商丘医学高等专科学校-第三批本科院校

第25讲 最大公约数
一、专题简析：
1、几个数公有的约数叫 做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的
最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公约数 记作（a、b），如果（a、b）
=1，则a和b互质。
2、求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
二、精讲精练：
例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块
正方形，而且 正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面
积最大，可以裁多少块？





练习一
1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米 宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，
至少能裁多少块？





1

2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板， 把它锯成若干块正方形而无剩余，
所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？




例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它 切成大
小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？



练习二
1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘 米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最
长是多少厘米 ？



2、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均 分给几个小组，并
且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？



2

例题3 有三根钢管，它们的长度分 别是240厘米、200厘米和480厘米，如果
把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米 ？



练习三
1、有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘 米，高24厘米。如果要切成同样
大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？



2、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形， 并
且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？



例题4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村
相距675米。现在准备在路边 裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、
乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之 间的距离最多是多少
米？



3

练习四
1、一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路
边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，
那么两树间 的距离最多有多少米？





2、有336支铅笔， 252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多
少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、 橡皮、文具盒各有多少？





例题5 用一张长 1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，
并且最后没有剩余，这些正方形的边 长最长是多少？





4

练习五
1、用辗转相除法求568和1065的最大公约数。




2、试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。




三、课后作业
1、将一块长80米、宽60米的 长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方
形的面积最大是多少？




2、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数
相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？



5

3、工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其 他工人多加工若干
个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6
个；第三批加工1 600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多
有多少人？





4、甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？





5、判断


第25周 最大公约数
专题简析：
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几 个数的最大公约数。我们可以把自然
数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和 b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长
6
11111
是不是最简分数。
15015

为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
分析 7分米 5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以
边长 是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
如果要使正方形 面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，
所以可以裁（ 75÷15）×（60÷15）=20块。
练习一
1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？ < br>2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长
最长是多少厘米？
3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？
【答案】1.（135,105）=15 （135÷15）×（105÷15）=63（块）
2.（45,30）=15 边长最长是15厘米
3.（80,60）=20 20×20=400（平方米）
例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分 米。要把它切成大小相等的正方体木块，不
许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
分析 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不 许
有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、 高
的最大公约数。
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
练习二 < br>1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正< br>方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2，有50个梨，75个橘 子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果
的个数也相同，最多 可以分给几个小组？
3，五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人 数相等的小组，但各班同学
不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？
【答案】1.（45,36,24）=3 棱长最长是3厘米
2.（50，75,100）=25 最多可分给25个小组
3.每组最多6人，可以分4组、6组、7组
例题3 有三根钢管，它们的长度分别是24 0厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，
每小段最长可以是多少厘米？
7

分析 要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应 该是240、200和480的公约数，而每小段要
取最长，也就是求240、200和480的最大公 约数。240、200和480的最大公约数是40，所以每小段最长
是40厘米。
练习三
1，有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。如果要切成同样大小的小正方体，这些 正方
体的棱长最长是多少厘米？
2，用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成 面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方
形的边长最长是多少？
3，工人加工了三批 零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都
同样多。已知他们第 一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中
王师傅比每个 工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多
有多少人 ？
【答案】1.（64,40,24）=8 棱长最长是8厘米
2.（1072,469）=67 边长最长是67毫米
3.（2100-7,1800-6,1600-13）=23 这批工人最多23人
例题4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在 准备在
路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相 邻两棵
树之间的距离最多是多少米？
分析 由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所 要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成
若干段，并且使每段的长度最长。因 为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，
即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
练习四
1，一条公路由A经B到C。已 知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路边植树，要求相邻两树间的
距离相等，并在B点及 AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？
2，有336支铅笔，252块橡 皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼
物中，铅笔、橡皮、文具 盒各有多少？
3，甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？
【答案】1.两树间的距离最多有
2
1

2
2.（336, 252,210）=42（份）铅笔=336÷428（支）橡皮=252÷42=6（块）
文具盒=210÷42=5（个）
3.288=2×2×2×2×2×3×3,36=2×2×3×3
8

乙数=2×2×2×2×2=32
例题5 用一张长1072毫 米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些
正方形的边长最长是多 少？
分析 前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。但 是这题中，
长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。

第一步：1072÷469，余134；
第二步：469÷134，余67； < br>第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷67）× （469÷67）
=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。
这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。
练习五
1，用辗转相除法求568和1065的最大公约数。
2，试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。
3，判断1111115015是不是最简分数。
【答案】1.71 2.1547与3135互质 3.是最简分数


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