四年级数学上册期末试卷-大连理工大学分数线

立体图形长方体与正方体

知识要点
名称 图形 特征 度量
长方体

八个顶点，六个面，相
对的面相等，十二条
棱，相对棱相等．
表面积
S2(abahbh)

Vabh

VSh
（
S
为底面积）
体积
正方体

八个顶点，六个面都是
相等的正方形，十二条
棱都相等．
表面积
S6a
2

体积
Va
3

拓展与提高
1． 长方体与正方体堆垒
【例1】如图，用若干块单位正方体积木堆 成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图
和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少 ？
请用积木将具有这个最小体积的立体堆放出来．
(正视图)（俯视图）（侧视图）

【练一练】小明用若干个大小相同的正方体木块堆 成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，
从上面看如图2所示，那么这个几何体至少用了 块木块．
图 1
图 2

【例2】下图是三面涂黑、棱长为
1cm
的两个正方体的展开图．展开图可分别组成
A
、
B
两个正方体．
现在，将这些正方体相同颜色的面粘连在一起，做成一个棱长为
2cm
的正方体，如右上图所示：
要求在1个顶点的周围有三面是黑色的，除此以外的面不涂颜色．
请问：正方体
A
、正方体
B
各用多少个？

正方体A正方体B

【例3】用四块同样的长方形纸板和二块同样的正 方形纸板做一个长方体的纸箱，已知纸箱的表面积为
902平方分米，而且长、宽、高均为整数厘米．求 它的体积最大是多少？
【例4】一个大长方体的尺寸为
n1110
，它是由一些 单位立方体（注：
111
和一个
211
）的长
方体构成．< br>211
的长方体在大长方体中有
2362
个位置可以放置．那么
n 
．
【例5】将棱长为
n
厘米（
n
是自然数）的正方体表面涂色，然后分割成棱长为1厘米的小正方体．恰
有两面涂色的小正方体的个数 等于没有涂色的小正方体个数的3倍．
n
厘米．
【例6】有甲、 乙、丙三种木块，规格分别为
112
，
113
，
122
（单位：分米）现要求用这些
木块拼20个
333
的正方体，现在有足够 的丙种木块，还有22块乙种木块．问最少要甲种
木块多少块？
【例7】甲、乙、丙三个小正 方体木块的棱长之比为
1:2:4
，用这三种木块拼一个棱长最小的大正方体
和一个体 积最小的长方体（每个形状的三种木块都要用到），一共最少需要这三种木块多少块？
【练一练】有甲 、乙、丙三种大小不同的正方体木块，甲的棱长为
1cm
，乙的棱长为
2cm
，丙的棱长
为
3cm
，如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体且 每种至少用一块，那
么需要这三种木块总和至少 块．
18
【探 究题】有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的体积是乙的，乙的体积是丙的．如
827果甲、乙、丙这三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体（每种至少用1块），那么最多需
要这三 种木块共 块，最少需要这三种木块共 块．
【练一练】有甲、乙 、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的
的棱长的
1
，乙的棱长是 丙
2
2
．如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体（每种至少用一 块），
3
那么，最少需要这三种木块一共 块．
【例8】图⑴中，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上，（不考虑水箱壁厚）
1
①当水箱像图⑵这样倾斜，水箱中水流出，这时
AB
长 厘米．
5
②当水箱如图⑶这样倾斜到
AB
的长度为8厘米后，再把水箱放平 如图⑷，这时水箱中水的深
度是 厘米．
M
N
2
A
3
B
3





（1）





（2）


 


（3）
A
2
B





（4）
A
B

【例9】如图1，一个长方形的 水池子深
1.25
米，一个水龙头要注满水池需要
3.5
小时，现在要在池内
设置两块与池壁平行的挡板（体积忽略不计），一块高
0.8
米（
B
点），它拦成的区域恰好容纳
1小时注水量，另一块高1米（
C
点），它拦成的区域恰 好容纳2小时注水量．那么，
AB
、
BC
、

CD这三段距离的比是 ．
1.25
0.8
AB
1
CD

【例10】今有一个 棱长为20的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各作一个小立方体，于是
得到八个小立方体． 在这些立方体中，上面四个的棱长为12，下面四个的棱长为13，那么所
有这八个小立方体公共部分的 体积是 ．
12
12
12
12
13
13
13
13

3． 体积的代换
【例11】如图，将一个正方 体分成了大、小两个长方形．大长方体的表面积是小长方体的
2.5
倍．大
长方体的体 积是小长方体的 倍．

【例12】如图，把正方体用两个与它的底面 平行的平面切开，分成三个长方体．这三个长方体的表面
积比是
3:4:5
时，用最简 单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： ．

计算达标
1．
32

1

51

x1
2

x

2

3

4


26
51

1

解：

11

3x

26

4

3630x

2

3x12
3x2x301236

x6

7(x1)2(x1)

1
63
解：
7(x1)64(x1)

