岳阳人事网-人教版五年级下册语文练习册答案

智合教育……暑期蓝天行动

目录

目录 ....... .................................................. . - 1 -
（一） 数的整除 ............................................... - 2 -
（二） 数字谜 ................................................. - 6 -
① 横式字谜 .................................... - 6 -
② 竖式字谜 .................................... - 8 -
（三） 定义新运算 ............................................ - 11 -
（四） 行程问题 .............................................. - 15 -
①
②
追击及遇问题 ................................... - 15 -
火车过桥 ................................... - 19 -
（五） 列方程解应用题 ........................................ - 22 -
（六） 抽屉原理 .............................................. - 27 -
（七） 不规则图形面积计算（1） ............................... - 30 -
（八） 不规则图形面积计算（2） ............................... - 34 -
（九） 逻辑推理 .............................................. - 39 -
（十） 牛吃草 ................................................ - 41 -
（十一） 流水行船 ............................................ - 45 -
（十二） 奇数与偶数 .......................................... - 48 -
（十三） 周期性问题 .......................................... - 52 -
（十四） 植树问题 ............................................ - 56 -
（十五） 有趣的树阵图 ........................................ - 60 -
（十六） 有趣的树阵图练习 .................................... - 64 -


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智合教育……暑期蓝天行动



（一） 数的整除
如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们 就说a能被
b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做
b的 倍数。

数的整除的特征：
（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位 数字是2、4、6、8、0，
那么这个整数一定能被2整除。
（2） 能被3（或9）整除的 数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被
3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。
（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4
（或25）整除， 那么这个数就一定能被4（或25）整除。
（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这
个整数一定能被5整除。
（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，
那么这个数就一定能被6整除。
（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三
位为一个数，其 余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）
的倍数，这个数就能被7（或11或 13）整除。
（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8
（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。
（8） 能被11整除的数的特征： 如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位
数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除 。



一、例题与方法指导
例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____
或_____.
思路导航：
一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8< br>的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0
或8.而11的倍 数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,
这个六位数奇偶位上数字的和是相等的 ,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框
内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能
23 0 56 0 或23 8 56 8
又 230560

88=2620
238568

88=2711
所以,本题的答案是2620或2711.

例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的

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智合教育……暑期蓝天行动

数最小是_____.
思路导航：
因为36=9

4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4 整除.因为1+2+„
+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（ 1+8，8+1，
2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4 整除的数的特征:这
个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,„，36，„，72，„9 6.这样,
这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.
所以,这个数的个位上的数最小是0.

例3. 下面一个1983位数33„3□44„4中间漏写了一个数字(方框),已
991个 991个
知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.
思路导航：
33„3□44„4

991个 991个
=33„3

10
993
+3□4

10
990
+44„4

990个 990个
因为111111能被7整除，所以33„3和44„4都能被7整除,所以只要
990个 990个

3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三
个数是_____.
思路导航：
三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,
所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有
当和为33时,三个数是10,11,12；
当和为66时,三个数是21,22,23；
当和为99时,三个数是32,33,34.
所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：
设三个连续自然数为
n,n
+1,
n
+2,则
n
+(
n
+1)+(
n
+2)
=3
n
+3
=3(
n
+1)
所以，
n(n1)(n2)
能被3整除.


二、巩固训练
1. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1
的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.


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2. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数
的乘 积,那么这个自然数是_____.




3. 任取一个四位 数乘3456,用
A
表示其积的各位数字之和,用
B
表示
A
的
各位数字之和,
C
表示
B
的各位数字之和,那么
C
是_____.




4. 有0、1、4、7、9五个数字 ，从中选出四个数字组成不同的四位数，如
果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的 末位数字是_____.





1. 118 < br>符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,
如果十位数不变,则 个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两
位数有:39、79.
所以,所求的和是39+79=118.

2． 195
因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15

15=225>200, 所以其中至
少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对
于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是
奇数,十位必是偶数 .所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13

13=169不
合要求,13

15=195适合要求.所以,答案应是195.

3. 9
根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.
因为3456=384< br>
9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据
能被9整除的数的特 征,可知其积的各位数字之和
A
也能被9整除,所以
A
有以下
八种可 能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而
A
的各位数字之和
B
总是9,
B
的各
位数字之和
C
也总是9.

4. 9
∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的

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四位数能被3整 除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列
为:1047,1074 ,1407,1470,1479,1497„.所以第五个数的末位数字是9.



三、拓展提升

1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两 个数,它们的和总可
以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？
2． 只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修
改？
3． 5 00名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名
报数；第二次反过来从右到 左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6
的士兵有多少名？
4. 试问,能 否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个
相连的数中,都至少有两个数可被3 整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种
排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.

答案
1. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只
有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个
数,仍不符合要求, 因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试
算,这四个数符合要求.所 以,本题的答案是(3+4)=7.

2. 因为225=25

9,要 使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能
被9整除,被25整除不成问题,末两位数75 不必修改,只要看前三个数字即可,
根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征, 因为
2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1 改为0；把4
改为3；把1改为9；把2改为1.

3. 若将这500名士兵从 右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除
的士兵报1；第二次报数时，编号能被6整除的士兵 报6，所以既报1又报6的
士兵的编号既能被5整除又能被6整除，即能被30整除，在1至500这5 00个
自然数中能被30整除的数共有16个，所以既报1又报6的士兵共有16名.

4. 不能.
假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序< br>将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组
的5个数中都 至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.
但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.




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（二） 数字谜
小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空 中码头”（打一城市
名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地< br>名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是
“天”字，容易想 到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这
样谜底就出来了：天津。
算式谜 又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了
无法辨认，需要运用四则运算各部分 之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，
把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其 中未知的数字常常
用□、△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文
字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数
字，相同的数字或字母表 示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。
在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。

① 横式字谜

一、例题与方法指导

例1 □，□8，□97在上面的3个 方框内分别填入恰当的数字，可以使得这
3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？
思路导航：
150*3-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。

例2 在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：
（1）6□□4÷56=□0□，
（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，
（4）8□□□÷58=□□6。
分析：（1） 610456=109
（2）754837=204
（3） 339329=117
（4）846858=146

例3 在算式40796÷□□□=□99„„98的各个 方框内填入适当的数字后，
就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。
分析：40796102=399...98。

例4 我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如

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果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？

分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161

例5 □÷（□÷□÷□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，
使左边的数比 右边的数小，并且等式成立。
思路导航：
这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：
a(bcd)=a(bc*d)=a*c*db，(a 当a=1时，有6*82=24，8*93=24；
当a=2时，有4*93=12，6*84=12，8*96=12；
所以，满足要求的等 式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，
2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4 ÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。

例6 ① □×□=5□；② 12+□ －□=□，把1至9这9个数字分别填入上面
两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经 填好。

分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为 7*8=56，
则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：3、7 、
8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。

二、训练巩固

1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛
在 上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字。如果这3个等式都成立， 那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？
分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春
春=迎迎赛赛 的只有88* 88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第
一个为：77*88=6776， 第二个为：55*99=5445；
所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。
2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯
在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数 字，不同的汉字代表不同的
数字。那么“迎+春+杯”等于多少？
分析：同样可以从第二 个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=
81，于是，迎=8；
这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。
三、拓展提升

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：
(1)5×□=2□；

(2)6×□＝3□。
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2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：
(1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。
3.在下列各式的□中填入合适的数字：
(1)448÷□□=□；
(3)13×□□= 4□6。
4.在下列各式的□中填入合适的数：
(1) □÷32＝8„„31；
(3)4837÷□＝74„„27。
答案与提示 练习22
(2)573÷32＝□„„29；
(2)2822÷□□=□□；

4.(1)287；(2)17；()65。


②竖式字谜
一、例题与方法指导

例1 在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字， 不同的汉字代表不
同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？

分析： 首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数

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的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。 再看十位，“欢”是5，加上个位有
进位1，那么 ，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是
“人”，所以“人”只能是2；由此可知， “喜”等于8。 所以，“喜欢”这两
个汉字所代表的两位数就是85。

例2 在 图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示
不同的数字．如果：巧+解+数+ 字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多
少？

