【例题1】 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横 行三个数的和与竖行
三个数的和都是21。

【思路导航】先 把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A+B+C+D+E=35，
A+ E+B+C+E+D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=42-35=7，即中间填7。 然后再根据5+9=6+8便可把五个数填进方格，如图
b。
练习1：
1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。
3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

【例题2】 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。


【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1 +2+3+……+10+a+b=30×2.即
55+a+b=60，a+b=5。在1——10这十个 数中1+4=5，2+3=5。
当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是(2.6，8 ，9)和(3.5，7，10);当a和b是2和3
时，每个大圆上另外四个数分别为(1.5，9，1 0)和(4，6，7，8)。
练习2：
1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。
2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对 角线
四格内四个数的和都是18。


【例题3】 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

【思路导航】设中间三个圆内的数是a、b、 c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，
根据题意可知：1+2+3+4+5+6+ (a+b+c)除以3没有余数。1+2+3+4+5+6=21.21÷3=7没有余数，那么
a+b +c的和除以3也应该没有余数。在1——6六个数中，只有4+5+6的和最大，且除以3没有余数，因
此a、b、c分别为4、5、6。(1+2+3+4+5+6+4+5+6)÷3=12.所以有下面的填法：
练习3：
1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。
3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。

【例题4】 将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。


【思路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么， 三条线段上的总和是
1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a，由于三条线段上的和相等，所以 (28+2a)除以3应该没有余数。由于
28÷3=9……1.那么2a除以3应该余2.因此，a可 以为1、4或7。当a=1时，(28+2×1)÷3-1=9，即每条
线段上其他两数的和是9，因此 ，有这样的填法。
练习4：
1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。
3.将1 ——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个
数的和都 等于18。

【例题5】 如下图(a)四个小三角形的顶点处有 六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它
们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的 和相等。问这六个质数的积是多少?

【 思路导航】设每个小三角形三个顶点处○内数的和为X。因为中间的小三角形顶点处的数在求和时
都用了 三次，所以，四个小三角形顶点处数的总和是4X=20+2X，解方程得X=10。由此可知，每个小三
角形顶点处的三个质数的和是10，这三个质数只能是2、3、5。因此这6个质数的积是2×2×3×3×5 ×5=900。
如图(b)。
练习5：
1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。
2. 将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，
并且 尽可能大。这五个数之和最大是多少?
3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。


第11讲 周期问题
一、知识要点
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间
叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问
题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应 ，
就能找到解题关键。
二、精讲精练
【例题1】 流水线上生产小木球涂 色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1
个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2 黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色?
【思路导航】根据题意可知，小木球 涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5+4+3+2+1=15
个球为一个周期，不断循环 。因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第
6个是黄的， 所以第2001个球涂黄色。
练习1：
1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色?
2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色?
3.17=0.7……，小数点后面第100个数字是多少?
【例题2】 有47盏灯，按二盏红 灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的?
三种颜色的灯各占总数的几分之几?
【思路导航】(1)我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5(组) ……2(盏)，
余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯;
(2 )由于47÷9=5(组)……2(盏)，所以红灯共有2×5+2=12(盏)，占总数的1247;蓝灯共有 4×5=20(盏)，
占总数的2047;黄灯共有3×5=15(盏)，占总数的1547。
练习2：
1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几?

2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第 2000颗珠子是什么颜色
的?其中，黑珠共有多少颗?
3.在100米长的跑道两侧每 隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生
的规律站立着。这些同学中共有 多少个女生?
【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几?
【思路导航】一个星期是 7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，
再过7天即10月8日也是 星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日
就用(8-1)÷7= 1.没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过
92 天，92÷7=13……1.余1天就是从星期一往后数一天，即星期二。
练习3：
1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几?
2.如果今天是星期五，再过80天是星期几?
3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几?
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …
【例题4】 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母
为代表?

【思路导航】这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是 这一列数中的第1001个数，
1001÷8=125……1.即2001是这列数中第126组的第一 个数，所以它所在的那一列是以字母B为代表的。
练习4：
1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列?
2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列?

3.
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为(小热)，第二组为(学爱)。求第460组是什么?
【例题5】 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几?

