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五年级奥数高等难度练习题一



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奥数试卷
五年级奥数高等难度练习题一
平均数问题：（高等难度）
幼儿园有三个班，甲班比 乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师
给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个 小
孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班共多分3个枣，乙班
比丙班总共多分5个枣。 问：三个班总共分了多少个枣？平均数问题
答案：
设丙班有x个小孩，那么乙班就有（x +4）个小孩，甲班有（x+8）
个小孩。乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，那么x个小孩就< br>少分5x个枣，而乙班比丙班总共多分5个枣，所以多出来的那4个
小孩分了（5x+5）个枣。

同理：甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，那么（x+4）
个小孩就 少分（3x+12）个枣。而甲班比乙班共多分3个枣，所以多
出来的那4个小孩分了（3x+12+3 ）即（3x+15）个枣。
甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，4个小孩就少3×4=12
个枣，因此我们得到：5x+5=3x+15+12,解得x=11.
所以，丙班有11 个小孩，乙班有15个小孩，甲班有19个小孩，
甲班每人分12个枣，乙班每人分15个枣，丙班每人 分20个枣。一
共分了12×19+15×15+20×11=673个枣。【小结】通过方程解决问题 是
常用的方法。
最值问题：（高等难度）
n是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。
n的最大值是。最值问题答案：
n不能含有0，因为不能被0除。n不能同时含有5和偶数，因
为此时n的个位将是0。如 果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时
位数不会多。如果n只缺少5，则含有1，2，3，4，6 ，7，8，9，但
是数字和为40，不能被9整除。所以必须再去掉一位，为了最大，
应该保留 9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4。此
时由1，2，3，6，7，8，9组成，肯定 被9整除，还需要考虑被7
和8整除。前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三
位数为312，9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三个数
字组成的被8整除的 三位数为216，9873216被7除余3；前四位如
果取9872，剩下三个数字组成

奥数试卷
的被8整除的三位数为136，9872136被7除余1 ；前四位如果
取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被
7除余1；前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位
数为312，9867312被 7整除。行程问题：（高等难度）
(20XX年Imc6年级复赛第22题，10分)有的母牛比 一般人具有
更健全的头脑，有一位农夫就曾这样认为，瞧！有一天我的那头老家
伙，有着斑纹的 母牛正站在距离桥梁中心点5英尺远的地方，平静地
注视着河水发呆，突然，他发现一列特别快车以每小 时90英里的速
度向它奔驰而来，此时，火车已经到达靠近母牛一端的桥头附近，只
有两座桥长 的距离了。母牛毫不犹豫，马上不失时机地迎着飞奔而来
的火车作了一次猛烈冲刺，终于得救了。此时距 离火车头只剩1英尺
了，如果母牛按照人的本能，以同样的速度离开火车逃跑，那么母牛
的屁股 将有3英寸要留在桥上！试问：桥梁的长度是多少？这只母牛
狂奔的速度是多少？（1英尺=12英寸） 圆柱体答案：
观察可知，老母牛一开始在火车的中心的左端。在相遇过程中，
火车走了： 2个桥长-1英尺；母牛走了：0.5个桥长-5英尺；在追及
过程中：火车走了：3个桥长-0.25 英尺；母牛走了：0.5个桥长+4.75
英尺。则在相遇和追及过程中：火车共走了5个桥长-1.2 5英尺；同
样的时间，母牛走了1个桥长-0.25英尺。所以火车的速度是母牛狂
奔时的5倍 。母牛的速度为90÷5=18英里小时。又根据2个桥长-1
英尺=2.5个桥长-25英尺所以0. 5个桥长=24英尺。1个桥长=48英尺。

圆柱体：（高等难度）
如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高
为15厘米在侧面距离底面9厘米的地方 有个洞．这个容器最多能装
毫升水（π取3.14）圆柱体答案：解答：942
现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，
可得新的圆柱的体积为：