分析：还是先看个位 ，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，
“谜”必定是5（0显然可以排出）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位
2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”相加
再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，（ 1）如
果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明
“解”只能 是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，
不能； （2）如 果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，
那说明“解”只能是8；5+6+ 9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的
三位数是965。

例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字
表示不同的数字．请把这 个竖式翻译成数字算式．


分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“ 香”只能是8或9，那么“人”
就相应的只能是0或1。但是“华”=1，所以，“人”就是0； 再看 百位，“人”=0，
那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进位。于是可以确定
“香”等于9的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比
“港”大1，那么“爱”就等于8；同时， 个位必须有进位； 再看个位，两数相

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加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”=6，“归”=7。
这样，整个算式就是：9567+1085=10652。

例4 图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示
从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？


分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；
千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位
向千位进位是 2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，
X=3，这是只剩下了2、4 、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，
T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F =2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。

二、训练巩固

1. 在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代
表不同的数字． 那么D+G等于多少？

分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十 位，因为E等于
9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4 ，
3、5和4、6三种可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。

2. 王老 师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成
的数相加得9063，把它前三位数组 成的数与后四位数组成的数相加得2529．求
王老师家的电话号码．
分析：我们可以用 abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，
abcd+efg=9063，abc+def g=2529；
首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个
算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，
b= 3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。

3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比

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原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？
分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；
由最高 为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接
下来看百位，b最 大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是
1989。

三、拓展提升
1.已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？



分析：由17的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。
2. 某个 自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成
的新数恰好是原数的4倍．问原数最 小是多少？
分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位 为
5；4*5+2=22，原千位为2；
4*2+2=10，原万位为0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是102564。
3. 在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表 示相同的数字，不同的汉字表示
不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？


分析：同第10题一样，也是利用17的特点。因为每个字母代表不同
的数字， 因此“好”只有3和6可选：
好=3，则：142857*3=428571；好=6，则：1428 57*6=857142；两个都能满足，所
以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或 857142。


（三） 定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号 表示特定的运算意义。它的符号不同于课本
上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、> 、<”等。表示运算意

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义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号
是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确 切理解新运算的意义，严格按照
规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的 具体的
数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义 新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，
所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。

一、例题与方法指导

例1. 设 ab都表示数，规定a△b表示a的 4倍减去b的3倍，即a△b=4
×a-3×b,试计算5△6，6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=2
6△5=6×4-5×3=24-15=9
说明 例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

例2. 对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5
☆（6☆7）。
思路导航：

先做括号内的运算。
解 （5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95
5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79
说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。

例3. 已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表
示a×(a+1)ׄ（a+b-1）.
计算（6△3）-（5△2）。
思路导航：

原式=6×7--5×6
=336-30
规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+„+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。

例4. 求1△100的值。已知x△10=75,求x.
思路导航：

（1）原式=1+2+3+„+100=（1+100）×100÷2=5050
（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+„+（X+9）=75,
所以
10X+(1+2+3+„+9)=75
10x+45=75
10x=30
x=3

二、巩固训练


- 12 -

智合教育……暑期蓝天行动

1. 若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1
△3）☆3=1△（3☆3）。
求（1△4）☆2的值。

分析 注意本题有两种运算，由（1△3）☆3=1△（3☆3），可求出x.
解 因为（1△3）☆3=1△（3☆3），所以（1×x）
即
（x+3）÷2=x
x+3=2x
x=3
因为（1△4）☆2
=（1×4）☆2
=（4+2）÷2
=3

2. 如果规定：③=2 ×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，„„，⑨=8×9×10，
求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④- ③的值。


解题思路
依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘 积，而且，⑤里的数就是
三个连续数中的中间的哪个数，即③是2，3，4三个连续的乘积，④是3，4 ，5
三个连续睡的乘积，从而不难求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。
解：原式=8×9 ×10+7×8×9-6×7×8+5×6×7-4×5×6+3×4×5-2×3×4
=720+504+-339+210-120+60-24
=1014

三、能力提升

- 13 -

智合教育……暑期蓝天行动





答案


- 14 -

智合教育……暑期蓝天行动



（四） 行程问题

行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小
升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流
水行船、沿途数车、猎 狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自
己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问 题无论怎么变化，都离不开“三
个量，三个关系”：
这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)

三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 × 时间

2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 × 时间

3. 追击问题： 路程差 = 速度差 × 时间

牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是
有很多方法可循的。
① 追击及遇问题

一、例题与方法指导
例1. 有甲、乙、丙三人同时同 地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向
行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟 走38米，丙每分钟走
36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？
思路导航：
这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三
个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

- 15 -

智合教育……暑期蓝天行动

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）
第一个追击： 这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的
速度差造成的，是逆向的追击过程，可求 出甲、乙相遇的时间为228÷ （38-36）
=114（分钟）
第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更
加清晰。

例2. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度
从东到西地 ，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。
乙车每小时行多少千米？
思路导航：

从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千 米，关键要知道乙车已经行
了多少路程和行这段路程所用的时间。
解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）
（2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米）
（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）
（4）乙车每小时行多少千米？ (105-15)÷3=30（千米）
答：乙车每小时行30千米。

例3. 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与 学校相距1400米。哥哥骑
自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回 来在途
中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？
思路导航：

从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的
2 倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，
哥哥每分钟行200米 ，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就
容易了。
解：（1）从家到学校的距离的2倍：1400×2=2800（米）
（2）从出发到相遇所需的时间：2800÷（200+80）=10（分）
（3）相遇处到学校的距离：1400-80×10=600（米）
答：从出发到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米。

二、巩固训练

- 16 -

智合教育……暑期蓝天行动

1. 两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。
甲每小时行28千米， 乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续
行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间 ？

分析:如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：
3 28+22×1=350（千米），两车的速度和：28+22=50（千米小时），然后根据相遇
问题 “路程和÷速度和=相遇时间”得 350÷50=7（小时）
解：（328+22×1）÷（28+22）
=350÷50
=7（小时）
解法2：
（328-22×1）÷（28+22）
=300÷50
=6（小时）
6+1=7（小时）

答：从出发到相遇经过了7小时。

2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每 小时行40千米，经过
3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？

分析:

从图中可知：快车3小时行的路程40×3=120千米，比全程的一 半多12千米，
全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12 千
米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度。
解：①甲乙两地路程的一半：40×3-12=108（千米）
②慢车3小时行的路程：108-12=96（千米）
③慢车的速度：96÷3=32（千米）
答：慢车每小时行32千米。

3. 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离 甲城85千米处相遇，到达
对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多 少
千米？


分析:

- 17 -

智合教育……暑期蓝天行动


从图上可以看出，小华和 小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85
千米。当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全 程，这时小华共行了3个85
千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就 可以
求出来了。
解：（1）甲乙出发到第二次相遇时，小华共行了多少千米？ 85×3=255（千
米）
（2）甲乙两城相距多少千米？（ 255+35）÷2=290÷2=145（千米）
答：两城相距145千米。


三、拓展提升
1. 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每
小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返
回，货车到达甲 站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。
求甲乙两站相距多少千米？


分析

如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个 全程，在这段时间里客车一
共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可 以求出行3
个全程的时间为216÷6=36小时，由此可求出行一个全程时间：36÷3=12小时，
因而可以求出甲乙两站的距离。
解：①从出发到第二次是两车行驶的时间：216÷（54-48）=36（小时）
②从出发到第一次相遇所用的时间：36÷3=12（小时）
③甲乙两站的距离：（54+48）×12=1224（千米）
答：求甲乙两站相距1224千米。


2. 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小
时、8小时先后与 甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。
分析:

- 18 -

智合教育……暑期蓝天行动


解答的关键是求出卡车的 速度，从图上明显看出，甲车6小时的行程与乙车7
小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相 遇时间和路程三者之间的关
系，求出丙车速度。
解：（1）卡车的速度：（ 60×6-48×7）÷（7-6）=24÷1=24（千米）
（2）AB两地之间的距离：（60+24）×6=504（千米）
（3）丙车与卡车的速度和：504÷8=64（千米）
（4）丙车的速度：64-24=40（千米小时）
答：丙车的速度每小时40千米。
3. 两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，车以
每小时62千 米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？