【思路导航】
从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5 、2、0不断重复出现。我们可以
用100除以6，观察余数就知道所求问题了。100÷6=16…… 4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。
练习5：
1.444……4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几?
2.444……4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几?
3.111……1[1000个1]÷7当商是整数时，余数是几?
第12讲 盈亏问题
一、知识要点
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种 标准分，则分配
后会有剩余(盈);按另一种标准分，分配后又会有不足(亏)，求物品的数量和分配对 象的数量。例如：把一
代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块;如果每人分4块，少8块。小 朋友有多少人?饼干有多
少块?这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：(盈+亏)÷两次所分之差=人数;还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为
四类：1.两盈：两次分配都有多余;2.两不足：两次分配都不够;3.盈适足：一次分配有余，一次分配够 分;4，
不足适足：一次分配不够，一次分配正好。

一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：
1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数;
2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数;
3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。
二、精讲精练
【例题1】 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生 为总数的一半;如
果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生?
【思路导航】(1)由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多 2人;(2)“少
一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2+2=4人，这时男生为女生人数的 一半，即现在女生有
4×2=8人。原来女生有8-1=7人，男生有7-2=5人，共有7+5=12 人。
练习1：1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8 盒，两种粉
笔就同样多;如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔 各多少盒?
2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重; 苦甲、乙两堆各运走
5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一共有多少吨?
3. 五(1)班的优秀学生中，苦增加2名男生，减少1名女生，则男、女生人数同样多;苦减少1名男生，
增加1名女生，则男生是女生的一半。这些优秀学生中男、女生各多少人?
【例题2】 幼儿园老 师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少4个;如果每个小朋友只发
给4个，则老师自己也能 留下4个。有多少个小朋友?共有多少个苹果?
【思路导航】如果平均分给小朋友，则少4个，说 明小朋友人数大于4;如果每个小朋友只发给4个，
则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿 4+4=8个苹果。因为小朋友人数大于4，所以，一定
是每人少拿1个，有8÷1=8个小朋友，有8 ×4+4=36个苹果。
练习2：1.给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个;如果每人分5 个，则少6个。有多少个小朋友?
有多少个梨?
2.老把一些铅笔奖给三好学生。每人5 支则多4支，每人7支则少4支。老师有多少支铅笔?奖给多少
个三好学生?
3.有一个 班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人;如果减少一条船，正好
每条船上坐 9人。这个班一共有多少个同学?
【例题3】 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班 的学生每人5个余10个;如果分给小班
的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人，这筐苹果有多 少个?
【思路导航】如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人5个就多余 3×5+10=25
个。由于两班人数相等，小班每人多分3个就要多分(25+2)个苹果，用(25 +2)÷(8-5)就能得到小班同学的
人数是9人，再用9×8-2就求出了这筐苹果有多少个。
练习3：1.一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次;如果每人搬5块，就有两人没有 砖可
搬。这些学生有多少人?这批砖有多少块?
2.老师给幼儿园小朋友分糖，每人3块 还多10块;如果减少2个小朋友再分，每人4块还多7块。原
来有多少个小朋友?有多少块糖?
3.筑路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。实际每天多筑80米，这样，比原计划提前3天 完成
了筑路任务。要筑的路有多长?
【例题4】 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班 的小朋友，平均每人分得6块;如果只分给中班的
小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的 小朋友，平均每人分得多少块?
【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6 块，如果只分给中班的小朋友，平
均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍。 因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每
位小朋友可多分到6×1.5=9块，一共可分到6+9=15块 饼干。
练习4：1.老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借给甲组的女同学，每 人可借6本。
如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本?
2.甲、乙两组同学做红花， 每人做8朵，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学

单独做，每人要 多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵?
3.老师把一袋糖分给小朋友。如 果只分给小班，每人可得12块;如果只分给中班和小班，每人只能分
到4块。如果这袋糖只分给中班， 每人可分到几块?
【例题5】 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学;如果 增加一条船，每条船正
好坐6个同学。这个班有多少个同学?
【思路导航】根据题意可知 ：每船坐9人，就能减少一条船，也就是少9个同学;每船坐6人，就要
增加一条船，也就是多出6个同 学。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9+6=15人，15里面包含5
个(9-6)，说明有5条 船。知道了有5条船，就可以求全班人数：9×(5-1)=36人。
练习5：1.老师把一篮苹 果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个;如果增加一
个同学，正好每人分得4个 。这篮苹果一共有多少个?
2.五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人;如果 减少一只船，正好每只船上价8人。
五年级共有多少人?
3.一个旅游团去旅馆住宿，6人一间，多2个房间;若4人一间又少2个房间。旅游团共有多少人?

