老师我想对你说作文400字-证券基础知识重点

第二十二讲 物不知数与同余


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -

故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余 数问题．简
单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余< br>数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - -
例题1．
（1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？
（2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？
「分析」（ 1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关
系呢：
（2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？


练习1．
（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？
（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？



例题2．
（1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？
（2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？
「分析」看起来和例 题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是
81296
吗？




练习2．
一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？



例题3．
（1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？
（2）有 一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，
L
，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3，
L
，7的顺序报数，最后一 名
战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？
「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直 接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中
一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．

练习3．
一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少？




如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”．
我们之前总结的余数性质以及余 数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与
它的数字和除以9是同余的，1135与它的末 两位数字除以4是同余的．而处理余数问题的
方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方 法以外，我们还有一个极其有用
的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，
1 9515180
则是9的倍数；1135
与35除以4的时候同余，则
1135 351100
是4的倍数．也就是说：
如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除．反之亦然．

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
例题4．
（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？
（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？
「分析」（1）由
被除数除数商L余数
，被除数是1024，余数是23，说明除数和商要 满
足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题．



练习4．
（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？
（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？



例题5．
刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里 ，那么最后一个笼子里有2只；
如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每 7只兔子关在一个
笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？
「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？

例题6．
把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一 共剩下25个水果没有分出去．请
问：剩下个数最多的水果剩下多少个？
「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？

未来的数学家
——节选自《怎样解题》乔治·波利亚

未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的．在适当
的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型
的题目．
对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通过考察他的工作过
程和最后 的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷．他可以深思题目的
困难之处及决定性的观 念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他．他
可以注意寻找简单直观的念头：你能 一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能
以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将 当前的题目和以前的解过的题目作比较
以使当前的题目更加清晰．他可以尝试创造一些新题目，而这些新 题目可以根据他刚刚完成
的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对 解答过的题
目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用．
和 其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习．他应该注意寻找正确的模范；
他应该觉察到一个 能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛．然后，可能最重要的
是，他不仅应该阅读通用的教材 ，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式
是他天生倾向于模仿的．他应该欣赏和寻求在 他看来简单的或有启发性的或美的东西．他应
该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并 创造新的题目．他应该通过这些
方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的 好恶、趣味以及自
己的思路．

陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹” 奖获得者．13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主．20
岁获得普林斯顿大学博士学位．24岁成为加利 福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授．2006
年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹 ”奖．目前已发表超过230篇学术论文．

作业1.
在小于50的数中，与67除以11同余的数有哪些？
作业2.
一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？
作业3.
2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？
作业4.
1986和2011这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？
作业5.
韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队
兵有多少人？

第二十二讲 物不知数与同余

例题1. 答案：（1）17；437．（2）106；216
详解：（1）这是一道余同的 问题．这个数最小是17，第二小是
[21,20]17437
．（2）
这是一道 缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，
[11,10]110
，因此这个数最小为
1104106
．第二小的是
11024216
．

例题2. 答案：（1）123．（2）115
详解：（1）这是一道余同的问题 ．满足条件的数可表示为
[8,12]n3
，其中n为自然
数．要求满足条件的最 小三位数，应令n为5，即
[8,12]53123
．（2）这是一道缺
同的问 题．满足条件的数可表示为
[6,10]n5
，其中n为自然数．要求满足条件的最
小三位数，应令n为4，即
[6,10]45115
．

例题3. 答案：（1）23；（2）165
详解：（1）采用逐步满足条件法．满足第二个条件的数为1，12 ，23，……发现23同
时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除 以7余4，
满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．

例题4. 答案：（1）77、91；（2）16、8
详解：（1）
10 24231001
，可知除数是1001的约数．其中大于23的有77和91；（2）
1 008416
，可知除数是16的约数，可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0，
只能是16和8．

例题5. 答案：467
详解：兔子数除以3余2，除以5 余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为
2[3,5]n
，
其中n为自然数 ，即2，17，32，47，……其中47同时满足第三个条件．所有满足条
件的数为
47[ 3,5,7]n
，其中n为自然数．n取4时满足条件，为467．

例题6. 答案：20
详解：从整体的角度出发考虑问题，水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为学生数的倍数．
639013025258
，258的约数有1、2、3、6、4 3、86、129、258，
其中43满足条件．苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩 下个数最多的
水果剩下20个．

练习1. 答案：（1）3．（2）31
简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3；（2）这个自然数
加上4以后 是5和7的公倍数，所以最小是31．


练习2. 答案：999
这是 一道余同的问题．满足条件的数可表示为
[4,6]n3
，其中n为自然数．要求满
足条件的最大三位数，应令n为83，即
[4,6]833999
．

练习3. 答案：122
简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依 次为2、7、12、17，17正好除以
7余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为5 2、87、122．最小是三位
数是122．

练习4. （1）27、45、135；（2）24、12、6、3
简答：（1）
15015135
，除数是135的约数．其中大于15的有135、45和27；（2）
805624，除数是24的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要满足余数
不为0，除数只 能是3、6、12和24．

作业
1.
答案：
1
，12
，
23
，
34
，
45
简答：除以
11
的余数都是
1
．

作业
2.
答案：
59
简答：除以
27
余
5
的数有
5
、
32
、
59
、…，其中除以
7
余
3
的第一个数是
59
．

作业3. 答案：78
简答：这个两位数是
2025751950
的约数，其中比75大的只有78．
作业4. 答案：25
简答：这个两位数是
2011198625
的约数，只能是25．
作业
5.
答案：
473
简答：先列出除以
9
余
5
的数，从中找除以
7
余
4
的数，再从剩下的数中找除以< br>5
余
3
的数．