② 火车过桥
过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥
到车尾离桥。列车过桥的 < br>总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问
题的基本数量关系 ：
过桥问题的一般数量关系是：
因为： 过桥的路程 = 桥长 + 车长
所以有：通过桥的时间 =（桥长 + 车长）÷车速
车速 = （桥长 + 车长）÷过桥时间
公式的变形：
桥长 = 车速×过桥时间 — 车长
车长 = 车速×过桥时间 — 桥长
后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解
决。

一、例题与方法指导
例1. 一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长1 00米，
火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？
思路导航：

- 19 -

智合教育……暑期蓝天行动


从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是
过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过
桥的时间。
（1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米）
（2）过桥时间：6800÷400 = 17（分）
答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。
例2. 一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每
秒行多少米？
思路导航：
要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。
（1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米）
（2）火车的速度：600÷30 = 20（米）
答：这列火车每秒行20米。

例3. 某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长
216米的隧道 用了16秒钟，求这列火车的长度？
思路导航：
火车通过第一个隧道比通过第二个 隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原
因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144（ 米），这144米正好和8秒相
对应，这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长， 减去已
知的隧道长，就是火车长。
（1）第一个隧道比第二个长多少米？
360—216 = 144（米）
（2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？
24—16 = 8（秒）
（3）火车每秒行多少米？
144÷8 = 18（米）
（4）火车24秒行多少米？
18×24 = 432（米）
（5）火车长多少米？
432—360 = 72（米）
答：这列火车长72米。


二、巩固训练

- 20 -

智合教育……暑期蓝天行动

1. 某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17
秒，这列火车与另一 列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒
钟？
思路导航：
通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长。
（342—234）÷（23—17）= 18（米）„„车速
18×23—342 = 72（米） „„„„„„„„车身长
两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错 车结束，两车错车的总
路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程÷速度和 = 相遇
时间”，可以求出两车错车需要的时间。
（72 + 88）÷（18 + 22）= 4（秒）
答：两车错车而过，需要4秒钟。
2. 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，
问需要多少秒钟？

（265 + 985）÷25 = 50（秒）
答：需要50秒钟。

3. 一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒
行多少米？
（200 + 50）÷25 = 10（米）
答：这列火车每秒行10米。

三、拓展提升
1. 一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离
桥用了1分钟，求这座桥长多
少米？
1分 = 60秒
30×60—240 = 1560（米）
答：这座桥长1560米。

2. 一列货车全长240米，每 秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，
共用40秒钟，桥长150米，
问这条隧道长多少米？
15×40—240—150 = 210（米）
答：这条隧道长210米。

3. 一列火车开过一座长1200米的大桥，需要 75秒钟，火车以同样的速度
开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？
1200÷（75—15）= 20（米）
20×15 = 300（米）
答：火车长300米。


- 21 -

智合教育……暑期蓝天行动

4. 在上下行轨道上，两列火车相 对开来，一列火车长182米，每秒行18
米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒 钟，求另一列火车长
多少米？
（18 + 17）×10—182 = 168（米）
答：另一列火车长168米。

（五） 列方程解应用题
同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的逆
向问题。用算术方法解答比较 困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培
养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列 方程解应用题一般分为五
步：
（一）审题；（弄清已知数和未知数以及它们之间的关系）
（二）用字母表示未知数；（通常用“x”表示）
（三）根据等量关系列出方程；
（四）解方程求出未知数的值；
（五）验算并答题。

一、例题与方法指导
例1. 金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树252棵，比 五年级
1
植树总数的
4
倍少8棵，五年级植树多少棵？
1
思路导航：
11
1
六年级比五年级植树总数的
4
倍少8棵，就是六年级的
4
倍的数少8，等
1
1
于六年级植树的总 数。等量关系是：五年级的
4
倍－8＝六年级的植树总数。
1
解：设五年级植树x棵，根据题意列方程，得
1
1x8252

4

1
1x2528

4

1
1x260

4

1
x2601
4

x208

验算：把
x208
代入原方程
1
12088252
4
左边

- 22 -

智合教育……暑期蓝天行动

右边＝252
左边＝右边

x208
是原方程的解。
答：五年级植树208棵。

例2. 一瓶农药700克，其中水比硫磺粉的6倍还 多25克，含硫磺粉
的重量是石灰的2倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？
思路导航：
这是道比较复杂的“和倍应用题”，硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰
也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为x克。水的重量是硫磺的6倍还多25
1
x
2
克，也就是（6x＋25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2，也就是克。
等量关系式 表示为：
水＋硫磺粉＋石灰＝农药重量
解：设硫磺粉的重量是x克，那么 ，水的重量是（
6x25
）克，石灰重
1
x
2
量是克。根 据题意列方程，解。
1
x700
2

1
7x70025

2

.x675

75

x90

验算：把
x90
代入原方程
6x25x
左边
6902590
1
90700
2

右边＝700
左边＝右边

x90
是原方程的解。

例3. 两袋米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下
的第一袋刚好是第二袋的2倍，两袋原来各有多少千克？
思路导航：
题中告诉我们原来两袋 大米同样重，解答时可以设两袋大米原来各重x千克，
第一袋剩下的则是
(x18)
千克，第二袋剩下的则是
(x25)
千克。根据题意，第
一袋剩下的大米是第二袋剩 下的2倍，也就是说，如果把第二袋剩下的扩大2
倍就和第一袋剩下的相等。
解：设两袋大米原来的重量各为x千克，根据题意，列方程得

(x25)2x18


2x50x18


- 23 -

智合教育……暑期蓝天行动


2xx5018


x32

验算：左边
(3225)214

右边＝32－18＝14
左边＝右边
x＝32是原方程的解
答：两袋大米原来各重32千克。

二、巩固训练
7
1. 李红看一本小 说，上午看了60页，相当于下午看的页数的
8
又4页，李
红这天共看了多少页小说？
思路导航：
这道题和求的问题是这一天共看了多少页小说。题目中已知上午看了60页，所以，只要求出下午看的页数，就可以了。题目中明确告诉了我们等量关系即“上
7
午看了 60页，相当于下午看的页数的
8
又4页”。
7
等量关系：下午看的页数×
8
＋4＝上午看的页数
解：法（一）：设下午看了x页。
7
x460

8

7
x604

8

7
x56
8

7
x56
8

x64

60＋64＝124页
答：这天共看了124页。
解：解法（二）：这一天共看了x页。
7
(x60)460
8

77
x60460
8

8

7
x6052.54
8

7
x108.5
8


- 24 -

智合教育……暑期蓝天行动

x108.5
7
8

x124

答：这一天共看了124页。

2. 已知一个长方形的长是20米，如果把它的宽减少4米，新得到一个
5
长方形，它的面积想法于 原来长方形的面积的
7
，原来长方形的周长是多少？
思路导航：

这道题的所求问题是求原来长方形的周长，而题目中明确告诉了我们等量关
5
系即“新得到的 长方形的面积相当于原来长方形面积的
7
。”如果没有原来长方
形的宽为x米，原来长 方形的面积就是20x平方米；新的长方形的宽就是（x—4）
米；新的长方形面积就是
20 (x4)
平方米。

5
等量关系：原长方形面积×
7
＝新长方形面积
解：设原长方形的宽是x米
根据题意列方程，得
5
20(x4)20x
7

100
20x80x
7

100
20xx80
7

40
x80
7

40
x80
7

x14


(1420)268

答：原来长方形的周长是68米。


21
3. 两根绳共长90米， 已知第一根绳长的
5
等于第二根绳长的
2
，求两根
绳各长多少米？
思路导航：

- 25 -

智合教育……暑期蓝天行动

21
解答时，首先抓住题目中的等量关系“第一根绳长的
5
等于第 二根绳长的
2
”
再根据第一根绳长为（90－x）米，就可以列出方程。

21
等量关系：第一根绳长×
5
＝第二根绳长×
2

解：设第一根绳长x米，第二根绳长（
90x
）米，根据题意列方程，
得
21
x(90x)
2

5

21
x45x
2

5
9
x45
10

9
x45
10

x50

90－50＝40
答：第一根绳长50米，第二根绳长40米。

三、拓展提升
3

1. 甲乙两个粮仓共有粮食55万千克，如果甲仓运 出
5
，乙仓运出6万千
克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？
解：设甲仓原有粮食有x万千克，则乙仓原有粮食（
55x
）万千克。根据题意列方程，得
3
(1)x55x6
5

2
x49x

5

2
xx49
5

7
x49
5

7
x49
5

x35

55－35＝20
答：甲仓原有35万千克，乙仓原有20万千克。
2. 用5千克含盐20%的盐水，如果把它稀释为含盐15%的盐水，需要加水
多少千克？

- 26 -

智合教育……暑期蓝天行动

解：设需要加水x千克。

(5x)15%520%

.x025.

