村干部-妇联工作总结

最大公约数与最小公倍数（一）
教学目标：
1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。
2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。
教学过程：
一、基本概念知识
1.公约数和最大公约数

①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
②如果一个自 然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的
公约数。在所有公约数中最大的 一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12;
18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数
a
1
,a
2
,

,a
n
的最大公约数通常用符号（
a< br>1
,a
2
,

,a
n
）表示，例如，12和 18的公约数
有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
（8，12）=4，（6，9，15）=3。


2.公倍数和最小公倍数


③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数， 那么称这个自然数是这若干个自然数
的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数 的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…
18的倍数有：18，36，54，72，90，…
自然数
a1
,a
2
,

,a
n
的最小公倍数通常用符号 [
a
1
,a
2
,

,a
n
]表示 ，例如12和18的公倍数有：
36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，1 8]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数
如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：
求
n
个数的最大公约数：
（1） 必须每次都用
n
个数的公约数去除；
（2） 一直除到
n
个数的商互质（但不一定两两互质）；
（3）
n
个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
求
n
个数的最小公倍数：
（1） 必须先用（如果有）
n
个数的公约数去除，除到
n
个数没有除去1以外的公约数后，在用
n1
个数 的公约数去除，除到
n1
个数没有除1以外的公约数后，再用
n2
个数的 公约
数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；
（2） 只要有两 个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到
n
个数的商两两互质
为止；
（3）
n
个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶24 0克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少
元钱？
分析与解： 因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装 后
每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶 叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以
分 装的袋数应尽量多，应是 144，180，240的最大公约数。是144，180，240的最大公
约数。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价 格最
低是60÷12=5（元）。
例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
分析与解：因为49 8，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约
数应能被a整除。
49 8-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。

例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的
可以是多少？
分析与解： 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大
公约数。只能从唯一 的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们
的公约数一定是1111的约 数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，
由于三个自然数的和 是1111，所以三个自然数 都小于1111，1111不可能是三个自然数
的公约数，而101是可 能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。
例4 在一个30×24 的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端
点外，共经过多少个格点（横线与竖线的 交叉点）？

分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份， 即分成6×6个相同
的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）
小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所
以经过5个格点（见 左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角
线不经过任何格点（见右下图）。

所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。
例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30
秒。 三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需 60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即
三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75， 90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900
（秒）=15（分）。

例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年
就 分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析与解：爷爷和小明 的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不
变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他 们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄
差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差 是6，5，4，3，2的公倍数。
[6，5，4，3，2]=60，
爷爷和小明的年龄 差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是
60岁。所以现在
小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），
爷爷的年龄=10×7=70（岁）。
二、随堂练习

最大公约数与最小公倍数（二）

摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最 大公约数与最小公倍数的
概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法

可知，（18，12）=2×3= 6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约
数与最小公倍数相乘，那么
（18，12）×[18，12]
=（2×3）×（2×3×3×2）
=（2×3×3）×（2×3×2）
=18×12。
也就是说，18与12的最大公约 数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，
12换成其它自然数时，依然有类似的结论 。从而得出一个重要结论：
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。 即，
（a，b）×[a，b]=a×b。

例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，
求另一个自然数。
解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。
例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求
这两个自然数。 < br>分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是
1，最小公倍 数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6， 且5与6互质。因此改变后的两个
数是5和6，故原来的两个自然数是
7×5=35和7×6=42。
例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b， c的最小公倍数是120，
求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a 应当是12与15的公倍数，即是[12，
15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a 只能是60或120。[a，c]=15，说明c没
有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23 ×3×5，所以c=15。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120 ，（a，b）=12，
[a，b]=120，求a，b。”当a=60时， b=（a，b）×[a，b]÷a
=12×120÷60=24；当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a
=12× 120÷120=12。所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。要将它们全部分别
装入小瓶
中，每个小
瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？

分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三 种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量
分别乘以某个数 ，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。 为此，先求几个
分母的最小公倍数，[6，4，9] =36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和
80，（150，135，80）=5。
上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重
量是 150，135，80的136，所以每瓶最多装

在例4中，出现了与整数的最大公约数类 似的分数问题。为此，我们将最大公约数的
概念推广到分数中。如果若干个分数（含整数）都是某个分数 的整数倍，那么称这个
分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个 分
数的最大公约数。
由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；
b
（4）即为所求。
a
552
例5 求
5
，
2
，
6
的最大公约数。
689





类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如 果某个分数（或整数）同
时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数 。在
所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。
求一组分数的最小公倍数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；


一
个陷井。它
们之中谁先
掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？



同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为

所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 12÷6 310=5（次）。

黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了


专题练习
1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？
3.求下列各组分数的最大公约数：

4.求下列各组分数的最小公倍数：





部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？


于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。

随堂练习解答

专题练习解答
1.72×120=（7，120）×［72，120］=24×360。
2.12，72与24，36两组。
提示：72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组：
①12×1=12，12×6=72； ②12×2=24，12×3=36。

