岳秀清-幼儿保健小常识

学科教师辅导讲义
学员编号：
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授课主题
授课类型
教学目标
② 会利用最小公倍数解决实际问题。
授课日期及时段

T同步课堂
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第20讲——最小公倍数

P实战演练 S归纳总结
① 掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；
T
（Textbook- Based）
——同步课堂

知识梳理

一、约数和倍数的定义
整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。
如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；
18的约数有1、18、2、9、3、6。
注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。
②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。
③一个数的倍数的个数 是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的
倍数是3 ，没有最大的倍数。
④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来 提出的。如果数a与数b
相乘的积是数c，a与b都是c的因数。

二、 2、3和5倍数的特征
2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数
5的倍数的数特征是个位是0或5
3的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数

三、质数与合数
（1）只有1和本身两个因数的数叫做质数（或素数）
（2）除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数
（3）1既不是质数，也不是合数
（4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、4 3、47、53、59、61、
67、71、73、79、83、89、97。
（5）几个数 公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2
的倍数有2、 4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。记
作[2,3]=6。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
注意：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积，
即（a，b）×[a，b]=a×b。

典例分析

考点一：最小公倍数的求法
例1、列举法：求6和10的最小公倍数。
【解析】先分别写出6 和8 各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。
6 的倍数：6 ，12 , 18 ，24 ，30，36，42，48 …
10 的倍数：10 ，20，30，40，50 …
所以6和10的最小公倍数是30。




例2、短除法：求56和24的最小公倍数。
【解析】 2
56 24
2 28 12

2 14 6
7 3
56和24的最小公倍数是2×2×2×7×3=168

例3、分解质因数法：求120和100的最小公倍数
【解析】120=2×2×2×3×5
100=2×2×5×5
[120，100]=2×2×2×3×5×5=600

例4、多个数求最小公倍数：求45、60和75的最小公倍数
【解析】3 45 60 90
3 15 20 30
5 5 20 10
2 1 4 2
1 2 1
[45，60，90]=180 （当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去）

考点二：应用最小公倍数巧算
例1、一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题 目总数的
总数的
1
，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题目
4
1
，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道．
611
【解析】因小明答错的恰是题目总数的，两人都答错的题目占题目总数的，所以题目的总数应是 4和6
46
的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答 。
解：已知题目个数一定是整数．设为X
X是4和6的倍数．
x
＜5，X＜30；
6
x
有＜X-5，X＞10；
2
x
＞5时，即X＞20时，
4
且
所以X=24；
答：都答对的题有24-5-6+4=17。

例2、某加油站有二位员工，从今年 l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休

息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人？
【解析】甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息．因为
4和7的最小公倍数是28，因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；
365÷28≈15（天），而在比7的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是
第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345（天），345÷28≈12（天）
所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28（天）

例3、一个植树小组 原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米
栽一棵树。求重 新挖树坑时可以少挖几个？（希望杯考题）
【解析】这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：
96÷4+1=25（个）
后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵 的坑位上，可不重新挖。由于4和6
的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不 必挖。
96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。
96÷12+1=9（个）答：。重新挖树坑时可以少挖9个。
考点三：最小公倍数综合 < br>例1、有一些画片，如果平均分给3个同学，还余1张；如果平均分给5个同学，还余3张；如果平均分给 4
个同学，则少2张．这些画片至少有多少张？
【解析】由于平均分给3个同学，还余1张则 这个数减1是3的倍数；如果平均分给5个同学，还余3张则这
个数减3是5的倍数；如果平均分给4个 同学，则少2张则这个数加2是4的倍数．因此，我们可从3，
4，5的最小公倍数入手来分析一下，3 ，4，5的最小公倍数为3×4×6×=60．由于是求最小，我们可从减开
始，如果平均分给4个同学 ，则少2张，60-2=58，58÷3=19…1，58÷5=11…3，所以这个数最小为58．
解：根据题意可知，这个数减1是3的倍数，减3是5的倍数，加2是4的倍数．
3，4，5的最小公倍数为3×4×6×=60．
60-2=58，
58÷3=19…1，
58÷5=11…3，
所以这个数最小为58．

例2、有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以10余数是5 ，且被

3、5、7、9除时，没有余数，从公元00年到公元2000年时，星球飞近多少次？
【解析】因为3、5、7、9的最小公倍数是：5×7×9=315，
所以2000以内，3 、5、7、9的公倍数有：315、630、945、1260、1575、1890；
其中630、1260、1890是10的倍数，不符合题意；
所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次．
答：从公元00年到公元2000年时，星球飞近3次．

P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

➢ 课堂狙击
一、填空题
1、30以内3的倍数有（），4的倍数有（），3和4的公倍数有（），最小公倍数是（）。
【解析】（ 3、6、9、12、15、18、21、24、27、30 ），（ 4、8、12、16、20、24、28 ），（12、24），（12）
2、在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有（ ），是5的倍数的有（ ），是2的倍数的
有（ ）；是2和5的公倍数的有（），是2和3的公倍数的有（），是3和5的公倍 数的有（）；同时是2、
3和5的公倍数的数是（）。
【解析】（12、15、36、450 ），（15、450、950），（12、36、64、450、950），（450、950），（12、36 、450），（15、
450），（450）
3、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是（ ），最小是（ ）。
【解析】（7530），（3570）
4、要使601□既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填（ ）。
【解析】（2、5、8）

二、解答题
5、写出每组数的最小公倍数
8和10 51和3 5和4

57和19 91和7 9和1

【解析】40，51，20，57，91，9

6、一个汽车站内有两路公共汽车． 甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每隔
多少分钟，两路汽车会同时发车 ？
【解析】4和6的最小公倍数为12，
如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车。

7、一 排路灯，原来每两盏之间的距离是30米，现在改用50米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔多少米
又有一盏不必移动？
【解析】因为30和50的最小公倍数是150，
所以至少再隔150米又有一盏不必移动；
答：至少再隔150米又有一盏不必移动．

8、有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每2 8个装一箱，最后一
箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？
【解析】根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都 能装整
箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求 出24、28和32
的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。
[24，28，32]=672
672－2=670（个）
即：这批水果共有670个。

➢ 课后反击
一、判断题
1、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。 （）
2、两个质数的最小公倍数是它们的乘积。 （）
【解析】√，√
二、选择题
3、a 是一个质数，则a的倍数有（）个

A、1个 B、2个 C、无数个
4、如果b是一个整数，那么2b一定是（）
A、合数 B、偶数 C、素数
【解析】C，B
三、解答题
5、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次， 乙4天去一次，丙5天去一
次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图 书馆相会？
【解析】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最 小公倍数。因为3、
4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。

6、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
【解析】9和90或18和45。
7、一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？
【解析】把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系< br>就能求出长方体砖的块数。答案：150块

8、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每 秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经
过多少时间三人又同时从出发点出 发？
【解析】甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需 要600÷2=300秒。要使三人
再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300 的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是
600，所以，经过600秒后三人又同时从出 发点出发。

直击赛场



S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

1、 倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；
2、利用最小公倍数解决实际问题。

名师点拨

1、解答与公因数或公倍的应用题，关键是先求出最大公因数或最小公倍 数，然后按题意解答要求的问题。最
小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好 是已知数的最小公倍数时，我们可以通
过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数 的最小公倍数，从而求出结果。
2、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]= a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即（a、b）×[a、b]= a×b
要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知 条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知
条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数 ，解题时要避免和最大公约数问题混淆。

学霸经验
➢ 本节课我学到



➢ 我需要努力的地方是