015
2
x1
3

2
答：需要加水
3
千克。
1
3. 有甲、乙 两筐苹果，如果从甲筐取10千克放入乙筐，则两筐相等；如
1
3
果从两筐中各取出1 0千克，这时甲筐余下的
10
比乙筐余下的
3
多5千克。求两
筐苹果 原来各多少千克？
解：设乙筐原有苹果x千克。
13
(x10)5(x2010)
310

1103
x5(x10)
310

3
123
x1x3
310

3

11
x1
3

30

x40

40＋20＝60
答：甲筐原有苹果60千克，乙筐原有40千克。
4. 同 学们到郊区野炊。一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，
他说领55个。又问“多少人吃饭”， 他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三
人一个汤碗。”算一算，有多少人吃饭。
解：设参加野炊活动的人数为x人。
11
xxx55
23

5
1x55

6

5
x551
6

x30

答：参加野炊活动的有30人。



（六） 抽屉原理


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如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放
的苹 果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1
个或不放，那么3个抽屉中放 的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的
已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少 于2个。
同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽
子。
以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理 1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的
物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2
件，那么每一个抽屉中的物品 或者是一件，或者没有。这样，n个抽屉中所放物
品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设 相矛盾，所以前面假定“这
n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成 立。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件，最
不利的情况就 是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入
1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少 有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了
抽屉原理1。

一、例题与方法指导
例1. 某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋
友？
分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366个抽屉，将367
名小朋友看 作367个物品。这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个
抽屉里不止放一个物品。因此 至少有2名小朋友的生日相同。

例2. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整
除？
分析与解：因为任何整 数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。我们将余
数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整 数除以3的余数属于哪种情形，就
将此整数放在那个“抽屉”里。
将四个自然数放入三个抽屉 ，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说
至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3 整除。

例3. 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
分析与解：根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0，1，2。现在，对
于任意的五个自然数， 根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，
于是可分下面两种情形来加以讨论。
第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余
数。因为这三个 数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三
个数之和能被3整除。
第 二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每
个抽屉里各取一个数，这三个数 被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之
和能被3整除。
综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。

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二、巩固训练
1. 有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总
数与桔子的总数都是偶数？ 分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、
偶性上来考虑抽屉 的设计。
对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每
堆水 果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：
（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），
其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶
性。
将 这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水
果里至少有2堆属于上述4种情 形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数
加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹 果的总数与桔子的总数
都是偶数。


2. 用红、蓝两种颜色将一个2× 5方格图中的小方格随意涂色（见右图），
每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的 颜色完全相同？

分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，
至少有一个抽屉中有不少于 两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。
在上面的几个例子中，例1用一年的366天作为366 个抽屉；例2与例3
用整数被3除的余数的三种情形0，1，2作为3个抽屉；例4将一条线段的10< br>等份作为10个抽屉；例5把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为
4个抽屉；例6将 每列中两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉。由此可见，
利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造 抽屉。

3. 在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之
间的距离不大于1厘米？
分析与解：把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下
图）。

将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到
这 10个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包

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括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会
大于1厘米。
所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之
间的距离不大于1 厘米。


三、拓展提升

1. 有5个小朋友，每人都从装 有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋
子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜 色的配组是一样的。

分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可 以有：3
黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋
作为 一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组
情况放入相应的抽屉.由于有 5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至
少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的 颜色配组是一样的。

2. 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少 人才能保
证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

分析与解答 扑 克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以
有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2 张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1
张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张 红桃，1张黑桃1
张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽< br>屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。

3. 从2、4、6、„、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个
数之和是34。
分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：

凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。
现从题目中的15个偶数 中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），
必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点， 这两个数的和是34。



（七） 不规则图形面积计算（1）

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我们曾经学过 的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和
扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形 .我们的面积及周长都有相应的公式
直接计算.如下表：













实 际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组
合、拼凑成的，它们的面积及周 长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图
形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及 周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过
实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关 系，问题就能解决了。
一、例题与方法指导
例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10
厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
思路导航：
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”
三角形 （△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

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例2 如右图，正方形A BCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积
彼此相等，求三角形AEF的面积 .
思路导航：
∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的
1
。
3
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样
C
重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5
平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
B
思路导航：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。
又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

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二、巩固训练

1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的
面积的
4
，求正方形ABCD的面积。
5
解：过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.
在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。
2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=
2
BC.求阴影部分的面积。
3
解：连结DF。∵AE=ED，
∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED
D
3. 如右图，正方 形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，
求它的宽DE等于多少厘 米？
解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.
∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，
∴S△AGD=AH×DG÷2，
∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），
∴DE=3.2（厘米）。
4. 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10
米，求阴 影部分面积.
解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2

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即45=（AD+BC）×6÷2，
45=（AD+10）×6÷2，
∴AD=45×2÷6-10=5米。
∴△ADE的高是2米。
△ EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，
5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
证明：连结CE，
ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，
而
∴
DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。
ABCD的面积与 DEFG的面积相等。



（八） 不规则图形面积计算（2）
不规则图形的另外一种 情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长
方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不 规则图形，为了计算它的面
积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之 转
化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B
之间有：S< br>A∪B
＝S
A
＋S
b
-S
A∩B
）合并使用 才能解决。
一、例题与方法指导

例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影
部分的面积。




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解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中< br>阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中
阴影部分的面积 等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上 ，如右图所示.
阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：将下面的半圆从中间切开，分 别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影
部分的面积是正方形的一半.
例2. 如 右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在
正方形内画圆，求阴影部 分面积。
解：由容斥原理
S
阴影
＝S
扇形ACB
＋ S
扇形ACD
-S
正方形ABCD





例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6 厘米，
扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。






例4. 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径， 且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）
的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。
分析 已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形
ABC面积大 7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积
减去7平方厘米，就可求出三角 形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.

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二、巩固训练
1. 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
分析 阴影部分的面积，等于 底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）的面积之差。
而（I）的面积等于边长为6的正方形的 面积减去
1
以6为半径的圆的面积。
4




2. 如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求
阴 影部分的面积（取π=3）.
解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径的半圆被 弦AD分
成两部 分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，
去掉AD弓形后，两个半圆 的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：




3. 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.




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4. 如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆 周上的中点，BC是半圆的直径，
且AB=BC=10，求阴影部分面积（π取3.14）。
解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰
直角三角形ACE，则AB CE为正方形（利用对称性质）。







总结：
对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组
合，分析 整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.
常用的基本方法
有：
一、 相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后
相加求出整 个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的
面积，再求出下面正方形的 面积，然后把它们相加就可以了.
二、 相减法：

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这种方法是将所求的不规则图形的面积 看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，
右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减 去里面圆的面积即可.
三、 直接求法：
这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出 不规则图形面积.如下页右上图，
欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为4的三角 形，面积可直
接求出来。
四、 重新组合法：
这种方法是将不规则图形拆开， 根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图
形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右 图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影
部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积 了.

五、 辅助线法：
这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线 ，使不规则图形转化成若
干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形 中阴影
部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.
六、 割补法：
这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规 则
图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切
割下来 补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
七、 平移法：
这种方法是将 图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个
新的基本规则图形，便于求出面积.例 如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间
切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这 样整个阴影部分恰是一个正方
形。

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八、 旋转法：
这种方法是 将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补
在另一图形的一侧，从而组合 成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图（1）
中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成
如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看 成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面
积.
九、 对称添补法：
这种方法是作出 原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面
积就是这个新图形面积的一半.例如， 欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作
关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面 积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：
这种方法是将所求的图形看成是两个或两 个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原
理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。例如，欲求 右图中阴影部分的面积，可先求两个扇
形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇 形重叠的部分.


