五年级奥数-质数和合数(教师版)
枣庄八中-大学四年规划书
第十三讲 质数和合数
1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
注： ①
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
④
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
2、100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：
奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
3、常见最大、最小
A的最小因数是：1；
最小的奇数是：1；
A的最大因数是：本身； 最小的偶数是：0；
A的最小倍数是：本身； 最小的质数是：2；
最小的自然数是：0；
最小的合数是：4；
4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图
例：
分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行
分解了；如
果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解<
br>质因数是：36=2×2×3×3
5、用短除法分解质因数
（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
例：
分析：看上面两个例子，分别是用
短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，
竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤
是：
6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
7、两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；
⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质；
教学重点：质数和合数的概念。
教学难点：正确判断一个常见数是质数还是合数。
1.两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.
答案：420
解析：首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是
两个
连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是20
21=420.
2. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.
□+□+□=50
答案：2、5、43
解析：接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即
2+5+43=50
另外,还有
2+19+29=50
2+11+37=50
[注]填法不是唯一的.如也可以写成
41+2+7=50
3.三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.
答案：11,12,13
解析：将1716分解质因数得
1716=2
2
3
11
13
=11
(2
2
3)
13
由此可以看出这三个数是11,12,13.
4.
找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.
答案：88
解析：先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和.
1992=2
2
2
3
83
所以1992所有不同的质因数有:2,3,83.它们的和是
2+3+83=88.
5.
把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.
解析：先把1
4,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两
组中,使两组数
乘积相等.
14=7
2
20=2
2
5
21=3
7
28=2
2
7
30=2
3
5 7
从上面五个数分解质因数来看
,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此
每组数中一定要含三个2,一个3,一个
5,二个7.
六个数可分成如下两组(分法是唯一的):
第一组: 7、28、和30
第二组：14、21和20
且7
28
30=14
21
20=5880满足要求.
[注]解答此题的关键是审题,抓
住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实
质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数
出现的次数也相同.
先把14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共
有哪几个质因数,再分摊在两组中,
使两组数乘积相等.
14=7
2
20=2
2
5
21=3
7
28=2
2
7
30=2
3
5 7
从上面五个数分解质因数来看
,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此
每组数中一定要含三个2,一个3,一个
5,二个7.
六个数可分成如下两组(分法是唯一的):
第一组: 7、28、和30
第二组：14、21和20
且7
28
30=14
21
20=5880满足要求.
[注]解答此题的关键是审题,抓
住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实
质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数
出现的次数也相同.
6.
学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪
几种分法?
解析：把1430分解质因数得
1430=2
5
11
13
根据题目的要求
,应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100到200之
间，于是得三种答案：
（1）2
5
11=110；
（2）2
5
13=130；
（3）11
13=143.
所以,有三种分法:一种是分为13队,每队
110人；二是分为11队，每队130人；三是
分为10队，每队143人.
A
1. 在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.
答案： 99
解析：100,98是偶数,99是3倍数,从而知97是1~100中最大的质数,又最小的质数是<
br>2,所以最小的质数与最大的质数的和是99.
2. 小明写了四个小于10的自然数,它们的
积是360.已知这四个数中只有一个是合数.
这四个数是____、____、____和____.
答案：3,3,5,8
解析：根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将3
60分解质因数
得:360=2
2
2
5
3
3
所以,这四个数是3,3,5和8.
3. 把23
2323的全部质因数的和表示为
AB
,那么
A
B
AB
=_____.
答案：1992
解析：依题意,将232323分解质因数得
232323=23
10101
=23
3
7
13
37
从而,全部不同质因数之和
AB
=23+3+7+13+37=83
所以
,
A
B
AB
=8
3
83=1992.
4. 有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是
1620,这三
个学生年龄的和是_____.
答案：36岁
解析：根据三个学生
的年龄乘积是1620的条件，先把1620分解质因数，然后再根据
他们的年龄一个比一个大3岁的条
件进行组合.
1620=2
2
3
3
3
3
5
=9
12
15
所以,他们年龄的和是9+12+15=36(岁)
5.
两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.
答案：83,24
解析：先把1992分解质因数,再根据两个数的和是107进行组合
1992=2
2
2
3
83
=24
83
24+83=107
所以,这两个数分别是83和24.
B
6.如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.
答案：14
解析：根据两数之积能整除4875,把4875分解质因数,再根据两数之和为64进行组合.
4875=3
5
5
5
13
=(3
13)
(5
5)
5
=(39
25)
5
由此推得这两数为39和25.它们的差是39-25=14.
7. 某一个数,与它自己相
加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.
这个数是_____.
答案：15
解析：解法一
因为相同两数相加之和为原数的2倍,相减之差为零,相
乘之积为原数乘以原数,相除之
商为1.所以原数的2倍加上原数乘以原数应是256-1=255.把
255分解质因数得:
255=3
5
17
=3
5
(15+2)
=15
2+15
15
所以,这个数是15.
