220
。当黄色纸片移动到正方
形盒的最左边时，如右下图所 示，可知此时黄色纸片露出部分与
绿色纸片露出部分的面积相等，所以黄色纸片露出部分面积为
20210
，绿色纸片露出面积也为
10
。
右下图中，由于红色部分面积是绿色部分面积的
20102
倍，
所以黄色部分面积是空白部分面积的
2
倍。所以空白部分的面积
为
1025
，正方形盒的底面积为
201010545
。解答此
题的关键是让黄色纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。


【附3】 右图中外侧的四边形是一个边长为
10
厘米的正方形，求阴影部分的面积。












【分析】 如右下图所示，可知阴影部分面积与空白部分面积之差即为小长方形
OP MN
的面积，
为
326
平方厘米，所以阴影部分面积为
(100 6)253
平方厘米。
黄
红绿














巩固练习:

1. 右图中正方形的边长为
3
厘米，每边被
3
等分，求图中所有正方形周长的和。

【分析】 分类进行统计：
边长为
1
厘米的正方形的周长的和是 ：
14(33)36
(厘米)，
边长为
2
厘米的正方形周 长的和是：
24(22)32
(厘米)，
边长为
3
厘米的 正方形周长是：
34(11)12
(厘米)，
图中所有正方形周长的和是：
36321280
(厘米)。


2. 用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如
右图所示。已 知外面大正方形的周长是
264
厘米，里面小正方形
的面积是
900
平方厘米，每块长方形条砖的长是_____厘米，宽
是______厘米。

【分析】 外面大正方形的边长为
264466
厘米，里面小正方形的边长为30
厘米，从图中可
以看出，长方形的宽为
(6630)218
厘 米，长方形的长为
(6618)224
厘米。


3. 右 图的长方形被分割成
5
个正方形，已知每个大正方形比每
个小正方形面积大
5
平方厘米，求原长方形的面积。

【分析】 大正方形边长的
2
倍 等于小正方形边长的
3
倍，所以大正方形的边长是小正方形边长
的
1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的
1.51.52.25
倍，小正方形面积为5(2.251)4
平方厘米，原长方形的面积为
43(45)230
平方厘米。


4. 有大、小两 个长方形（右图），对应边的距离均为
1
厘米，
已知两个长方形之间部分的面积是16
平方厘米，且小长方
形的长是宽的
2
倍，求大长方形的面积。

【分析】 如图，由于已知两个长方形之间部分的面积是
16
平方厘
米，而
4
个角上的小正方形面积均为
1
平方厘米，所以划
分出来的 四个新长方形的面积之和为
16412
平方厘
米，这四个新长方形的宽均为
1
厘米，长则分别为原来的
小长方形的四条边，所以原来的小长方形的长、宽之和为
12126
厘米。由于小长方形的长是宽的
2
倍，所以长为
4
厘米，宽为
2
厘米。所
以大长方形的长为
6
厘米，宽为
4< br>厘米，面积为
6424
平方厘米。