（九） 逻辑推理

曾经爱因斯坦出过一道测试题, 他说世界上有98%的人回答不出!!让我们一
起来看看是什么题呢。
在一条街上有5座颜色 不同的房子，住着5个不同国家的人，他们抽着5种
不同的烟，喝着5种不同的饮料，养着5种不同的宠 物。有下面15个已知条件，
求解。
1、英国人住红色房子。
2、瑞典人养狗。
3、丹麦人喝茶。
4、绿色房子在白色房子左面。
5、绿色房子主人喝咖啡。

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6、抽Pall Mall香烟的人养鸟。
7、黄色房子主人抽Dunhill香烟。
8、住在中间房子的人喝牛奶。
9、挪威人住第一间房。
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁。
11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁。
12、抽Blue Master的人喝啤酒。
13、德国人抽Prince香烟。
14、挪威人住蓝色房子隔壁。
15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。
问:哪个国家的人养鱼?
这道题为什么会难倒这么多人呢，首先，我们就来研究一下关于他的最基本
的逻辑问题吧。

一、例题与方法指导

例1. 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别：
甲判断：不是铁，也不是铜。
乙判断：不是铁，而是锡。
丙判断：不是锡，而是铁。
经化验证明：有一个人的判断完 全正确，有一个人说对了一半，而另一个人
完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一 半的吗？
思路导航：
丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先设甲全对，推出矛盾后， 再设
乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。

例2. 数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，
一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测 ：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得
铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌， 谁得铜牌？
思路导航：
小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌。
（1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，
不合题意。
（2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的，
那么“小强不 得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌。

例3. 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、
丁进行了审问。四人分别供述如下：
甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”
乙说：“我没有做案，是丙偷的。”
丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。”
丁说：“乙说的是事实。”
经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。
同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？

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思路导航：
乙和丁是盗窃犯 。如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，
另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观 点一致，所以在剩下的三人中只能是
丙说了假话，乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯”。这样一来， 甲说的也是
对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是
真话 。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，
乙是罪犯。又由甲所述为真 话，即甲不是罪犯。再由丙所述为真话，即丁是罪犯。


二、巩固训练

1. 小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是
大学生。现在知道 ：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年
龄小。那么三人各是什么职业?
解：小李是大学生，小王是战士，小张是工人.

2. 甲、乙、丙分别是来自中 国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不
懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪 国的小朋友？
解：甲是日本人，乙是中国人，丙是英国人。

3. 徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们
都是象棋迷。
（1）车工只和电工下棋；
（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；
（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；
（4）陈师傅比钳工下得好。
问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？


徐是车工，王是钳工，陈是电工，赵是木工。

解：提示：由（2）（3）（1）可画出右表：




（十） 牛吃草

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大 的科学家牛顿
提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛

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吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断
地变化。解决牛吃草问题重点 是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草
是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长， 所以每天新长出的草量应
该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：

（ 1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃
的较少天数）÷（吃的较多天数 －吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础 。一般设每头牛每天吃草量不变，设为
，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长 草的数量，
再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。


一、例题与方法指导
例1.
青青一牧场
青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？
（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解说】这道诗题，是 依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英
国人，他的种种事迹早已闻名于世，这里不赘述 。他曾写过一本书，名叫《普遍
的算术》，“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来 是：

一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。）

解答这 一问题，首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的，而并非一个固
定不变的数值。这虽然大大地增加了 解题的难度，但我们不要害怕。只要依据下
面的思路，就一定会找到问题的答案。

思路导航：

因为27头6星期草料=（27×6=）162头一星期草料
23头9星期草料=（23×9=）207头一星期草料
而这一牧场6星期吃完与9星期 吃完，草料数量要相差207—162=45（头牛
吃一星期的草料）
这多出的草料，便是 9—6=3（个星期之内新长出的草料）
所以，一个星期新长出的草料便是
45÷3=15（头牛吃一星期的草料）
进而可知，这牧场最初的草料数量就是

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智合教育……暑期蓝天行动

（27—15）×6=72（头牛吃一个星期的草料）
现在，有21头牛来吃这牧场里的 草，其中必须拿出15头牛来吃每个星期新
长出来的草料，这就只剩下：21-15=6（头牛）
去吃最初已经长成的草料了。所以，21头牛来吃这牧场的草料，全部吃光
所需要的时间就是
72÷6=12（个星期）
列成综合算式，就是：
[27-（23×9—27×6）÷（9—6）]×6÷[21-（23×9—27×6）÷（9—6）]
=[27-45÷3]×6÷[21-45÷3]
＝12×6÷6
=12（个星期）

答：21头牛要12个星期才可以吃完。


例2. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6
天把草吃尽，同样 一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能
把草吃尽？
摘录条件：
27头 6天 原有草+6天生长草
23头 9天 原有草+9天生长草
21头 ？天 原有草+？天生长草
解答这类问题 关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为
，由条件可知，前后两次青草的问题相差为2 3×9-27×6=45。为什么会多出
这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出 来的，所以每天生长
的青草为45÷3=15
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长 的青草正好可以满足15头牛吃。
由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来 吃当天长
出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场
上有多 少青草呢？
（27-15）×6=72
那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
每天生长草量45÷3=15
原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）

例3. 一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，
6台同样的抽 水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？
摘录条件：
5台 20天 原有水+20天入库量
6台 15天 原有水+15天入库量
？台 6天 原有水+6天入库量
设1台1天抽水量为，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90
每天入库量(100-90)÷(20-15)=2

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20天入库2×20=40，原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12（台）

二、巩固训练
1、某车站在 检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消
失（还有人在接受检票）， 若开5个检票口，要30分钟，开6个检票口，要20分钟。如
果要在10分钟消失，要开多少个检票口 ？
解：把每个检票口一分钟检票量作为1份，则每分钟来的旅客为：
﹙5×30-6×20﹚÷﹙30-20﹚=3份 开始检票前有旅客：5×30－30×3=60份
所以要10分钟剪完票，需要看开﹙60＋3×10﹚÷10=9个
2、画展9点开门，但早 有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样
多，如果开3个入场口，9点9分就不 再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有
人排队。求第一个观众到达的时间。
解：设每一个入场口每分钟通过“1份”人。
每分钟到来的人有﹙27-25﹚÷﹙9-5﹚=0.5份人
开门前已经有27-0.5×9=22.5份人
这些人来到画展，用时间22.5÷0.5=45（分）
第一个观众到达的时间为9点-45分=8点15分
3、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天 匀速减少。经过计算，牧场上的草可供20头牛吃5
天，或者供16头牛吃6天，那么这片牧场上的草可 供11头牛吃几天？
解：20头牛5天吃草20×5=100（份），16头牛6天吃草16×6=96（份）
青草每天减少（100-96）÷﹙6-5﹚=4（份） 牧场原有草：100+4×5=120（份）
每天减少4份草，相当于4头牛吃掉，所以120份草可供11＋4=15头牛吃8天。
4、由于天气 逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果牧场上
的草可供20头牛吃5天， 或者供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？
解：青草每天减少（20×5-15×6）÷﹙6-5﹚＝10（份）
牧场原有草：100+10×5=150（份） 150份草10天可供150÷10=15（头）
但每天减少10份，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛：15-15（头）

三、拓展提升
1. 自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶，小明和小红要从扶梯上楼，小明每 分钟走20梯
级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共 有多
少级？
解：电梯每分钟走20×4-14×5=10（级）
所以扶梯共有（20＋10）×4=120（级）

2. 两只蜗牛由于耐不住阳光 的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能
走20分米，另一只只能走15分米；黑夜 里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5
昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是 多少？
解：蜗牛黑夜下滑的速度为﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5﹚=10（分米）。
井深：﹙20+10﹚×5=150（分米）

3. 有三块草地，面积分别是5公顷，15 公顷和24公顷。草地上的草一样厚而且长得一样
快。第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可 供28头牛吃45天。那么第三块草地可供多