解法二
依题意,原数的2倍+0+原数
原数+1=256,即
原数的2倍+原数
原数=256-1
原数的2倍+原数
原数=255
把255分解质因数得
255=3
5
17
=15
(15+2)
=15
2+15
15
所以,这个数是15.
8.
有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5<
br>个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是<
br>____________.
答案：21、22、65、76、153；34、39、44、45、133.
解析：先把1
0个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这10个
数分成两组:
21=3
7
22=2
11
34=2
17
39=3
13
44=2
2
11
45=3
3
5
65=5
13
76=2
2
19
133=7
19
153=3
3
17
由此可见,这10个数中质因数共有6个2
,6个3,2个5,2个7,2个11,2个13,2个17,2
个19.所以,每组数中应包含3个2
,3个3,5、7、11、13、17和19各一个.于是,可以这样
分组:
第一组数是:21、22、65、76、153；
第二组数是:34、39、44、45、133.
[注]若将分为两组拓广分为三组,则得到
一个类似的问题(1990年宁波市江北区小学五
年级数学竞赛试题):
把20,26,33
,35,39,42,44,55,91等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.
答案是如下分法即可:
第一组：20，33，91；
第二组：44，35，39；
第三组：26，42，55.
9.
有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原
两位数整除.
答案：12
解析：设这样的两位数的十位数字为
A
，个位数字为
B
，由题意依据数的组成知识，可
知100
A
+
B
能被10<
br>A
+
B
整除.
因为100
A
+
B
=90
A
+(10
A
+
B
),由数的整除性质可知90A
能被10
A
+
B
整除.这样只要把90
A
分
解组合,就可以推出符合条件的两位数.
A
1
2
3 4 5 6 7
8 9
10
9
40
9
90
A
15
6 20
9
30
9 50
9 60
9
70
9 80
9 90
9
45
8
18
5
10,15
20
AB
18
30 40,45 50 60 70 80 90
90
A
=2
3
5
A
所以,符合条件的两位数共12个.
10. 主人对客人说：“院子里有三个小孩
，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是
我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗
？”客人想了一下说：“我还不
能确定答案。”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很
小的孩子，我知道
他们的年龄了。”主人家的楼号是_____ ,孩子的年龄是_____.
答案：14；3岁，3岁，8岁
解析：因为三个孩子年龄的积是72，所以，我们把72分解
为三个因数（不一定是质因
数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过15岁，所以所有不同的乘积式是
72=1
6
12=1
8
9
=2
3
12=2
4
9
=2
6
6=3
3
8
=3
4
6
三个因数的和分别为：19、18、17、15、1
4、14、13.其中只有两个和是相等的,都等
于14.14就是主人家的楼号.如果楼号不是14,
客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判
断,说明楼号正是14.亦即三个孩子年龄的和为14.此
时三个孩子的年龄有两种可能:2岁、6
岁、6岁；或3岁、3岁、8岁.当他看到有两个孩子很小时,
就可以断定这三个孩子的年龄
分别是3岁、3岁、8岁.主人家的楼号是14号.
C
11．甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说：“两个质数之和一定
是质数”.乙说：“两个质数之和一定不是质数”.丙说：“两个质数之和不一定是质数”.
他们当中
,谁说得对?
解析：因为两个质数之和可能是质数如2+3=5,也可能是合数如3+5=8,因此甲
和乙的说
法是错误的,只有丙说得对.
12. 下面有3张卡片 3
2
1
，
从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排
起来，得到不同的一位数、两位数、三位数.
把所得数中的质数写出来.
解析：从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为1、
2、3，其中只
有2、3是质数.
从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字
是2的两位数和个位与十位
上数字之和是3的倍数的两位数,都不是质数.所以,两位数的质数只有13
,23,31.
因为1+2+3=6,6能被3整除,所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位
数，都不是
质数.
故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个.
[注]
这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全
部列举出来:12,1
3,21,23,31,32.再将三个合数12,21,32排除即可.
13.
在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
解析：100以内所有奇数之和是
1+3+5+…+99=2500，
从中减去100以内奇数中7的倍数与11的倍数之和
7
(1+3+…+13)+11
(1+3+…+9)
=618，
最后再加上一个7
11=77（因为上面减去了两次77），所以最终答数为
2500-618+77=1959.
2
[注]上面
解题过程中100以内奇数里减去两个不同质数7与11的倍数,再加上一个公
倍数7
11,这里限定在100以内,如果不是100以内,而是1000以内或更大的数时,减去的
倍数就
更多些而返回加上的公倍数有7
11的1倍,3倍,…也更多些，这实质上是“包含与
排除”的思路.
14. 在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过
10的自
然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到环数的积都是1764，但是甲的总环数比
乙少4环.求甲、乙的总环数.
