四川华新现代职业学院-北京清华附中

整数裂项与分数裂和


考试要求

（1） 能熟练运算常规裂和型题目；
（2） 复杂整数裂项运算；
（3） 分子隐蔽的裂和型运算。

知识结构

一、 复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法
是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差
与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减 前伸，差数除以N。N
取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按 照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加
正。对于小学生，这时 候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、 “裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abab abba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的 目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还
有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目 的。

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重难点

（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用
（2） 分子隐蔽的裂和型运算。

例题精讲

一、

【例 1】 计算：
13243546
整数裂项
99101

【考点】整数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】原式=

133599101


244698100


=

99101103135

6139810010 26

=
171650166600

=
338250

【答案】
338250
。

【巩固】计算：
355779979999101

【考点】整数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两 项分
别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。
原式=

357135579357
=

99 101103135



23


=
10298826

=
171647

【答案】
171647
。

【例 2】 计算
1016 22162228
991011039799101


23


707682768288

【考点】整数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
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【解析】原式=

7682 88944101622



64

=< br>2147376

【答案】
2147376
。
【巩固】14747107101310131697100103
【解析】原式=
(9710010310614710)12147

=
83263

【答案】
83263
。

【例 3】 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
【考点】整数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】
a
n
n n

n1

nn

原式=
11

122



233



989999



99100100


=
1223989999100
+< br>
12399100


=
99100101 3

1100

1002

=
3333005050

=
338350

【答案】
338350
。

【巩固】
333444797979

【考点】整数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式=
234345 787980

3479


=

797880811234

4

379

772

=
399297363157

=
39932893

【答案】
39932893
。

【例 4】 计算：
111222333999999100100100

【考点】整数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】
a
n
nnn

n1

n 

n1

n

原式=
12323 499100101

12100


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=
9910010 11024

1100

1002

=
25492400

【答案】
25492400
。

【巩固】
555666777656565

【解 析】原式=
456567646566

5665


=

64656667345 6

4

565

612

=
4600925

【答案】
4600925
。

【例 5】
1

12



12 3



1234



1 23100


【考点】整数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 原式=
1

12

2


13

3


14

4


1100

100
222

2

=
122334100101
2

=
100101102
6

=
171700

【答案】
171700
。

【 巩固】
3

36



369



36300


【考点】整数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式=
3


1

12



123
< br>

1234



12100



=
3


122334100101


2



=
3
2
100101102
1
3

=
515100

【答案】
515100
。

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二、 分数裂和

【例 6】 填空：
5
6

1
2


，
7
12

1
3


，
9
20

1
4




11
30

1131151
5


，< br>42

6


，
56

7



【考点】分数裂项 【难度】☆ 【题型】填空
【解析】
5113111511
6

2

3
；
12

3

4
；
20

4

5
；
30
5

6
；
42

6

7
；< br>56

7

8
。
【答案】
1
3；
1
4
；
1
5
；
1
6
；1
8
。

【巩固】计算：
1
5
6

7
12

9
20

1113151719
30

42

56

72

90

【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答 < br>【解析】原式=
1
233445
23

34
45

899
89

10
91 0

=
1
11111
3
2

3

4

4

1
5
11
8

9

1
9

1
10

=
1
1
2

1
10

=
3
5

【答案】
3
5
。

【例 7】
56
56

67
67
78
78

89910
89

910
【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】
566778899101111
56

6 7

78

89

910

5
6
(
6

7
)...(
1
9

1
10
)
1
5

1
10
3
10

【答案】
3
10


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【巩固】
36 5791113
5

7

6

12
20

30

42

【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】原式=
36233445 56673611111
5