第13讲 长方体和正方体(一)
一、知识要点
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：
1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;
2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;
3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练
【例题1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?(单
位：厘米)

【思路导航】(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体 积是10×4×2=80(立
方厘米)，右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米 )，整个零件的体积是80×2=160(立方厘米);(2)
求这个零件的表面积，看起来比较复杂， 其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;
朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个 面的面积相等。因此，此零件的表面积就是
(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米) 。想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗?
练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘 米的长方体，被切去一块后(如图)，剩下部分的表面积
和体积各是多少?
2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体(如图 )，
求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?

【例题2】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔(如图)，你能算出它的体积和表面积

吗?(单位：厘米)

【思路导航】(1)先求出长 方体的体积，8×5×6=240(立方厘米)，由于挖去了一个孔，所以体积减少
了2×2×2=8( 立方厘米)，这个零件的体积是240-8=232(立方厘米);
(2)长方体完整的表面积是 (8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米)，但由于挖去了一个孔，它的表面积减
少了一个 (2×2)平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个(2×2)平方厘米的面，因此，这个零件的表面积
是236+2×2×4=252(平方厘米)。
练习2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。(单位：厘米)。
2.有一个棱长 是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的
体积和表面积各是 多少?
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图)，那么得到的物体的体积和表面积各是多少?

【例题3】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体， 拼成的长方体的表面积比原来的长方体
的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米 ?

【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方 体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形
的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5(平方 厘米)。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面
积是12.5×6=75(平方厘米)。
练习3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长 方
体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米， 那么
它的体积是多少立方厘米?
2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材 ，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的
表面积减少了多少平方厘米?
3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米?
【例题4】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长
方体的表面积。

【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长 、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体

的长、宽、高，显然，a=4h，即h= 14a,2a=3b即b=23a，砖的体积是a*23a*14a=16a3。由16a3=288
可 知，a=12.b=23*12=8,h=14*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8+3=11厘米，表面积就不难求了。
练习4：1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体
的表面积是多少平方厘米?
2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。
3. 有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体?用
图画 出来。
【例题5】 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽 、高以厘为为
单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少?
【思路导航】长 方体的前面和上面的面积是长×宽+长×高=长×(宽+高)，由于此长方体的长、宽、高
用厘米为单位 的数都是质数，所以有209=11×19=11×(17+2)，即长、宽、高分别为11、17、2厘米。< br>知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习5：1.有一个长方体，它的前面和上面 的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这
个长方体的体积是多少?
2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。
3.一个长 方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米，
求正方体 体积。
第14讲 长方体和正方体(二)
一、知识要点
在长方体、正方 体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体;
把两个物体熔化后铸 成一个物体;把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1.将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗)，体积不变;
2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和;
3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
二、精讲精练
【例题1】 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，
宽32厘米，水 面高20厘米;乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，
使两箱水 面高度一样，现在水面高多少厘米?
【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可 以这样思考：把两个水箱并靠在一起，
水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×水面的高度。 这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：
40×32×20=25600(立方厘米)，再除以两只 水箱的底面积和：40×32+30×24=2000(平方厘米)，就能得到
后来水面的高度。
练习1：
1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着， 它长6分米、宽和高都是4
分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问 水面高多少?
2.有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高 10厘米。放进一个棱
长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米?
3.一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平 方分米的
钢筋，求这根据钢筋的长。
【例题2】 将表面积分别为54平方厘米、96平 方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大
正方体(不计损耗)，求这个大正方体的体积。
【思路导航】因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×(3×3)，所以这个正方体的棱 是3厘米。
用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×(4×4)，棱长是4厘米;150=6 ×(5×5)，棱长是5厘米。知
道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们 的体积和。

练习2：
1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是 24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁
熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积 。
2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知 这个长方体
的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。
3.把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少平方分米?
【例题3】 有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米?
【思路导航】铁块的体积是2 ×2×2=8(立方分米)，把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空间，
因此，水上升的体积也就是 8立方分米，用这个体积除以底面积(5×4)就能得到水上升的高度了。
练习3：
1.有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块假山石浸入水中后，水面上升0.8分
米。这块假山石的体积是多少立方分米?
2.有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水 。有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的
长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溶出多少 立方厘米的水?
3.有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁 后，水面下降了0.5
厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米?
【例题4】 有 一个长方体容器(如下图)，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
如果把这个容 器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米?

