我爱看书-寻物启事范文

不定方程与不定方程组

知识框架

一、 知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元
3
世纪就开始研究不定
方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的 五家共
井问题就是一个不定方程组问题，公元
5
世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标 志着中国对
不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起< br>来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不 定方程还经常作
为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一 步
学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程
这 个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、 不定方程基本定义
（1） 定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2） 不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程
的解不唯一。
（3） 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出
所有的解
三、 不定方程的试值技巧
（1） 奇偶性
（2） 整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）
（3） 余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

重难点

（1） 利用整除及奇偶性解不定方程
（2） 不定方程的试值技巧
（3） 学会解不定方程的经典例题


例题精讲

一、 利用整除性质解不定方程
【例 1】 求方程 2x－3y＝8的整数解

【考点】不定方程
【解析】 方法一：由原方程，易得 2x＝8＋3y，x＝4 ＋
3
y，因此，对y的任意一个值，都
2
有一个x与之对应，并且，此时x与 y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原
3


x4k
方程 的一组解，即原方程的解可表为：

2
，其中k为任意数．说明由y


yk
取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．
方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为
偶数，
当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解


【巩固】 求方程2x＋6y＝9的整数解

【考点】不定方程

【解析】 因为2x＋6y＝2(x＋3y)， 所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但2
Œ
9，因
此，不论x和y取什 么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．
说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。
【答案】无整数解


【例 2】 求方程4x＋10y＝34的正整数解

【考点】不定方程
【解析】 因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x＋5y＝17，5y 的
个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数
即可； 2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……
x＝1时，17－2x＝15，y＝3，
x＝6时，17－2x＝ 5，y＝1，
x＝11时，17－2x＝17 －22，无解 < br>
x1

x6
,

所以方程有两组整数解为：< br>

y3y1


x1

x6< br>,

【答案】


y3y1



【巩固】 求方程3x＋5y＝12的整数解

【考点】不定方程
【解析】 由3x＋5y＝12，3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所
以y为3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12……
y＝0时，12－5y＝12，x＝4，
x＝3时，12－5y＝12－15，无解

x4
所以方程的解为：


y0


x4
【答案】


y0


【例 3】 求
7x19y213
的所有正整数解．

【考点】不定方程
【解析】 按照顺序逻辑讨论，从y值讨论，由y=1开始，当y=2时，x=25，当y=9时，x=6.
【答案】x=25，y=2
X=6，y=9


【巩固】 求
6x22y90
的自然数解

【考点】不定方程
【解析】 按照顺序逻辑思维先考虑y的取值，当y=0时，x=15，当y=3时，x=4.
【答案】x=15，y=0
X=4，y=3


二、 利用余数性质解不定方程
【例 4】 求方程3x＋5y＝31的整数解

【考点】不定方程
【解析】 方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝
要使方程有整数解
1y
必须为整数．
3
1y
＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2
3
1y
＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5
3
1y
＝10－16＋3无解
3
315y
1y
，即 x＝10－2y＋，
3
3取y＝2，得x＝10－2y＋
当y＝5，得x＝10－2y＋
当y＝8，得x＝10－2 y＋

x7

x2
,

所以方程的解为：

y2y5

方法二：利用余数的性质
3x是3的倍 数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这
个情况用余数的和与乘积性质 进行判定为：
取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）
y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）
y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）
y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）
y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）
当y＞6时，结果超过31，不符合题意。 
x7

x2
,

所以方程的解为：
< br>
y2

y5

x7

x2,

【答案】


y2y5



【巩固】 解方程
7x4y89
，（其中x、y均为正整数）

【考点】不定方程
【解析】 方法一：4y是4的倍数，和89除以4余1，所以 7x除以4余1（7÷4≡3），
7x4y89
，
可以看成3x除以4余1，根据 这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）
x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）
x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）
x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意）
x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）
x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）
x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）
x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意）
x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）
x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）
x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）
x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意）
x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）

x3

x7< br>
x11
,

,

所以方程的解为：
< br>
y17y10y3

方法二：利用欧拉分离法，由原方程，
y
897x1x
222x

x1

44< br>，的取值


x3

x7

x1 1
,

,

y17y10

y3
为4的倍数即可，所以方程的解为：


x3

x7

x11
,

,

【答案】


y17y10y3



【例 5】 求方程
5x3y22
的所有正整数解．

【考点】不定方程
【解析】 因为能被5整除的数的末位数字是0或者5，所以3y的末尾数字应为2或者7，所
以当y=4时，x=2.
【答案】x=2，y=4.