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少头牛吃80天？
解：一头牛一天吃草量为1份
10×30=300 „„„„„„5公顷草量+5公顷30天生长量
300÷5=60 „„„„„„1公顷草量+1公顷30天生长量
28×45=1260 „„„„„„15公顷草量+15公顷45天生长量
1260÷15=84 „„„„„„1公顷草量+1公顷45天生长量
﹙84-60﹚÷﹙45-30﹚=1.6 „„„„„„1公顷1天生长量
1公顷草地原有草：60-1.6×30=12
24公顷草地原有草够多少头牛吃80天：12×24÷80=3.6（头）
24公顷草地每天生长的草够多少头牛吃：1.6×24=38.4（头）
共3.6+38.4=42头

4. 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部 牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上
全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全 部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且
每公亩牧场上每天生长草量相等）？
解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？
﹙63×21÷30-12×28÷10﹚÷﹙63－28﹚＝0.3（头）
一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？
12×28÷10-0.3×28=25.2（头）
72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？
72×25.2÷126+72×0.3=36（头）



（十一） 流水行船

船在流水中航行的问题叫做行船问题。行船问题是行程问题中 比较特殊的类
型，它除了具备行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系，同时还涉及
到 水流的问题，因船在江、河里航行时，除了它本身的前进速度外，还会受到流
水的顺推或逆阻。
行船问题中常用的概念有：船速、水速、顺水速度和逆水速度。船在静水中
航行的速度叫船速；江河水 流动的速度叫水速；船从上游向下游顺水而行的速度
叫顺水速度；船从下游往上游逆水而行的速度叫逆水 速度。
除了行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系在这里要反复用到
外，行船问题 还有几个基本公式要用到。
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速－水速
如果已知顺水速度和逆水速度，由和差问题的解题方法，我们可以求出船速
和水速。
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2


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水速=（顺水速度－逆水速度）÷2

一、例题与方法指导

例1. 船在静水中的速度为每小时13千米，水流 的速度为每小时3千米，
船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港需要多少小时？
思路导航：

根据条件，用船在静水中的速度+水速=顺水速度，知道了顺水速度和顺 水时
间，可以求出甲乙两港之间的路程。因为返回时是逆水航行，用船在静水中的速
度-水速= 逆水速度，再用甲乙两港之间的全长除以逆水速度即可求出乙港返回甲
港所需时间。
解： 顺水速度：13+3=16（千米小时）
逆水速度：13-3=10（千米小时）
全程：16×15=240（千米）
返回所需时间：240÷10=20（千米小时）
答：从乙港返回甲港需要24小时。

例2. 一艘小船往返于一段长120千米的 航道之间，上行时行了15小时，
下行时行了12小时，求船在静水中航行的速度与水速各是多少？
思路导航：

求船在静水中航行的速度是求船速，用路程除以上行的时间就是逆行速度 ，
路程除以下行时间就是顺水速度。顺水速度与逆水速度的和除以2就是船速，顺
水速度与逆水 速度的差除以2就是水速。
解：逆水速度：120÷15=8（千米小时）
顺水速度：120÷12=10（千米小时）
船速：（10+8）÷2=9（千米小时）

水速：（10-- 8）÷2=1（千米小时）

答：船在静水中航行的速度是每小时9千米，水速是每小时1千米。

例3. 甲、 乙两港相距200千米。一艘轮船从甲港顺流而下10小时到达
乙港，已知船速是水速的9倍。这艘轮船 从乙港返回甲港用多少个小时？
思路导航：

根据甲、乙两港的距离和从甲港到乙港 的时间可以求出顺水速度是每小时
200÷10=20（千米小时），顺水速度是船速与水速的和，已知 船速是水速的9
倍，可以求出水速是20÷（1+9）=2（千米小时），船速为2×9=18（千米小 时），
逆水速度为18-2=16（千米小时）
解：顺水速度：200 ÷10=20（千米小时）
水速：20÷（1+9）=2（千米小时）
船速：2×9=18（千米小时）
逆水速度：18-2=16（千米小时）
返回时间：200÷16=12.5（小时）
答：这艘轮船从乙港返回甲港用12.5个小时。

二、巩固训练
1. A、B两港间相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆流航行比

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顺流航行多花了5小时。另有一艘 机帆船，静水中速度是每小时12千米，这艘
机帆船往返两港要多少小时？
【思路导航】先根据和差问题的解题思路，分别求出顺行时间和逆行时间；再
根据两港相距360千米和轮船的顺 行时间、逆行时间求出轮船的顺行速度和逆行
速度；求出了顺行速度和逆行速度就可以求出水流的速度； 最后，根据两港相距
360千米和机帆船的船速、水速可求出机帆船顺流航行和逆流航行的时间，两者< br>相加的和即是所求的问题。
解：顺行时间：（35-5）÷2=15（小时） 逆行时间：35-15=20（小
时）
顺水速度：360÷15 = 24（千米小时） 逆水速度：360÷20=18
（千米小时）
水速：（24-18）÷2=3（千米小时）
往返时间：360÷（12+3）+360÷（12-3）=64（小时）
答：这艘机帆船往返两港要64小时。

2. 甲、乙两只小船在静水中速度分别为 每小时12千米和每小时16千米，
两船同时从相距168千米的上、下游两港同时出发相向而行，几小 时相遇？如果
同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时乙船追上甲船？

【思路导航 】
此题为水中相遇问题和追及问题，甲、乙两船一个顺流，一个逆
流，那么它们的速度和为甲、 乙两只小船在静水中速度的和，而水中的追击问题
不论两船同向逆流而上还是顺流而下速度差均为甲、乙 两只小船在静水中速度的
差，因此用路程÷速度和=相遇时间，路程÷速度差=追及时间
解：相遇时间：168÷（12+16）=6（小时）
追及时间：168÷（16-12）=42（小时）
答：6小时相遇；42小时乙船追上甲船。

3. 一艘轮船从上游的甲港到下游的乙港，两港间的水路长72千米。已知这
艘船 顺水4小时能行48千米，逆水6小时能行48千米。开船时，一个小朋友放
了个木制玩具在水里，船到 乙港时玩具离乙港还有多少千米？
【思路导航】
根据条件，先求出轮船的顺水速度和逆水速度 ，然后很容易求
出船速和水速，此时的水速也就是玩具运动的速度，轮船和玩具都是顺流而下，
它们每小时相距一个速度差，再用全长72千米除以轮船的顺行速度，得出轮船
的顺行时间，用顺行时间 乘以速度差即可。
解：顺水速度：48÷4=12（千米小时） 逆水速度： 48÷6=8（千米小
时）
船速：（12+8）÷2=10（千米小时） 水速：（12-8）÷2=2（千米小
时）
船到甲港的时间：72÷（10+2）=6（小时）
玩具离乙港的距离：6×（10+2-2）=60（千米）
答：船到乙港时玩具离乙港还有60千米。

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（十二） 奇数与偶数 < br>能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的叫做奇数。奇数平常也叫做单数，
偶数也叫做双数。0 也是偶数。所以。一个整数不是奇数，就是偶数。
奇数和偶数的运算有如下一些性质：
1．偶数±偶数=偶数；奇数±奇数=偶数；偶数±奇数=奇数。
2．奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数。
3．如果一个偶数能被奇数 整除，那么，商必是偶数。偶数除以，如果能整
除，商可能是奇数，也可能是偶数。奇数不能被偶数整除 。
4．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1。

一、例题与方法指导

例1. 用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们
的和是 奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？
思路导航：
有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果
达到全部要求。
这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的
和是奇数的要求。
要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十
位上，即十位上放5，6，7 ，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定
义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数 ，即个位是1和3的两个两位数。
要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规 律，这五个
数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数
的和 是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要
使五个数有奇数个奇数，并且 五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一
个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽 可能小，由此得到交换5
与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9 ，个
位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1 +2+3+5）
=351。
例2. 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2只杯子。能否
经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？
思路导航：
盲目的 试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上
的杯子数的奇偶性，就会发现问题所 在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；
第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻 转，因为只能翻转两
只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能
是偶数0。也就是说 ，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例3. 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）

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只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
思路导航：
当m是奇数时，（m -1）是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，
那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下） 的杯子数的奇偶性不会改变。一开始
m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m -1）即偶数
只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。
当m是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，
在下表中用∪表示杯 口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的
杯子用*号标记。翻转情况如下：