【 思路导航】首先求出水的体积：30×20×6=3600(立方厘米)。当容器竖起来以后，水流动了，但体< br>积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就 知道
现在水的深度了。
练习4：
1.有两个长方体水缸，甲缸长3分米， 宽和高都是2分米;乙缸长4分米、宽2分米，里面的水深1.5
分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在 甲缸里深几分米?
2.有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截 面是一个长4厘米、宽
2厘米的长方形，求它的长。
3.像例题中所说，如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少厘米?
【例题5】 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体
的体积是多少立方厘米?
【思路导航】长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高 得来的。因此，15×10×6=(长
×宽×高)×(长×宽×高)，而15×10×6=900=30 ×30。所以，这个长方体的体积是30立方厘米。
练习5：
1.一个长方体，不 同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，这个长方体的
体积是多少立方厘米 ?
2.一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且 长、宽、高
都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米?
3.一个长方体的体积是48 立方厘米，并且长、宽、高是三个连续的偶数。这个长方体的表面积是多
少平方厘米?
第15讲 长方体和正方体(三)
一、知识要点

解答有关长方体和 正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔
细分析每一步操作后表 面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直
方向切割成两部分，新 增加的表面积等于切面面积的两倍。
二、精讲精练
【例题1】 一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增
加多少厘米?



【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯 成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的线共锯6次，每
锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面 ，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积。因此，锯好后
表面积增加432平方厘米。
练习1：
1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的 表面积比原来所有的小正方
体的表面积之和少多少平方厘米?
2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米?
3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，没有涂颜色的面 积
是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米?
【例题2】 有一个正方体 木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木
块原来的表面积是多少平方厘 米?
【思路导航】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是24÷2=12平 方厘米，而
正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米。
练习2：
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米?
2. 有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加
多少平 方分米?
3.有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现把三块 积木拱成一个
大的长方体，怎样搭表面积最大?最大是多少平方厘米?
【例题3】 有一 个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体，这些小正
方体的表面积的和是 多少?



想一想：在切的过程中，每切 一切，就会增加两个3×3平方分米的面，你能用这种思路来计算所求问
题吗?
练习3：
1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体?如果要摆一 个棱
长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体?
2.有一个长方体，长10厘米、宽6 厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共
能锯多少个?这些小正方体的表面积和是 多少?

3.把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米?
【例题4】 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：



(1)三个面涂有红色的有几个?
(2)二个面涂有红色的有几个?
(3)一个面涂有红色的有几个?
(4)六个面都没有涂色的有几个?
【思路导航】按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
(1)三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个;
(2)二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个;
(3)一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个;
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27-(8+12+6)=1个。
练习4：
1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，这些小正方 体
中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个?
2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被
涂 上红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个?
3.把1立方米的正方体木块 的表面涂上颜色，然后切成1立方分米的小正方体，在这些小正方体中，
六个面都没有涂色的有多少个?
【例题5】 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体积相等 的
小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米?
【思路导航】这个长方体 原来的表面积是(6×5+6×4+5×4)×2=148平方厘米，每切割一刀，增加2
个面。切成三 个体积相等的小长方体要切2刀，一共增加2×2=4个面。要求表面积和最大，应该增加4
个6×5= 30平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大是148+6×5×4=268平方厘米。
练习5：
1.有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米、宽5厘米、高3厘米。要把它们粘成 一个大的长方
体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米?
2. 把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是72平方厘米，拼成
的大正 方体的表面积是多少平方厘米?
3.把一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米的长方体， 截成两个长方体，使这两个长方体的
表面积的和最大，求它们的表面积和是多少平方厘米?
第16讲 倍数问题(一)
一、知识要点
倍数问题是数学竞赛中的重要内 容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，
求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数(通常选用较小的数)作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与
这 个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。
二、精讲精练
【例题1】 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是 第二
根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米?
【思路导航】由于第二根比第一根多剪去2 6-18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多(3-1)