解析：依题意知,每射一箭的环数,只能是下列11个数中的一个
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
而甲、乙5箭总环数的积1764
0,这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有0和10.
而1764=1
2
2
3
3
7
7是由
5箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数
都是7，从而可知另外3箭的环数是5个数
1，2，2，3，3
经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有5种：
（1）1，4，9；
（2）1，6，6；
（3）2，2，9；
（4）2，3，6；
（5）3，3，4．
因此，两人5箭的环数有5种可能：
7，7，1，4，9 和是28；
7，7，1，6，6 和是27；
7，7，2，2，9 和是27；
7，7，2，3，6 和是25；
7，7，3，3，4 和是24。
∵甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少.
∴甲的总环数是24,乙的总环数是28.
15. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油
,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千
克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的
重量之和以及油的重量之和均为质数,求
最重的两瓶内有多少油?
解析：由于每只瓶都称了三
次,因此记录数之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍,即4
瓶油(加瓶)共重
(8+9+10+11+12+13)
3=21(千克)
而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有
2,故有
(1)油重之和为19千克,瓶重之和为2千克,每只瓶重
13-
1
千克,最
重的两瓶内的油为
2
1
2=12(千克).
2
(2)油
重之和为2千克,瓶重之和为19千克,每只瓶重
19
千克,最重的两瓶内的油为
4<
br>13-
197
2=(千克),这与油重之和为2千克矛盾,不合要求,删去.
42
1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；
既不是合数又不是质数的有
_____；既是偶数又是质数的有_____.
答案：
9，1，2
解析：
在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9.
在一位自然数
中,质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，所以既不是合数又不是质
数的为1.
又在一位自然数中,偶数有2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为2.
2.
最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.
答案： 202
解析：
最小的质数是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2
101=202.
3. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.
答案：210
解析：最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是
2
3
5
7=210
4.
9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.
答案：192
解析：先把9216分解质因数,然后再用“试验法”解答
9216=
2
2
…
2
3
3
10个
=96
96
欲使这两个自然数的和最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为96+96=192.
5. 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.
木条的面积是_____平方分米.
答案：36
解析：如下图所示,要求木条的面积,必须知道正方形木板的边长.把108分解质因数.
108(
cm
)
平方分米
2
3分米
108=2
2
3
3
3
=12
9
由此可见,9加3正好等于12,所以正方形木板边长是12分米.所以,木条面积是
12
3=36(平方分米)
一、填空
1．最小的质数是（ ），最小的合数是（
），最小的奇数是（ ）。
答案：2，4，1。
2．20以内的质数有（
）。
答案：2、3、5、7、11、13。
二、判断
3．48的全部因数是2、3、4、6、8、12、16、24和48，共有9个，所以是合数。(
)
答案：错误
4．任何一个自然数最少有两个因数。( )
答案：错误
5．一个数如果能被11整除，则这个数一定合数。( )
答案：错误
6．一个自然数越大，它的因数个数就越多。( )
答案：错误
三、解析题
7. 今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,1
03.如果将它们分成两组,每组五
个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小
到大排列,第二个数应是
_____.
答案：31
解析：这10个质数之和是59
8,分成两组后,每组五个数之和是598
2=299.
在有79这组数中,其他
四个质数之和是299-79=220,个位数是0,因此这四个质数的个位数可
能有三种情形:
(1)三个1和一个7；
(2)二个3和二个7；
(3)三个3和一个1.
31+41+101=173,220-173=47,可这十个数中没有47,情形(1)被否定.
17+67=84,220-84=136,个位数为3有23,53,83,只有53+83=136
,因此从情形(2)得到一
种分组:17,53,67,79,83和23,31,41,101,10
3.
所以,含有101这组数中,从小到大排列第二个数是31.
[注]从题目本身的要求
来说,只要找出一种分组就可以了,但从情形(3)还可以得出另
一种分组.23+53+83+103
=262,262-220=42,
我们能否从53,83,103中找出一个数,用比它少
42的数来代替呢?
53-42=11,83-42=41,103-42=61.这十个数中没有11和61,只有41.又得到另
一种分组:
23,41,53,79,103和17,31,67,83,101.
由此可见,不论哪一种分组,含101这组数中,从小到大排列,第二个数都是31.
8．2
，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个
长方形的长和宽都
是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个
平方单位?
答案：
77
解析： 由于长+宽是 36
2=18
将18表示为两个质数和
18=5+13=7+11
所以长方形的面积是
5
13=65或7
11=77
故长方形的面积至多是77平方单位.
小学数学文化知识
圆田术
刘徽(大约1700年前)是我国魏晋时
期的数学家，他在《九章算
术》方田章“圆田术”注中提出把割圆术作为计算圆的周长、面积以
及圆周率的基础。刘徽从圆内接六边形开始，将倍数逐次加倍，得到
的圆内接正多边形就逐步逼近圆。