由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就
可达到要求。 一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。
对于m只杯子，当m是偶数时，因为（ m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）
次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻 转m次，并且依次保持
第1，2，„，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，
即都翻转了（m-1）次。
综上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m是 奇数时，无
论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，
可以 使m只杯子全部改变初始状态。

例4. 一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后 的页数分别是1，2，
3，„，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每
篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
思路导航：
可以先研究排版一本书，各 篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数
页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是 相同的，即排版奇数页
的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的< br>第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的
页码的奇偶性是相 异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后
一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇 文章的第一面又是排在奇（偶）数页
码上。
以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考 虑有偶数页的文章，只
要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有< br>偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有
奇数页的文章，第 一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数
页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上， 如此等等。在8篇奇数页的文章中，
有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11（篇）文 章的第一面排在

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奇数页码上。

二、
巩固训练

1. 有大、 小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小
盒内装有足够多的黑棋 子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，
则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内 ；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。
问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还 剩几枚棋子？它们都是什么颜色？
解答
大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。
因为每次都是摸出2枚棋子 放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，
还剩2001-1999=2（枚）棋子 。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：
（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从 小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸
两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋 子同是白色，这时大盒内多
了一枚黑棋子。
（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一 白。这时要把拿出的白棋子放回到大
盒，大盒内少了一枚黑棋子。
综合（1）（2），每摸一 次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了
黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚 即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了
1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩 下2枚棋子，所以最后剩下的
两枚棋子是一黑一白。
2. 一串数排成一行：1，1，2，3 ，5，8，13，21，34，55，„到这串数的
第1000个数为止，共有多少个偶数？
分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。
1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，„
这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇
偶 数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：
奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，„„
容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。
1000÷3=333„ „1，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三
个数中有1个偶数，并且是第3个数，所 以这串数到第1000个数时，共
有333个偶数。
三、
拓展提升

1.在11，111，1111，11111，„这些数中，任何一个数都不会是某一个自然
数的平方 。这样说对吗？
2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，„，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后

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智合教育……暑期蓝天行动

每一个故事都从新一页码开始。如 果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那
么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3. 桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转
5只杯子，那么至少翻转多少次 ，才能使6只杯子都杯口朝上？
4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好 等于它两
边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，„问：
最右边的一个数是奇数还是偶数？
5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他： “今天发放
的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的
其它 号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。”今天发放的运动员号码加起
来，到底是奇数还是偶数？
6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作
下去，最后得到8 8，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？

答案
1.对。提 示：因为平方数能被4整除或除以4余1，而形如111„11的
数除以4的余数与11除以4的余数相 同，余3，所以不是平方数。
2.5个。提示：与例4类似分析可知，先排9个奇数页的故事，其 中
有5个从奇数页开始，再排8个偶数页的故事，都是从偶数页码开始。
3.3次。提示：见下表。

4.偶数。

提示：这行数的前 面若干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，
987，2584，„
这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，„„
从前到后按一偶二奇的顺序循 环出现。70÷3=23„„1，第70个数是
第24组数的第一个数，是偶数。
5.偶数。

- 51 -

智合教育……暑期蓝天行动

提示：号码总和等于100加上小明号码的2倍。
6.不能。
提示：如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个
奇数一个偶数。

（十三） 周期性问题

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断 重复出现。如：人调查十二
生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬 四
个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我
们称为简单周 期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔 细审题，判断其不断重复出现的
规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里 的最后
一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大
小得出正 确的结果。

一、例题与方法指导
例1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____.
思路导航：
因为7

4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，
且2月1日与2月29 日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日
起到这年6月1日共经过了
31+30+31+1=93(天).
因为937=13„2，所以这年6月1日是星期二.

例2. 1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____.
思路导航：

依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365

10+2=3652（天）
因为（3652+1）

7=521„6，所以再过十年的12月5日是星期日. < br>[注]上述两题(题1—题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解
答这类问 题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年
一闰，整百不闰，四 百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就
是闰年，公历年数为整百数时，必 须是400的倍数才是闰年.

例3. 按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的.

„„

- 52 -

智合教育……暑期蓝天行动

思路导航：
从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是
这一排列的周期为6 ，并且每一周期有3个白色三角形.
因为80

6=13„2，而第十四期中前两个 三角形都是黑色的，所以共有白色
三角形13

3=39（个）.

例4. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、
黄、绿各一盏彩 灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏
彩灯,小明想第73盏灯是_____ 灯.
思路导航：
依题意知,电灯的安装排列如下:
白,红,黄,绿,白,红,黄 ,绿,白,„„这一排列是按“白，红，黄，绿”交替
循环出现的，也就是这一排列的周期为4.
由73

4=18„1,可知第73盏灯是白灯.

例5. 时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示
的时间是_____.
思路导航：
分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小
时 ,1991

24=82„23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过8 2天仍
然是14时正,再过23小时,正好是13时.
[注]在圆面上,沿着圆周把1到12 的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短
针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的 简单平常,但在钟面上却包含着十分有
趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.

二、巩固训练
1. 把自然数1,2,3,4,5„„如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____
列.
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
1

10

„

2. 把分数
2
9
11
18
„
„
3
8
12
17
„
„
4
7
13
16
„
„
5
6
14
15
„
„
4
化成小数后，小数点第110位上的数字是_____.
7

9 92517

4567

与
0.3

.这两个循环 小数在小数点后第_____位,3. 循环小数
0.1
首次同时出现在该位中的数字都是7.
4. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,
„„共有1991个数.

- 53 -

智合教育……暑期蓝天行动

(1)其中共有_____个1,_____个9_____个4；
(2)这些数字的总和是_____.
10. 7

7

7

„„

7所得积末位数是_____.



50个


答案：
6. 3
仔细观察题中数表.
1 2 3 4 5 (奇数排)
第一组
9 8 7 6 (偶数排)
10 11 12 13 14 (奇数排)
第二组
18 17 16 15 (偶数排)
19 20 21 22 23 (奇数排)
第三组
27 26 25 24 (偶数排)

可发现规律如下:
(1)连续自 然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四
个数的规律循环排列；
(2 )观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9
除余数为1,第2列用9除 余数为2,„，第5列用9除余数为5.
(3)10

9=1„1，10在1+1组，第1列
19

9=2„1，19在2+1组，第1列
因为1992

9= 221„3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3
列数的位置上.
7. 7
4
=0.57142857„„
7
它的循环周期是6，具体地六个数依次是
5，7，1，4，2，8
110

6=18„2
因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.
8. 35
. . . .
因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5, 又5和7的最小
公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.
9. 853,570,568,8255.
不难看出,这串数每7个数 即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每
个周期中有3个1,2个9,2个4.因 为19917=284„3，所以这串数中有284个周
期，加上第285个周期中的前三个数1，9 ，9.其中1的个数是:3284+1=853(个),9

- 54 -

智合教育……暑期蓝天行动

的个数是2284+2=570(个),4的个数是2284=568(个).这些数字的总和为
1853+9570+4568=8255.


三、拓展提升
1. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘
积的个位数.例 如8

9=72,在9后面写2,9

2=18,在2后面写8,„„得到一 串数
字:
1 9 8 9 2 8 6„„
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和
末两位数是多少？
3. 设
n
=2

2

2

„„

2，那么
n
的末两位数字是多少？


1991个
4．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1
厘米的短木棍有多少 根？


答案：11. 依照题述规则多写几个数字:
86884„„
可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为
6.因 为(1989-4)

6=330„5，所以所求数字是8.
12. 1991个 1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相
乘的积末两位数即可.1个19 91末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是
81,3个1991相乘的积末两位数是71, 4个至10个1991相乘的积的末两位数分
别是61,51,41,31,21,11,01,11个 1991相乘积的末两位数字是91，„„，由此
可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现， 即周期为10.因为1990

10=199,
所以1990个1991相乘积的末两 位数是01,即所求结果是01.
13.
n
是1991个2的连乘积,可记为< br>n
=2
1991
,首先从2的较低次幂入手寻找
规律,列表如下:

n
的十
n
的个
n
的十
n
的个< br>n

n

位数字 位数字 位数字 位数字
2
1
0 2 2
12
9 6
213
2 0 4 2 9 2
314
2 0 8 2 8 4
415
2 1 6 2 6 8
516
2 3 2 2 3 6
617
2 6 4 2 7 2
2
7
2 8 2
18
4 4
2
8
5 6 2
19
8 8

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智合教育……暑期蓝天行动

2
2
10

2
11

9
1
2
4
2
4
8
2
2
21

2
22

20
7
5
0
6
2
4

观察上表,容易发现自2
2
开始每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,
周 期为20.因为1990

20=99„10，所以2
1991
与2
11
的末两位数字相同，由上表知
2
11
的十位数字是4，个位数字是8.所 以,
n
的末两位数字是48.
14. 因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我
们可以看作是从同一端点染色.
6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会
出现循环,每 一周的长度是30厘米,如下图所示.