倍。因此，8÷(3 -1)=4(厘米)。就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4+26=30厘米。
练习1：
1.两个数的和是682.其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两 个加数
各是多少?
2.两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩 下部分第二根是第一根的3倍。两根
绳子原来各长多少米?
3.一筐苹果和一筐梨的个数 相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水
果一共有多少个?
【例题2】 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有
图书多少本?
【思路导航】甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18本，则甲 组仍
是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18+6就正好对应着后 来乙组的
(5-3)倍。因此，后来乙组有图书(18+6)÷(5-3)=12本，乙组原来有12+ 6=18本，甲组原来有18×3=54
本。
练习2：
1.原来小明的画 片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人
各有多少张画片?
2.一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数 正
好是下层的5倍。原来下层有多少本书?
3.幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃 掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5
倍。原来买来苹果和梨共多少个?
【例题3】 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，
结 果梨正好分完，苹果还剩下16个。大班共有多少个同学?
【思路导航】因为苹果是梨的2倍，每 组分3个梨和3×2=6个苹果最后就一起分完。可每组分4个
苹果，少分6-4=2个，所以有8组同 学，全班有7×8=56人。
练习3：
1.高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗 100棵。如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，
杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。两种 树苗原来各有多少棵?
2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如果每小组分到 杉树6棵，杨树8棵，那么，
杉树正好分完，杨树还剩20棵。两种树原来各的多少棵?
3.同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2个桔子和4个苹
果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。同学们把水果分给了几位老人?
【例题4】 有两 筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多;如果从乙筐拿出13个
放到甲筐，甲筐的 桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子?
【思路导航】根据“从甲筐拿出8个放进乙 筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多8×2=16
个橘子;如果从乙筐拿出13个放到甲 筐，这时，甲筐就比乙筐多16+13×2=42个。因此，乙筐里还有
42÷(2-1)=42个，原 来乙筐里有42+13=55个，甲筐里原来有55+16=71个。
练习4：
1 .甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多;若乙仓取14吨放入甲仓，
则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨?
2.兄弟两人原有同样多的人民币，后 来哥哥买了5本书，平均每本8.4元;弟弟买了3支笔，每支笔
1.2元，现在弟弟的钱是哥哥的3倍 。兄弟两人原来各有多少元?
3.学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、 女生人数同样多;如果参加的男生名
额给4个女生，则男生是女生人数的一半。原定夏令营中男、女生各 多少人?
【例题5】 甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运 出30吨。若干
天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙粮库原来各有粮食多少吨?

【思路导航】因为甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，如果每天乙粮库运30吨，甲粮库 运出30×2=60吨，
两粮库的粮食就会同时运完。而实际上甲粮库每天只运出40吨，所以，每天就 少运60-40=20吨。80吨
里包含有4个20吨，也就是已经运了4天，因此，甲粮库原有粮食4 0×4+80=240吨，乙粮库原有
240÷2=120吨。
练习5：
1.果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24棵桃树和10棵
梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下24棵。果园里有桃树和梨树各多少棵?
2.小朋 友带着一篮桔子和苹果送给敬老院的老人们，每个老人分各3个苹果和5个桔子，最后苹果分
完，篮子里 还剩下7个桔子。如果原来桔子的个数是苹果的2倍，那么，分给了几个老人?原来有多少个
苹果?
3.甲、乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元钱时，两人余下的 钱正
好相等。求甲、乙原来各存有多少钱?
第17讲 倍数问题(二)
一、知识要点
解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找出 其它几个数与这
个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准数。由于倍数应用题中数量关系的变化，要 求同学们在解题
过程中注意解题技巧，灵活解题。
和倍问题的数量关系是：
和数÷(倍数+1)=较小数 较小数×倍数=较大数
差倍问题的数量关系是： 差数÷(倍数-1)=较小数
较小数×倍数=较大数
二、精讲精练
【例题1】，养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡只数就是公鸡
的 4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡?
【思路导航】养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公 鸡增加60只，母鸡增加60×6=360只，
那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。可实际母鸡只增 加了60只，比360只少300只。因此，现在母
鸡只数只有公鸡的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡 的只数是300÷2=150只，原来有公鸡150-60=90只，
一共养了90×(1+6)=63 0只鸡。
练习1：
1.今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明多少岁?
2.原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的2倍。食堂
里 原来存有大米、面粉各多少千克?
3.饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔， 买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑
兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只?
【例题2】 有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的2
倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克?
【思路导航】如果丙车多 装200千克，就和乙车装的货物同样多，这样三辆车装的总重量就是
1800+200=2000千克 。再把2000千克平均分成4份，就得到乙车上装的货物是500千克，甲车上装
500×2=100 0千克，丙车上装有500-200=300千克。
练习2：
1.三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱。三堆货物各多少箱?
2.甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数各是多少。
3.把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5本，中层放的本数是上层的2倍多
1本。问：上、中、下三层各放书多少本?
【例题3】 甲、乙两个书架，已知甲书架有书600 本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之
三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。乙书 架原来有书多少本?