7

23

3 4

45

56

67

5
7

2

3

3

4...
6

1
7
=
4

【答案】
4
。

【例 8】 计算：
1
3

3
4

2
5

5
7

7
8

9
20

10
21

1 1
24

19
35


【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】填空 < br>【解析】原式

1
3

3
4

2< br>5

5
7

7
8

1
4< br>
1
5

1
3

1
7
< br>1
3

1
8

2
5

1< br>7
111115

【答案】
5
。
【巩 固】

3

5

7

12

20

28

30

42

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 < br>【解析】原式

123
3

5

7

1
3

1
4

1
4

1112113
5

4

7

5

6

6

7




1

3

1
3

1
6

1

6





2

5

1
5

2

5





3

7

1
7

3

111

3
7





4

4

4



3
4

【答案】
3
3
4
。

【例 9】
1
2

1
3

1
3 0

7
31

41

51

11 9

120

123

124

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 < br>【解析】原式

1
2

1
3

1< br>30

1
31

1
41



1

3

1

17




1

7

1

17< br>




1

4

1< br>
30





1

3

1

41





11


4

31



11111111
2

3

3

7

4

3

4
2
7

【答案】
2
1
7
。

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【巩固】





3549

6

12

63
20
77
30

91
42

105
< br>56


1
3
8



1
8

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式




579



6

12

20

1130

13
42

15

56

71
3
8


8





1

1

111


233

4

7

1
8


7
11
8


8



11

11

2

8


78
8
8

2111

10

【答案】
10
。

【例 10】
1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20< br>2
12

23

1819

1 920

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式

1
2

2
1< br>
3
2

2
3

3
4
< br>4
3
...
19
18

19

20

19

1
217
20
36
20

【答案】
36
19
20
。

【巩 固】
1
2
1
2
2
2
1
2
2< br>2
3
2
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
26
2
13

1
3
2
3

1
3
2
3
3
3

1
3
2
3
33
4
3

1
3
2
3
2 6
3

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
n(n1)(2n1)
222
【解析】
a
12n2
n

6
2n1211
1
3
2
3
n
3

n
2
(n1)
2
3

n(n1)

3
(
n

n1
)
4
原式=
2
3
[(
1
1

1
2
)(
1
2

1
3)(
11
3

4
)(
1121
26

27
)]
=
3
(1
27
)
52
81

【答案】
52
81
。

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课堂检测


1、
14477104952
=_________
【考点】整数裂项 【难度】☆☆ 【题型】填空
【解析】原式=
14[47

101

710< br>
134

4952

5546
]9

495255464952)9
=
14(4710147710134710
=

495255142

9

=
15572

【答案】
15572
。

5791113151719
2、 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】原式
1
23344556677889910


23344556677889910
11111< br>1()()()()()()()()

23344556677889910

1
11


210
3



5
3
【答案】。
5

11798175
3、


451220153012
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式

1


453445355646
1111

2452

3456
3

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【答案】
3
。

1
2
2
2
2
2
3
2
4、 < br>
2004
2
2005
2
2005
2
2 006
2
12

23

20042005

20052006

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】（法1）：
a
n
2
(n1)
2
n
2
(n1)
2
nn
n

n( n1)

n(n1)

n(n1)

n1
1
n

原式=
(
2

1
) (
324354
122

3
)(
3

4
)(
4

5
)(
2
2004
< br>2005
)(
2005

2005
2006
)20052
2005
2006

4010
2005
2006

（法2）：
a
n< br>2
(n1)
22
n

n(n1)

2n2n1
n
2
n
2
1
n
2
 n
2
1
n(n1)

【答案】
4010
2005
2006
。

5、


1
1

1


2
2
1






1
1< br>
3
2
1





1
99
2
1



【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】
a
1(n1)2
n
1
(n1)
2
1

(n1)< br>2
1

(n1)
2
n(n2)

原 式=
2
2
3
2
4
2
99
2
22
1

3
2
1

4
2
 1

99
2
1

=
223344
13

24

35

9999
98100

=
2
99
100

=
99
50

【答案】
99
50
。

MSDC模块化分级讲义体系 五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.教师版 Page 9 of 12

家庭作业

1、
1122335050

【考点】整数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】
a
n
nn 

n1

nn

原式=
11

12

2

23

3

4950

50

=

122 3344950



12350


=
4950515150
3

2

=
126225

【答案】
126225
。

2、
2464689698100

【考点】整数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】原式=
9698100102
8

=
11995200

【答案】
11995200
。

3、
1
3

2
5

379112131
7

12

20

28

40< br>
56

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式=
1
3

2
5
< br>3
7

79112131
12

20
28

40

56

=1
3

231111112131
5

7
< br>3

4

4

5

4
< br>7

5

8

7

8

=
2
3
111

=
3
2
3

【答案】
3
2
3
。
MSDC模块化分级讲义体系 五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.教师版Page 10 of 12

4、
(1
1
)(2
2
)(3
3
)(8
8
2349
)(9
9
10
)

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
nn(n1)nn
2
【解析】
a
n
 n
n1

n1

n1

=
12
2
2
3
2
2

3

42
原式
4

5

9
2
10

=
1239
10

=
36288

【答案】
36288
。

5、
12123112350
2

234
23< br>
234

2350

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

1n1

< br>
n1

【解析】（法1）：
a


< br>n1

n


2
2n1

 n


n2

n3

n

2
原式=
3243550
41

52

4
63

51
5249

=
3
50
52

=
2
23
26

1()nn
（法2）：
a
n

1()n
2
n(n)1
n

2
1
n(n)12
【答案】
2
23
26
。

教学反馈

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学生对本次课的评价

○特别满意 ○满意 ○一般

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