6
12 18 24
30 96
100
. . . . . .
.

5 10 15 20 25
90
95



由图示可知 长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期
中,6-5=1,5

5-6
4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有
7段.综合算式为:
2

[(100-10)

30]+1
=2

3+1
=7(段)
[注]解决这一问题的关键是根据整除 性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右
的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易 .


（十四） 植树问题

只要我们稍加留意，都会看到在马 路两旁一般都种有树木。细心观察，这些
树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在 着确定的关系，
我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封
闭型的（开放型的）。
封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系： < br>1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、
间距、棵数的关系 是：

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智合教育……暑期蓝天行动

但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：
如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵
数的关系就是：
2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：


植树问题的三要素：
总路线长、间距(棵距)长、棵数．
只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
植树问题的分类：
⑴直线型的植树问题 ⑵封闭型植树问题 ⑶特殊类型的植树问题

一、例题与方法指导

例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂
柳多少棵?
思路导航：

每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长 1000
米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树
中间种植2株夹枝桃，可栽柳树 多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距
多少米?
思路导航：

在 圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树
=1350÷9=150株；由于两株 柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）
为150，所以栽夹枝桃的株数=2×150=300 株；每隔9米种柳树一株，在两株夹
枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2 株等距离栽
在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9÷(2+1)=3(米)。

- 57 -

智合教育……暑期蓝天行动

例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现
在要进行调整，变 成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还
有几个牌不需要移动？
思路导航：
16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间 隔，
这条街的总长度为8×15＝120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么
不移 动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；
8×3=12×2=24，也就是说，每 24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；
120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个， 所以，中间不需要移动的有
5-1=4个。
事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题 的总称，并不单指植树问
题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题
的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。

二、巩固训练

1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层
走到4层需要48秒，请问以同 样的速度走到八层，还需要多少秒？
思路导航：：
要求还需要多少秒才能到达，必须先求出 上一层楼梯需要几秒，并且知道从
4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到4层，事实所爬的层数只 是4-1=3
层，所以上一层楼梯需要的时间是48÷（4-1）=16（秒）；又，从4楼走到8楼< br>共需走8-4=4层楼梯，所以还需要的时间是16×4=64秒。
2 光华路小学三年级学生 有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前
后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟 45米的速度通过主席台需要
多少分钟?
思路导航：：
125人参加运动会入场式 ，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么这里25
行就相当于直线上的25棵树，所以，这列队 的长度为两端植树的路的长度，全
长是2×(25-1)=48米；这列队伍通过主席台，所走的总路程 应该是队伍长度与
主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是90÷4 5=2
分钟。
3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样
的铁环连在一起有多长？
思路导航：：
根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有2

- 58 -

智合教育……暑期蓝天行动

个厚度是重叠的，也就是说实际每 加一个铁环所延伸的长度为4厘米-2×6毫米
=40毫米-12毫米=28毫米； 根据我们前面所讲 的植树问题，五个铁环连在一起，
“环扣”数为5-1＝4(个)，所以，五个大小相同的铁环连在一起 时，总长度为
40+4×28＝152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1)
×28=292(毫米)。
4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5
分钟，共需多少分钟?
思路导航：：
要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里
面包 含有24÷3=8个3米，8段有8-1=7个间隔，即木工只需锯7次，
那么，每次5分钟,一共需要 用时5×7=35分钟。


三、能力提升
1 一个街心花园如下图所示 ，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从
每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花 。问大三角形边上栽有
多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

思路导航：：
由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的2倍，因为每个小三角形的
边上均匀栽9株， 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，
所以，大三角形的每条边上栽的棵数为：9 ×2-1=17棵；又大三角形三个顶点上
栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以，大三角形三条边上 共栽花：（17-1）
×3=48棵；再看图中间的阴影小三角形，每边所栽花的棵数就是一个两端不种
树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵，中间共栽花：
7×3=21 棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。

2 时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

思路导航：：
4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为
12÷（4－1）=4秒 ；12点敲12下，中间有11个间隔，所以一共需要4×（12
－1）=44秒敲完。

3 铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经
过第1根电线杆起 到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？
思路导航：：
从第1根电线杆起 到第37根电线杆，共有37-1=36个间隔；每隔50米有一
根电线杆，也就是说间隔为50米；那 么，行使的总路程为：50×（37－1）=1800
米；2分钟=2×60秒=120秒，共行180 0米，所以，火车速度为：1800÷120＝
15米／秒。



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智合教育……暑期蓝天行动

（十五） 有趣的树阵图

把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数< br>阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种
数阵图，即封闭型 数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解
数阵图的分析思考方法，我们举例说明.

一、例题与方法指导
例1. 在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九 个自然数（其中
已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

思路导航：

由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x， 然后根据任一行、
任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。

因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，< br>即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，
当x＝6 或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两
个解（见下图）。这两个解实际 上一样，只是方向不同而已。

例2. 将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三
个数之和都相等，则一定有


- 60 -

智合教育……暑期蓝天行动

证明：
思路导航：

设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角 线上的三个数之和都等
于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下 图）。

根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），
3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，
d——c＋b＝d——a＋c，
2c＝a＋b，
a＋b
c＝2。
值得注意的是，这个结论对于a和 b并没有什么限制，可以是自然数，
也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。
例3. 在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每
一条对角线上的三个数之和都等于90 。

思路导航：

由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2 知，右上角的数为（23
＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。

例4. 在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对
角线上的三个数之和都相等。

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智合教育……暑期蓝天行动


思路导航：

由例2知，右下角的数为

（8＋10）÷2= 9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），
且每行、每列、每条对角线上的三数 之和都等于7×3=21。由此可得如图的填法。

二、巩固训练
1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等.





2. 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.






3. 把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.






4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.







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智合教育……暑期蓝天行动

5. 将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.






答案：
1.
a
.
b
.
c
.

1 1

6
5 5 6


2
2 3 3
4 4

2
6
1
5
4
3

d
.
e
.
f
.
2 3
3









4
3
2.
5
1
5
6 4
6
1
8 3
7
2
3
9
4
8 1 7
2
7
5 1
6
4
8
1
5
6
4
2 2
4
6
5
1
b
. 3.
a
.
2







4.





5.
9
5
3
6
5
8
1
6
4
9
3
7
10
2

- 63 -

智合教育……暑期蓝天行动



a
.
b
.
c
.
1
2 4 3 8
1
2
5 6
6 5
2
7
8
3
7 8
4
4
1
7
3
5
6




（十六） 有趣的树阵图练习

1. 把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.








2. 把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的
和也相等.










3. 把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.





4. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.

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智合教育……暑期蓝天行动






-
÷
=
=
+
=
- 65 -
× =
5. 把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相
等.





6. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.








7. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.




8. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.






9. 把17,23,25,31,46,53,58,6 6,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意
三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.








答案：

智合教育……暑期蓝天行动

1.
a
.
b
.
c
.















3.




4.
7
2
1
4
5
3
6 5
3
7
1
4
2
6 4
3
6
1
7
2
5
2.
9
8
15 2
10
7
7
5 9
6
1
16
12
5
13
3
11
6
14
8
4
4
6
- 5 = 1

+
÷

3 7

2 × 4 =
8

5.
8
6
1


9
4
0
5
7

2 3


6.
11

1
7 10

5 2

6

4 3

8 9


7.
6 1

3 8
= =

2
7
5
4
- 66 -

智合教育……暑期蓝天行动





8.

3
8
6

1
9

4
7

5 2

9.
94
88
23
100
17
53
25
66
58
72
46
31







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