三、 解不定方程组

1800a1200b800c16000
【例 6】 解方 程

（其中
a
、
b
、
c
均为正整数）
abc15


【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

9a6b4c80
【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得

，根据消元的思想将第二个

abc15
式子扩大
4
倍相减后为：
(9a6b4c)4(abc)80415
，整理后得
5a2b20
，根据等式性质，
2b
为偶数，
20
为偶数，所以
5a
为偶数，所以
a
为
偶数，当
a2
时，
522b20
，
b5
，所以
c8
，当
a4< br>时，
542b20
，

a2

b5
，所以无解。所以方程解为

b5


c8


a2

【答案】

b5


c8



1


5x3yz100
【例 7】 解不定方程

(其中x、y、z均为正整数)
3


xyz100

【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

15x9yz300
【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得

，根据消元思想与第二个

xyz100
式子相减得
14x 8y200
，根据等式的性质两边同时除以
2
得：
7x4y100< br>，
根据等式性质
4y
为
4
的倍数，
100
为
4
的倍数，所以
7y
为
4
的倍数，所以
y
为
4

x4

x8

x12

的倍数试值如下

y18,

y11,

y 4


z78

z81

z84
 

x4

x8

x12

【答案】

y18,

y11,

y4
< br>z78

z81

z84




课堂检测

【随练1】 解不定方程：
2x9y40
（其中x,y均为正整数）

【考点】不定方程
【解析】 方法一：2x是偶数，要想和为40（偶数），9y也为偶数， 即y为偶数，也可以化
简方程
2x9y40
，
x

x 11

x2
,



y2y4
 

x11

x2
,

【答案】
< br>

y2

y4
409xy
205y< br>知道y为偶数，所以方程解为：
22


【随练2】 求不定方程
7x11y1288
的正整数解有多少组？

【考点】不定方程
【解析】 本题无论
x
或是
y
，情况都 较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，
所以
11y
也是7的倍数， 则
y
是7的倍数．

设
y7z
，原方程可变为x11z184
，
z
可以为1，2，3，……16．由于每一个
z< br>的
值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．
【答案】16组


家庭作业

【作业1】 求
2x3y7z34
的正整数解．

【考点】不定方程
【解析】 本题按照逻辑顺序思维，先确定z的值再讨论x与y的值
【答案】略


【作业2】 求x+2y+5z=18的自然数解

【考点】不定方程
【解析】 本题按照逻辑顺序思维，先讨论z的取值，因为5z的值变化较大
【答案】z分别等于0、1、2.共三组解


教学反馈

学生对本次课的评价

○特别满意 ○满意 ○一般

家长意见及建议

家长签字：

分数、百分数应用题（一）

知识框架

一、 知识点概述：
分数应用题是研究数量之间份数关系的典 型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续
和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这 类问题时，分析中数量之间的关
系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．
关键 ：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是
标准量．也称为：单位 “1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对
应的百分率，以及对应量三者的关 系
例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．
1
（2）甲比乙多，乙比甲少几分之几？
8
19
191
方 法一：可设乙为单位“
1
”，则甲为
1
，因此乙比甲少
.
88
889
方法二：可设乙为
8
份，则甲为
9份，因此乙比甲少
19
1
.
9
二、 怎样找准分数应用题中单位“1”
（一）、部分数和总数
在同一整体中，部分数和 总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则
作为标准量，那么总数就是单位“1”。
例如：
我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，
世界人口就是单位“1”。
解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
（二）、两种数量比较
分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有 的则没有
“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的
关 键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），
解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看
“占”谁的，“相当于”谁 的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”
后面的数量——谁就是单位“！”。
（三）、原数量与现数量
有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也 不是部分数和总数的
关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类 似
带“比”的文字，然后在分析。
例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。
完善后：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的
水是单位“1”
冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →
原来的冰是单位“1”
解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析