2．
x4

4

7x76

7x4x467

3x17

x
17

3
4x1x1
1

32
解：
2(4x1)3(x1)6

3．
8x23x36


8x3x623

5x1

x
1

5
3x2x5
1
46

解：
3(3x)122(2x5)

x122x(2

5

93
4．
x12

4x3

x13

10

9
练习
1． 有
n
个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体， 这个长方体的底面就是原正方体的底面．如
果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体 的顶部拿去一个正方体后，新的长方体
的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么
n
．
【解】正方体每个面的面积是
144436
（平方厘米）．
n(3096362)14421
．
2． 如图所示，每个部件由3个棱 长为1的正方体焊接而成．用3个这样的部件拼成立体图形，使得
表面积尽量的小．并写出这个立体图形 的表面积．
【答案】28
【提示】拼成如右下图．

部件

3． 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、 5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得的我面体的
表面积是 平方厘米．

【解】我们可以用三视图的方法来求解表面积．首先注意到，此题设有陷阱．
（1）正视图： （2）侧视图： （3）俯视图：

2< br>5
2
3
2
2
2
38cm
2

5
2
3
2
34cm

5
2
25cm
2

那么表面积是
(383425)2194cm
2
．
4． 有64个同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个
444< br>的
大正方体，在大正方体的表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最大为 ．
【解】没有露在表面的小正方体有
(42)
3
8
（个），用 黑色的．
在面上但不在边上的小正方体有
(42)
3
6 24
（个），其中22个用黑色．
这样，在表面的
44696< br>（个）小正方形中，22个是黑色，
962274
（个）是白色，则
白色与 黑色的面积之比最大为
74:2237:11
．
5． 一个长、宽、高都是整数厘 米的长方体（其中长

宽=高）将这个长方体的六个面全部染成红色，
然后全部切割成 体积为1立方厘米的小正方体．如果已知其中二面染成红色的有120块．求原来
的长方体体积最大是多 少？

【解】
120430235
，
3 0636
长+宽+高，
141111
．
111
．
69

1411

6． 用若干个小正方体拼成如右上图所示的造型．其中有一个小孔分别由左至右、由上至下以及由前
至后穿透 整个造型．拼成此造型共需使用 个小正方体．
【解】整个造型可分为前、后、左 、右、上、下、中7个
333
的区域，其中前、后、左、右、上、
下共用小正方体
(3333)6144
个，中间部分用小正方体
333(322 )20
个．
整个造型共用小正方体
14420164
个．
7． 小明用若干个大小相同的正 方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1，从上面看如图
2，那么这个几何体至少用了 块木块．
图 1
图 2图 2

【解】这道题很多同学 认为答案是26块，这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块，
其实，有些格不放，看 起来也是这样的．
如图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．
8． 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中 、
小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池
的水里，大水池的水面长高了多少厘米？
【解】把碎石沉没大水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积．
因此，沉入水池中的碎石的体积是
330.060.54
（米
3
），而 沉入小水池中的碎石的体积是
220.040.16
（米
3
）．
这两堆碎石的体积一共是
0.540.160.7
（米
3
）．
把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是
0.7
米
3
． 而大水池的底面积是
6636
（米
2
）．
0.7
7017
所以水面升高了
0.736
（米）

（厘米）
1
（厘米）．
36
3618
故大水池的水面升高了
1
17
厘米．
18
9． 一个水箱从里面量 长5分米、宽3分米、高4分米．水箱里有不满一箱的水，现将一个长6分米、
1
宽4分米、高 2分米的长方体铁块垂直放入水箱里，这时箱内水溢出原有的．水箱内原有水的
3

体积与水箱容积的比是多少？
【答案】
7:10

【解】水箱容积是
53560
（立方分米），
铁块在水 箱内的何种是

6(64)

4232
（立方分米）．
水箱内剩下的水有
603228
（立方分米）．

1

水箱内原有水
28

1

42
（立方分米）．
3

水箱内原有水的体积与水箱容积的比是
42:607:10
．
10．（如下图）把 正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成
A
、
B
两个长方体．当
A
、
B
的表
面积比是
1:2
时，请用最简单的整数表示出
A
和
B
的体积比是 ．

AB

【答案】
1:5

【解】设原正方体每个面的面积为 1份，则将原正方体切成两个长方体
A
、
B
，他们的表面积之和比
原 正方体增中2个面，即
A
、
B
表面积之和为
628
份， 因为
A
、
B
的表面积之比是
1:2
，
18216< br>
份．
B
的表面积为
8
份，长方体
A
除 掉两个正方形的
123123
1

8

面，其余4个面 面积相等，则这4个面中，一个面的面积为

2

4
；长方体
B
除掉两个
6

3

所以
A
的表 面积为
8
5

16

正方形的面，其余4个面面积相等， 其中一个面的面积为

2

4
则长方体
A
与
B
的长
6

3

15
之比为
: 1:5
．因此和长方体
A
、
B
的宽高相等，所以长方体
A< br>、
B
的体积比为
1:5
．
66