【思路导航】
甲借出后剩下：600*[1-13]=400本 那么乙借出后是：[400-150]2=125本
即乙原来是：125[1-34]=500本
列算式为
[(600-600×13)-150]÷2×4
=[400-150]÷2×4
=250÷2×4
=125×4
=500(本)
答：乙书架原有500本书
练习3：
1.某校有男 生630人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，剩下的男生人
数是女生人数 的2倍。这个学校共有学生多少人?
2.食堂存有同样重量的大米和面粉，吃大米的四分之三和6 0千克面粉后，剩下的面粉的重量地大米
的3倍。原来存有大米和面粉各多少千克?
3. 有两堆水泥，甲堆有4.5吨，已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，乙堆有水泥多
少吨 ?
【例题4】 A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A站向B站开出汽车1 2辆，B
站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍?
思路：每小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，实际上就是每隔1小时，A
站就减少4辆，而B站就增加4辆。要使B站的公共汽车辆数是A站的3倍，A站只能有
(26 +30)÷(1+3)=14(辆)则必须减少12辆。因为每小时减少4辆，则需3小时。
练习4：
1.甲有邮票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多 少次后，甲的邮
票张数是乙的2倍?
2.甲仓存有大米650袋，乙仓存有大米400袋 。每天从甲、乙仓各运出50袋，多少天后甲仓的大米
袋数是乙仓的6倍?
3.有两杯水 ，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升，每次往两只杯子中各倒进8毫升水，倒几次
后，一只杯中 的水是另一杯的2倍?
【例题5】 甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这三个数。
设丙数为X，则乙数为3X-2.甲数为2(3X-2)+4=6X
X+3X-2+6X=78 10X=80
X=8 3X-2=3*8-2=22 6X=6*8=48
所以甲数是48;乙数是22;丙数是8。
练习5：
1.有三个小组，甲组的人数 比乙组的2倍多6人，乙组的人数是丙组的2倍。三个小组一共有90人，
每个小组各有多少人?
2.某工厂共有工人560人，其中男工比女工的3倍少40人，男工和女工各有多少人?
3.三种水果共132个，已知苹果的个数比梨的3倍少6个，梨的个数比桔子的3倍多2个。三种 水果
各有多少个?
第18讲 组合图形面积(一)
一、知识要点
组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，
二是 重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形
的面 积，应该注意以下几点：
1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念;

2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的;
3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题;
4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
二、精讲精练
【例题1】 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米?



【思路导航】 由于此三角形中只知道最长的 边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它
的面积。我们可以假设有4个这样的三角形，且 拼成了下图正方形。显然，这个正方形的面积是12×12.
那么，一个三角形的面积就是12×12÷ 4=36平方厘米。
练习1：1.求四边形ABCD的面积。(单位：厘米)
2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。



3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米 ，那么面积就增加4.5平
方厘米。求原来梯形的面积。
【例题2】 正图正方形中套着 一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方
形的四条边各分成两段，其中长的 一段是短的2倍。求中间长方形的面积。



【思路导航】图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正
方形 。这两个正方形的边长分别是12÷(1+2)=4(厘米)和4×2=8(厘米)。中间长方形的面积只要用总 面积
减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。即：12×12-(4×4+8×8)=64(平方 厘米)
练习2：
1.(如下图)已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2.正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
3.求下图(上右图)长方形ABCD的面积(单位：厘米)。



【例题3】 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是 7平方厘米。三角形

CDH的面积是多少平方厘米?



【思路导航】设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。
(1)梯形EFAD的面积是(a+b)×b÷2.三角形EFC的面积也是(a+b)×b÷2。所以，两者的 面积相等。
(2)因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积- 梯形EFHD的面积，而三角形CDH的面积=三角形EFC
的面积- 梯形EFHD的面积，所以，三角形CDH的面积与三角形AFH的面积相等，也是7平方厘米。
练习3：
1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。(单位：厘米)
3.下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米?