重难点

（1） 寻找单位“1”。
（2） 理解量率对应。
（3） 抓住不变量。

例题精讲

【例 1】 一桶油第一次用去
1
，第二次 比第一次多用去20千克，还剩下22千克。原来这
5
桶油有多少千克？





【巩固】 一堆煤，第一次用去这堆煤的20%，第二次用去290千 克，这时剩下的煤比原来这

堆煤的一半还多10千克，求原来这堆煤共有多少千克？




【例 2】 缝纫机厂女职工占全厂职工人数的
多少人？





【巩固】 菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的

7
，比男职 工少144人，缝纫机厂共有职工
20
1
2
，第二天卖出余下的，
3
5
这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？





【例 3】 男生人数是女生人数的





【巩固】 兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的
4
，男生人数是学生总人数的几分之几？
5
4
，若弟给兄4元，则弟的钱
5
数是兄的

2
，求兄弟两人原来各有多少元？
3

【例 4】 甲是乙的




【巩固】 某工 厂计划一月份生产一批零件，由于改进生产工艺，结果上半月生产了计划的
24
，乙是丙的，甲 是丙的的几分之几？
35
31
，下半月比上半月多生产了，这样全月实际生产了19 80个零件，一月份计划
55
生产多少个？





【例 5】 甲的





【巩固】 五（2）班有学生54人，男生人数的75%和女生人数的80%都参加了课外兴趣小组，
而未参加课外 兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班男、女生各有多少人？




43
等于乙的，甲是乙的几分之几？
57

【例 6】 两种糖放在一起，其中软糖占
9
，再放入16块硬糖以后，软糖占两种糖 总数的
20
1
，求软糖有多少块？
4









【巩固】 小明看一本课外读物，读 了几天后，已读的页数是剩下页数的
1
，后来他又读了
8
20页，这时已读的 页数是剩下页数的





1
，这本课外读物共有多少页？
6
【例 7】 人合买一台彩电，老大出的 钱是其他两人出钱总数的
1
，老二出的钱是其他两人
2
出钱总数的





1
，老三比老二多出400元。问这台彩电多少钱？
3

【巩固】 条公路修了1000米后，剩下部分比全长的





【例 8】 两班共有96人，选出甲班人数的
3
少200米，这条公路全长多少米？
5
1
1
和乙班人数的，组成22人的数学兴趣小组，
5
4
问甲、乙两班 原来各有多少人？









【巩固】 某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一部分后每本 减价10元出
售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的
这种挂历共获利 润2870元。书店共售出这种挂历多少本？





【例 9】 某工厂第一车间人数比第二车间的
2
。书店售完
3
4< br>多16人，如果从第二车间调40人到第一车
5
间，这时两个车间的人数正好相等，原来 两个车间各有多少人？

【巩固】 老师买来一些本子和铅笔作奖品，已知本子本数与铅笔支数的比是4∶3，每位竞
赛 获奖的同学奖8本本子和5支铅笔，奖了7位同学后，剩下的本子本数与铅笔支
数的比是3∶4，老师买 来本子、铅笔各多少？





【例 10】 某区举行小学生春季运动会，其中某校参加的人数占运动员总人数的
1
，若
15
这个学校再去10名运动员，则该校人数占运动员总人数的
运动员多少人？这个学校原来 有多少人参加运动会？





2
，这次运动会共有
23
【巩固】 甲、乙、丙三人合作生产一批机器零 件，甲生产的零件数量的一半与乙生产的零
件的
3
相等，又等于丙生产零件数量的四分 之三，已知乙比丙多生产50个零件，
5
求这批零件共有多少个。


课堂检测

【随练1】 京新小学六年级有两个班共有学生90人，期末两个班共选出三好学生14人，其