赤脚礼赞-关于鸟的诗句

第十五讲 公约数与公倍数进阶

这一讲我们来继续学习有关约数与倍数更深入的知识．首先来看一下最大公约 数、最小
公倍数与原数之间的关系．
两个数，如果它们的最大公约数是
k
． 那么可以假设这两个数分别为
ka

、
kb

，其
中
a
、
b
互质．

ka
kb
a和b互质

而它们的最小公倍数可以表示为
kab

．

通过观察 ，我们发现

ka



kb

k 

kab


．由此可得：

两数的最大公约数乘以最小公倍数等于两数乘积
注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明．
性 质虽然好用，但它要求给出最大公约数，最小公倍数和两数中的一个才行．如果只给
出最大公约数和最小 公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢？
例题1．（1）两个自然数不成倍数关系，它们的最大公 约数是18，最小公倍数是216．这两
个数是多少？
（2）若两个数的最大公约数是18，最小公倍数是1080．这两个数有哪几组？
「分析」 最大公约数是18，说明两个数都是18的倍数，可以分别设为
18a
和
18b< br>，且a、
b互质．接下来，我们讨论一下a、b的取值．


练 习
1

（1）两个互质的自然数的最小公倍数是432．求这两个数．
（2）若两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45，最小公倍数是900．求这两个数．


经过前面的例题，我们知道，如果知道两个数的最大公约数，就可以把这两个数表 示出
来．比如说两数的最大公约数是12，那么这两个数都是12的倍数，可以设为12a和12b，< br>而且a和b互质．那么这两个数的最小公倍数、和、差以及乘积就都可以用a和b表示出来
了．

例题2．两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数．
「分析」可以设两个数分别是
13a
和
13b
，且a、b互质．

练 习
2

两个自然数的乘积是
28 8
，它们的最大公约数是
6
，求这两个数．



例题3．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的
数是多少 ？
「分析」两个数的最大公约数是6，我们可以假设这两个数是
6a
，
6 b
，它们的最小公
倍数是
6ab
，那么可知
6ab
等于420．那a，b可以取哪些值呢？相差18又怎么保障
呢？

练 习
3

两个数的最大公约数是
10
，最小公倍数是
300< br>，如果这两个数相差
70
，那么较小的数
是多少？





约数与倍数的问题，最重要的就是分析清楚数的构成，最常用的方法就 是分解质因数，
由此同学们可以看出分解质因数在数论问题中是多么的重要．

例题4．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个
数的 最小公倍数是126．请问：甲数是多少？
「分析」这道题只告诉了三个数中每两个数的最小公倍数， 能否通过分解质因数，然后比较
它们质因数的构成来求解呢？

练 习
4

b
、
c
，
a
与
c
，
b
与
c
的最小公倍数分别是
525
，
28
和
300
．三个正整数
a
、已知
a
与
b
，那
么
a
的值是多少？



例题
5
．有4
个不同的自然数，它们的和是
1111
．它们的最大公约数最大是多少？

「分析」这
4
个数的最大公约数和
1111
有什么关系呢？根据 前面的题目可知，几个数的和，
一定是这几个数的最大公约数的倍数．那么最大公约数可能是多少？

之前在学习约数的时候，我们学习过如果知道约数个数怎么 去反求原数．有些题目里面，
利用约数个数反求原数和利用公约数公倍数反求原数都会用到．


例题6．甲、乙是两个不同的自然数．它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数．它
们的最大公约数是12．请问：甲、乙两数之和是多少？
「分析」甲、乙只含有质因数2和3 ，且它们都是12的倍数，所以都是
2
a
3
b
的形式．并
且它们都有12个约数，由约数个数公式可得

a1



b1

12
．
所以要把12拆成两个大
于1的数相乘，这只能 是
26
或
34
．我们可以把这样的数都写出来，从中选取符合题目
要求的数．

亲和数
你能看出
220
和
284
之间有什么关系吗？

大 数学家毕达哥拉斯的回答是：
220
的约数除本身外为
1
，
2
，
4
，
5
，
10
，
11
，
20
，
22
，
44
，
55
，
110
， 它们的和为
284
；而
284
的约数除本身外为
1
，
2
，
4
，
71
，
142
，它们的和为
2 20
。