【例题4】 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米?



【思路导航】要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度。连接FC后就 能得到一个三角形EFC，
用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积 ：8×20÷2-8×8÷2=48平方厘米。
FD=48×2÷20=4.8厘米，所求梯形的面积就 是(4.8+8)×8÷2=51.2平方厘米。
练习4：
1.如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2.在一 个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少?(单位：
厘米)
3.图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。 求平行四边
形的面积。



【例题5】 图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。

【思路导航】因为三角形 EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，所以，三角形BCE的面积
比长方形ABCD的面积 大6平方厘米。三角形BCE的面积是6×4+6=30平方厘米，EC的长则是30×2÷6=10
厘 米。因此，ED的长是10-4=6厘米。
练习5：
1.如图，平行四边形BCE F中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH
的面积大8平方厘 米。求AH长多少厘米?
2.图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
3.正方形 的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分B的面积是7平方厘米，求阴影部分A和C的和是多
少平方厘 米?















第19讲 组合图形的面积(二)
一、知识要点
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1.两个三角形等底、等高，其面积相等;
2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系;
3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
二、精讲精练
【例题1】 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。(单位：厘米)




【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面 积即得所求面积。其实，
只要连接AC，显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样， 我们把两个阴影部分合成了一
个三角形ABC。面积是：6×3÷2=9平方厘米。
练习1：
1.求下图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米)
3.下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。

【例题2】 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC(阴影部分)的面积。



【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC 的高是三角形BCD高的15÷10=1.5
倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是 三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是：
7.5÷(1+1.5)×1.5=45。
练习2：
1.下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积 相等，如果AB=9厘
米，FB=FE，求三角形AFE的面积。
2.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
3.图中三角形ABC 的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积(ADFC不
是正方形)。



【例题3】 两条对角线把梯形ABC D分割成四个三角形。已知两个三角形的面积(如图所示)，求另两
个三角形的面积各是多少?(单位： 平方厘米)



【思路导航】1.因为三角形AB D与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积
和三角形DOC的面积相等，也 是6平方厘米。
2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD 的2倍，即三角形ABO
的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方 厘米。
练习3：
1.如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
2.下图的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面积是三角 形BDE
面积的多少倍?
3.下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯 形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD

的面积大多少平方厘米?



【例题4】 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的 面积是20平方厘米，求三角形ABC
的面积。



【思路导航】(1)因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，是 20×(1+3)=80
平方厘为;
(2)又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的 面积是三角形ADC面积的一半，是80÷2=40平方厘米。
因此，三角形ABC的面积是80+40 =120平方厘主。
练习4：
1.把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“>”、“<”或“=”。
甲的面积( )乙的面积。
2.如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三 角形的面积是108平方
厘米，求三角形CDE的面积。
3.下图中，BD=2厘米，D E=4厘米，EC=2厘米，F是AE的中点，三角形ABC的BC边上的高是4
厘米，阴影面积是多少 平方厘米?

【例题5】 边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的多少倍?





【思路导航】题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积，我们可以用边长 是3厘米的正三角形拼
一个边长是9厘米的正三角形，从而看出它们之间的倍数关系。从下图中可以看出 ：边长9厘米的正三角
形是边长3厘米的正三角形面积的9倍。
练习5：
1.边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍?

2 .一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是三角形底长的2倍。
这个 梯形的面积是三角形面积的多少倍?
3.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知 等腰直角三角形的面积是36平方厘米，
两个正方形的面积分别是多少?


