克罗斯-东莞理工分数线

第十七讲 比例应用题

在研究两个量之间的关系时，经常用到和的关系、差的关系以及倍数关系．之前我们学
过的和 差倍问题就是关于这些关系的．而倍数关系还有一种比较常见的表现形式，就是比的
关系．
< br>比如，甲有3个苹果，乙有2个苹果，我们可以说甲的苹果是乙的1.5倍，也可以说甲
和乙的苹 果数之比是3:2，读作3比2．如果甲有6个苹果，乙有4个苹果，甲的苹果仍然
是乙的1.5倍，甲 和乙的苹果数之比是6:4．我们发现，比的关系和倍数关系可以如下转化：

比的关系
3:2
6:4
321.5

倍数关系
1.5倍
1.5倍

641.5

由此可见，比的概念与除法的概念密 切相关，我们定义：两个数相除又叫做这两个数的
比．在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比 号后面的数叫做比的后项，比的前项
除以比的后项所得的商叫做比值．例如：
比的前项
3
3:7
37
7

比的后项
比值

比值通常用分
数表示，也可以
用小数或整数
表示．
比号
请你想一想：比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可
以是0吗 ？与除法和分数一样，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不
变．利用这个性质，我 们可以像约分一样，将比化简．比如6:4=3:2．
像这种表示两个比相等的式子叫做比例（式）． 要判断两个比是否成比例，就要看它们
的比值是否相等．两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则 不能组成比例．比例有
四个项，分别是两个内项和两个外项．在3:4=9:12中，其中3与12叫做 比例的外项，
4与9叫做比例的内项．比例的四个数均不能为0．在任意一个比例中，两个外项的积等< br>于两个内项的积．即：

d
=
b
×
c
．

如果
a
︰
b
=
c
︰
d
，那么
a
×

练

一 练
1.
求比值：2:5 =________；7:3 =________；10:4=________．
2.

把比化成最简整数比：
6:15 =________
；
8:12=________
；
0.2:0.5 =________
．

3.
如果
3a4b
，那么a:b=（ ）:（ ）；
4.

我国《国旗法》规定，国旗长宽之比为
3:2
，若国旗宽是
128
厘 米，则长是________
厘米．


在表示两个量之间的关系时，可以用 到和的关系、差的关系、倍数关系和分
数倍关系．除了这些之外，比例也可以用来表示两个量之间的倍数 关系．知道了
两个量之间的比，我们可以方便的按照比例将两个对象的数量分配好，这也是本
讲 要重点学习的：按比例分配．


例题1．（1）水果店运来了西瓜和哈密瓜共234 个．如果西瓜和哈密瓜的个数比为5:4，那
么水果店运来西瓜和哈密瓜各多少个？
（2）阿 呆和阿瓜一起去买包子，两人买的包子数之比是13:6．又知道阿呆比阿瓜多买了21
个包子，那么两 人一共买了多少个包子？
「分析」根据比例设份数，比如西瓜和哈密瓜的个数比是5:4，那么可设西 瓜有5份，哈密
瓜有4份．






练 习
1

（1）卡莉娅和萱萱一共买了50块巧克力，卡莉娅的巧克力 块数和萱萱的比是7:3，那么卡
莉娅比萱萱多多少块巧克力？
（2）小山羊和老山羊去吃草 ，小山羊和老山羊吃的草量比为5:9，并且老山羊比小山羊多吃
了200克的草，那么小山羊吃了多少 克的草？

例题2．红旗小学共有师生1081人．其中老师与学 生的人数之比为2:45，男生与女生的人
数之比为5:4．请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多 少人？
「分析」如何通过师生的人数比求出学生的总人数？又如何利用男、女比例，求出男、女生各有多少？把这两个问题搞清楚了，本题也就解决了．




练 习
2

512
名士兵分成龙、
B
两个排． 虎两个营，将龙营分成甲、乙两个连，再将乙连分成
A
、如
果每次都按
5:3
的人数比来分，那么
A
排有多少名士兵？



比 例除了可以表示两个量之间的倍数关系，还可以表示多个量之间的倍数关系．我们把
两个数之间的比称为 简单比，多个数的比称为连比．简单比与连比之间可以互相转化．

如果甲
:
乙
=2:3
，乙
:
丙
=5:4
，那么甲
:
乙
:
丙是多少？

甲

乙

丙
2 : 3


5 : 4
甲:乙:丙=10:15:12
10 : 15 : 12


例题3．机器人制造厂一月份与二月份生产 机器人的个数比为4:5．后来改进生产技术，三
月份生产的机器人的个数与二月份的产量之比为5:3 ．
（1）请写出三个月的产量的连比；
（2）如果三月份比一月份多生产了78个机器人． 请问，这家工厂第一季度共生产多少个机
器人？
「分析」题目中给出了两个比，这两个比之间 存在什么样的关系呢？你能通过这两个比求出
一月份、二月份和三月份这三个月产量的连比吗？


练 习
3

育才小学五年级学生分成三批去参观博 物馆．第一批与第二批的人数比是
5:4
，第二批
与第三批的人数比是
3:2
．已知第一批的人数比第二、三批的总和少
55
人．请问：育才小学

< br>五年级一共有多少人？




对于数量发生变化的题，题目 中比的每一份的含义往往也是不一样的，不能直接来计
算．那么对于这类问题，我们通常要从题中找到不 变量，根据它来统一份数．我们来看看下
面这道题，题中的量是如何变化的？你能找到其中的不变量吗？