这两个数，一个数的所有约数之和等于另一个数，我们称之为亲和数。

这对特殊的数 还带着神秘的色彩。很多人相信，刻着这两个数字的护身符能
让佩带它的人们永葆完美的友情。假如其中 一个人受到了伤害，即使只是被针扎
了一下，远在地球另一边的伙伴也能感觉。在魔法、巫术、占星和算 命等活动中，
这对数扮演着重要的角色。

奇怪的是，以后再没发现新的亲和数。直到
1636
年，伟大的法国数论专家费
马才宣布
17296
与
18416
结成另一对亲和数。两年后，法国数学家、哲学家笛卡儿
发现了第三对。
1 747
年，瑞士数学家欧拉系统研究了亲和数，推出了
30
对，然后
又扩充到
60
多对。

今天，我们已经知道900多对亲和数，这些数对都有相同的奇 偶性。如果它
们是奇数对，就都是3的倍数；如果是偶数对，它们的数字总和都是9的倍数。

作业1. 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？

作业2. 已知两个不成倍数关系的自然数的积为240，最小公倍数为60，那么这两个数分别
是多少？

作业3. 两个数不成倍数关系，它们的最大公约数是8，和是80．那么这两个数分别是多少？

作业4. 有3个不同的自然数，它们的和是105，它们的最大公约数最大是多少？

作业5. 甲、乙两数的最小公倍数是60，乙、丙两数的最小公倍数是70，甲、丙两数的最
小公倍数是84，那么甲数是多少？

第十五讲 公约数与公倍数进阶

例题1. 答案：（1）54和72；（2）18和1080，72和270，54和360，90和216
详解 ：（1）设两个自然数分别是18a和18b，那么a和b互质．这两个自然数的最小公
倍数是18ab ，那么有
18ab216
，
ab12
．考虑到这两个数不成倍数关系，a 和b应该
是3和4，两个自然数分别是54和72．（2）设这两个自然数分别是18a和18b，然后
按照第（1）中的方法来做即可．

例题2. 答案：39和52
详解： 设这两个自然数分别是13a和13b，那么有
13a13b2028
．可解出a和b应该
是3和4，两个自然数分别是39和52．

例题3. 答案：42
详解 ：设这两个自然数分别是6a和6b，那么有
6ab420
，
6a6b18（不妨设a比
b大）．可解出
a10
，
b7
，较小的数是4 2．

例题4. 答案：18
详解：
9023
2
 5
，首先可知这三个数的质因数只有2、
126=23
2
7
．< br>105=357
，
3、5、7．而且甲中没有7，没有5；乙中没有2，没有7，3 最多有1个；丙中没有2，
没有5，3最多有1个．因为甲、乙的最小公倍数是90，而乙中没有2，最 多有1个3，
可以判断出甲中有1个2，2个3，甲是18．

例题5. 答案：101
详解：这四个数的和一定是它们最大公约数的倍数．那么它们的最大公约数一定是111 1
的约数，可能是1、11、101和1001．又因为这四个数两两不同，它们的和至少是最大
公约数的
123410
倍．最大公约数最大是101．

例题6. 答案：204
详解：最大公约数是12，则两数中质因数2和3的最低次方分别为 2和1，又因为两数
有12的约数，利用约数个数反求法可得两数分解质因数形式为
231 08
，
23
2
5
396
．

练习1. 答案：（1）16和27；（2）180和225
详解：（1）可知两数乘积是4 32，只能是16和27；（2）设两个自然数分别是45a和45b，
然后列方程即可．

练习2. 答案：6和48
详解：设这两个数分别是6a和6b，然后列方程即可．

练习3. 答案：30
详解：设两个数分别是10a和10b，然后列方程即可．

练习4. 答案：7
详解：参考例题4．



作业1. 答案：32
简答：乙数为
42883632
．
作业2. 答案：12和20
简答：最大公约数是
240604
．然后设两个数为4a和4b求解即可．
作业3. 答案：24和56
简答：设两个数分别为8a和8b，则有
8a8b 80
，
ab10
．又因为这两个数不成倍
数关系，只能是24和56．
作业4. 答案：15
简答：要使3个数都不一样，那么它们的和至少是最大公约数的
1236
倍，而
105715
，最大公约数最大只能是15．

作业5. 答案：12
简答：甲、乙两数的最小公倍数是
2
2
3 5
，乙、丙两数的最小公倍数是
257
，甲、
丙两数的最小公倍数是< br>2
2
37
．对比三个条件，可知甲数为
2
2
3 12
．