5.等于。


6.151瓶。


7.120米。

最大公约数与最小公倍数（一）
教学目标：
1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。
2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。
教学过程：
一、基本概念知识
1.公约数和最大公约数

①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
②如果一个自 然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的
公约数。在所有公约数中最大的 一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12;
18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数
a
1
,a
2
,

,a
n
的最大公约数通常用符号（
a< br>1
,a
2
,

,a
n
）表示，例如，12和 18的公约数
有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
（8，12）=4，（6，9，15）=3。


2.公倍数和最小公倍数


③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数， 那么称这个自然数是这若干个自然数
的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数 的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…
18的倍数有：18，36，54，72，90，…
自然数
a1
,a
2
,

,a
n
的最小公倍数通常用符号 [
a
1
,a
2
,

,a
n
]表示 ，例如12和18的公倍数有：
36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，1 8]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数
如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：
求
n
个数的最大公约数：
（1） 必须每次都用
n
个数的公约数去除；
（2） 一直除到
n
个数的商互质（但不一定两两互质）；
（3）
n
个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
求
n
个数的最小公倍数：
（1） 必须先用（如果有）
n
个数的公约数去除，除到
n
个数没有除去1以外的公约数后，在用
n1
个数 的公约数去除，除到
n1
个数没有除1以外的公约数后，再用
n2
个数的 公约
数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；
（2） 只要有两 个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到
n
个数的商两两互质
为止；
（3）
n
个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶24 0克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少
元钱？
分析与解： 因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装 后
每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶 叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以
分 装的袋数应尽量多，应是 144，180，240的最大公约数。是144，180，240的最大公
约数。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价 格最
低是60÷12=5（元）。
例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
分析与解：因为49 8，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约
数应能被a整除。
49 8-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。

例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的
可以是多少？
分析与解： 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大
公约数。只能从唯一 的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们
的公约数一定是1111的约 数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，
由于三个自然数的和 是1111，所以三个自然数 都小于1111，1111不可能是三个自然数
的公约数，而101是可 能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。
例4 在一个30×24 的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端
点外，共经过多少个格点（横线与竖线的 交叉点）？

分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份， 即分成6×6个相同
的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）
小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所
以经过5个格点（见 左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角
线不经过任何格点（见右下图）。

所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。
例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30
秒。 三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需 60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即
三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75， 90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900
（秒）=15（分）。

例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年
就 分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析与解：爷爷和小明 的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不
变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他 们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄
差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差 是6，5，4，3，2的公倍数。
[6，5，4，3，2]=60，
爷爷和小明的年龄 差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是
60岁。所以现在
小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），
爷爷的年龄=10×7=70（岁）。
二、随堂练习

最大公约数与最小公倍数（二）

摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最 大公约数与最小公倍数的
概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法

可知，（18，12）=2×3= 6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约
数与最小公倍数相乘，那么
（18，12）×[18，12]
=（2×3）×（2×3×3×2）
=（2×3×3）×（2×3×2）
=18×12。
也就是说，18与12的最大公约 数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，
12换成其它自然数时，依然有类似的结论 。从而得出一个重要结论：
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。 即，
（a，b）×[a，b]=a×b。

例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，
求另一个自然数。
解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。
例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求
这两个自然数。 < br>分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是
1，最小公倍 数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6， 且5与6互质。因此改变后的两个
数是5和6，故原来的两个自然数是
7×5=35和7×6=42。
例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b， c的最小公倍数是120，
求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a 应当是12与15的公倍数，即是[12，
15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a 只能是60或120。[a，c]=15，说明c没
有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23 ×3×5，所以c=15。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120 ，（a，b）=12，
[a，b]=120，求a，b。”当a=60时， b=（a，b）×[a，b]÷a
=12×120÷60=24；当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a
=12× 120÷120=12。所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。要将它们全部分别
装入小瓶
中，每个小
瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？

分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三 种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量
分别乘以某个数 ，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。 为此，先求几个
分母的最小公倍数，[6，4，9] =36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和
80，（150，135，80）=5。
上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重
量是 150，135，80的136，所以每瓶最多装

在例4中，出现了与整数的最大公约数类 似的分数问题。为此，我们将最大公约数的
概念推广到分数中。如果若干个分数（含整数）都是某个分数 的整数倍，那么称这个
分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个 分
数的最大公约数。
由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；
b
（4）即为所求。
a
552
例5 求
5
，
2
，
6
的最大公约数。
689





类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如 果某个分数（或整数）同
时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数 。在
所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。
求一组分数的最小公倍数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；


一
个陷井。它
们之中谁先
掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？



同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为

所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 12÷6 310=5（次）。

黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了


专题练习
1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？
3.求下列各组分数的最大公约数：

4.求下列各组分数的最小公倍数：





部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？


于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。

随堂练习解答

专题练习解答
1.72×120=（7，120）×［72，120］=24×360。
2.12，72与24，36两组。
提示：72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组：
①12×1=12，12×6=72； ②12×2=24，12×3=36。

5.等于。


6.151瓶。


7.120米。