例题4．慢羊羊村长开了一间学校，招了好多小羊和小狼，上学期小羊和小狼的数量比为1: 3，
新学期时又转来了20只小羊，导致开学的时候小羊和小狼的数量比变为3:5，那么开学时一共有多少只小羊？
「分析」题目中也给出了两个比，这两个比之间存在什么样的关系？我们能像例 1那样，把
上学期的小羊和小狼设成1份和3份，这学期的设成3份和5份吗？


练 习
4

史蒂文森高中去年男生和女生的人数比为5:3，今年转来了 200名男生，使得女生和男
生的人数比变为1:2，那么今年史蒂文森高中一共有多少名学生？



例题
5
．如下图，甲、乙、丙三根木棒插在水池中， 它们的长度之和是
360
厘米．甲木棒在
水面上、下的长度之比为
3:1，乙木棒在水面上、下的长度之比为
4:3
，丙木棒在水面上、
下的长度之比为< br>2:3
．请问：水深是多少厘米？






水面
水深
甲
乙
丙
「分析」题目中的三 个比涉及到了甲、乙、丙三根木棒的水上部分和水下部分，它们之间有
公共的量吗？

例题6．甲、乙两包糖的重量比是5:3，如果从甲包 取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的
重量比变为7:5．请问：这两包糖重量的总和是多少克？ < br>「分析」甲包少了
10
克，乙包多了
10
克．什么没有变呢？

黄金分割

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与 全长之比等于另一部分与这部分
之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由 于按此比例
设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个数值的作用不仅
仅体 现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方
面也有着不可忽视的作用，在 很多地方都可以发现黄金分割的存在。
1、1、2、3、5、8、……，这个数列叫做斐波那契数列。 相邻两个菲波那契
数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比。
黄金分割在造型艺术中具 有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，
采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应 用也非常广泛，建筑物中
某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央 ，
而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最
好。就连植物 界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会
看到叶子是按照黄金分割的规律排列着 的。下图是帕特农神庙，它的设计很多处
都用到了黄金分割。

如果班上有
21
个男生，那么有多少个女生？

作业
1.

王老师班上的男生和女生之比为
7:5
，
作业2.
书架上有中文书 和英文书，一共有20本．其中中文书与英文书的数量比是2:3，那
么中文书有多少本？

作业3.
青蛙王国共有青蛙900只．其中大青蛙与小青蛙的只数之比为17:28，小青蛙 中，
绿皮青蛙与其他青蛙的只数之比为
3:1
．那么小青蛙中的绿皮青蛙有多少只？

作业
4.

花园里有玫瑰、百合还有兰花，其中玫瑰和百合的朵数 之比为
1:2
，而百合和兰花
的朵数之比为
4:3
，如果玫瑰比兰花 少
20
朵，那么玫瑰花有多少朵？

作业
5.

有
429
名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为
7:6
．后来又 有一些
女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变成
11:10
．请问：后来报名的女 生有多少人？

第十七讲 比例应用题

例题1. 答案：（1）西瓜130个，哈密瓜104个．（2）57
详解：（1）
234

54

26
，
265130
，
264 104
．（2）
21

136

3
，
3

136

57
．

例题2. 答案：老师46人，男生575人，女生460人
详解：
1081

2 45

23
，
22346
，
45231035< br>．
1035

54

115
，
51 15575
，
4115460
．

例题3. （1）12:15:25；（2）312
详解：（1）将二月份的产量统一为15份，那么一月份的产 量是
12份，三月份的产量是25份，三个月的产量之比是12:15:25；（2）
78< br>
2512

6
，
6

1215 25

312
．

例题4. 答案：45只
详解：注 意到小狼的数量并没有发生变化，所以统一两次小狼的
份数，将狼和羊的数量比化成5:15和9:15 ．求出1份代表
20

95

5
（只），那么开学时 共有
5945
只小羊．

例题5. 答案：45厘米
详解： 注意到三根木棒在水下的长度是一样的，将水下部分都统
一为3份．三个比分别转化成9:3、4:3和 2:3，1份的长度为

360

934323

15
厘米，水下部分的长度是
15345
厘米．

例题6. 答案：240
详解：注意到甲、乙两包糖的重量之和没有变，统一成24份．两< br>个比分别转化成15:9和14:10，可求出1份的重量为
10

151 4

10
克，两包糖的重量总和为
10

159
240
克．

练习1. 答案：（1）20；（2）250
简答：参考例1即可．

练习2. 答案：75．
简答：参考例2即可．

练习3. 答案：385
简答：参考例3即可．

练习4. 答案：1800
简答：注意到女生的人数没有变，统一女生的份数即可．

作业1. 答案：15
简答：
217515
．
作业2. 答案：8
简答：
20

23

28
．
作业3. 答案：420
简答：首先可求出小青蛙有
900

1 728

28560
只．再求出绿皮青蛙有
560

13

3420
只．
作业4. 答案：40
简答：首先 可求出玫瑰、百合和兰花的朵数比是2:4:3，那么玫瑰与兰花的朵数比是
2:3．玫瑰有
2 0

32

240
朵．
作业5.
答案：12
简答：男生的人数没有变化过，一直都是
429

6 7

7231
人．那
么后来男女生一共有
23111
1110

441
人，增加的12人就是后来
报名的女生 ．