第20讲 数字趣味题
一、知识要点
0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9是我们最常见的国际通用的阿拉伯数字(或称为数码)。数是由十个
数字中的一个或 几个根据位值原则排列起来，表示事物的多少或次序。
数字和数是两个不同的概念，但它们之间有 密切的联系。这里所讲的数字问题是研究一个若干位数与
其他各位数字之间的关系。数字问题不仅是研究 一个若干位数与其他各位数字之间的关系。数字问题不仅
有一定规律，而且还非常有趣。
解答数字问题可采用下面的方法：
1.根据已知条件，分析数或数字的特点，寻找其中的规律;
2.将各种可能一一列举，排除不符合题意的部分，从中找出符合题意的结论;
3.找出数中数字之间的相差关系和倍数关系，转化成“和倍”、“差倍”等问题。
4，条件复杂时，可将题中条件用文字式、竖式表示，然后借助文字式、竖式进行分析推理。
二、精讲精练
【例题1】 一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位 数字是千位数字的
3倍。这个四位数是多少?
【思路导航】由于个位数字是千位数字的3 倍，而百位数字和十位上数字又是个位上数字的3倍，所
以，千位上的数字只能是1.否则，百位和十位 上的数字将大于9。因此，这个四位数的千位是1.个位是3.
而百位和十位上都是9，即1993。
练习1：
1.有一个四位数，千位和个位上的数字相同，且百位上的数字是十位上的 3倍，十位上数字是个位上
的3倍。这个四位数是多少?
2.一个三位数的各位数字之和 是17，其中十位数字比个位数字大1。如果把这个三位数的百位数字与
个位数字对调，得到的新三位数 比原数大198，求原数。
3.有一个三位数，各位数字的和是17，其中百位数字比个位数字的5倍还多2.请写出这个三位数。
【例题2】 把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得的和正好是原 来四
位数的35倍。原来的四位数是多少?
【思路导航】把数字6写到一个四位数的左边 ，得到的数就比原来的四位数增加了60000，再加上8000，
一共增加了68000。这时所得的 数是原数的35倍，比原数增加了34倍，所以原数是68000÷34=2000。
练习2：
1.有一个三位数，如果把数字4写在它的前面可得到一个四位数，写在它的后面也能得到一个四位 数，
已知这两个四位数相差2889，求原来的四位数。
2.把数字8写在一个三位数的 前面得到一个四位数，这个四位数恰好是原三位数的21倍。原三位数
是多少?
3.有一 个三位数，它的个位数字是3.如果把3移到百位，其余两位依次改变，所得的新数与原数相差
71。求 原来的三位数。

【例题3】 有一个四位数，个位数字与千位数字对调，所得的数 不变。若个位与十位的数字对调，所
得的数与原数的和是5510。原四位数是多少?



【思路导航】根据已知条件，设原数为ABCA，则后来的数是ABAC，写成竖式：
(1)从千位看，A一定是2;
(2)从个位看，C一定是8;
(3)从百位看，B一定是7。
所以，原四位数是2782。
练习3：
1.有一个四位数，个位数字与百位数字的和是12.十位数字与千位数字的和是9。如果个位数字与百位
数字交换，所得新数比原数大396，原数是多少?
2.张家的门牌号码是一个三位数，这个三 位数的三个数字都不同，且三个数字的和是6，还是满足这
些条件的三位数中最大的一个数。请你写出这 个门牌号码。
3.一个两位数，十位的数字比个位数字少1.把这个两位数的个位与十位数字对调 ，所得新数与原数的
和是165。求原来的两位数。
【例题4】 一个六位数的末位数字 是7，如果把7移动到首位，其它五位数字顺序不动，新数就是原
来数的5倍。原来的六位数是多少?
【思路导航】用字母表示出未知的五位数，原数为ABCDE7，新数为7ABCDE。根据题意可 写出下面
的竖式，再从个位推算起。
(1)个位7×5=35，E是5;
(2)十位5×5+3=28，D是8;
(3)百位8×5+2=42.C是2;
(4)千位2×5+4=14，B是4;
(5)万位4×5+1=21.A是1。
原数是142857。
练习4：
1.如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000。原数是多少?
2.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至第一位，其余数字顺序不变，所得新六位数是原
数 的4倍。原六位数是多少?
3.有一个两位数的两个数字中间夹一个0，那么，所得的三位数比原数大6倍。求这个两位数。
【例题5】 某地区的邮政编码可用AABCCD表示，已知这六个数字的和是11.A与D的和乘以A等于B，D是最小的自然数。这个邮政编码是多少?
【思路导航】D是最小的自然数，即D是1. 要满足(A+1)×A=B和六个数字的和是11这两个条件，A
只能是2。则B=(2+1)×2=6 。A+A+B+D=2+2+6+1=11.C一定是0。因此，这个邮政编码是226001。
练习5：
1.一个三位数，个位上的数字是十位上数字的4倍，十位上的数字是百位上数字的2倍 。这个三位数
必定是多少?
2.有一个六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是 从小到大的三个连续自然数，这六个数字
的和恰好等于末尾的两位数。求这个六位数。
3.求各位上数字之和等于34的最小的四位数。