毫升水。
奥数试卷
约数倍数：（高等难度）
若a,b ,c是三个互不相等的大于0的自然数，且a+b+c=1155，则
它们的最大公约数的最大值为，最 小公倍数的最小值为，最小公倍数
的最大值为约数倍数答案：
解答：165、660、57065085
1)由于a+b+c=1155，而1155=3×5 ×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m
为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7 。此时m=165.
2)为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，
并且使A，b，c的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，b=2，
c=4，此时三个数分 别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，
所以最小公倍数的最小值为660。
3)为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。
当三个数的和一定时， 为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。

由于相邻的自然数是互质的，所以可以令 1155=384+385+386，但是
在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=3 83+385+387时，
三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065 085，即
最小公倍数的最大值为57065085。定义新运算：（高等难度）
规定： A○b表示A、b中较大的数，A△b表示A、b中较小的数．若
（A○5＋b△3）×（b○5+A△ 3）＝96，且A、b均为大于0的自然数A×b
的所有取值有个。定义新运算答案：共5种；
分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与
较大的数，则对于A或者b 有3类不同的范围，A小于3，A大于等
于3，小于5，A大于等于5。对于b也有类似，两者合起来共 有3×3=9
种不同的组合，我们分别讨论。
1)当A＜3，b＜3，则（5+b）×（ 5+A）=96=6×16=8×12，无解；
2)当3≤A＜5，b＜3时，则有（5+b）×（5+ 3）=96，显然无解；3)当A≥5，
b＜3时，则有（A+b）×（5+3）=96，则A+b=1 2.所以有A=10，b=2，
此时乘积为20或者A=11,b=1,此时乘积为11。4)当A＜3 ，3≤b＜5，
有（5+3）×（5+A）=96，无解；5)当3≤A＜5，3≤b＜5，有（5+3 ）×
（5+3）=96，无解；
奥数试卷
6)当A≥5，3≤b＜5，有 （A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时b=3后
者b=4。则他们的乘积有27与36两种；
7)当A＜3，b≥5时，有（5+3）×（b+A）=96。此时A+b=12。A
与b 的乘积有11与20两种；

8)当3≤A＜5，b≥5，有（5+3）×（b+3）=96。此时有b=9.不符；




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9)当A≥5，b≥5，有（A+3）×（b+3）=96=8×12。 则A=5,b=9，乘
积为45。所以A与b的乘积有11,20,27，36,45共五种。行程：（ 高
等难度）
甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，
丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时
出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟 与甲相遇，求东西两镇间的路程
有多少米？行程答案：①乙丙相遇时间：
（60＋75） ×2÷（67.5-60）=36（分钟）。②东西两镇之间相距多
少米？（67.5＋75）×36= 5130（米）钢筋截法：（高等难度）
把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材
料？钢筋截法答案：

设截成17米长的钢筋x根，截成24米长的钢筋y根。则有
17x+24 y=239，可得非负整数解为x＝7，y=5。乘积相等：（高等难度）
把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
乘积相等答案：
△5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14
（=2×7）放在第一组，那么7和6 （=2×3）只能放在第二组，继
而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
奥数试卷
平方差：（高等难度）
有这样一类数，它们可以写作两个自 然数的平方差，如3=22-12，
被称作智慧树，那么从1开始，第1993个智慧数是多少？平方差 答
案：
对于任意奇数2k+1=(k+1)2-k2，但1不符合要求，舍去2，对于< br>所有能被4整除的数，4k=(k+1)2-(k-1)2，但4不符合要求，舍去3，
对于被4 除余2的数，假设
4k+2=x2-y2=(x-y)(x+y)，当奇偶性相同时，(x-y) (x+y)可被4整除，
与提设矛盾，舍去；当xy奇偶性不同时，(x-y)(x+y)为奇数，与提 设
矛盾，舍去.显然，从5开始每4个数中有3个是智慧数，而1到4
中只有3只智慧数，第1 993个智慧数为(1993-1)÷3×4+4=2660。行程：

（高等难度）
甲,乙两站相距300千米,每30千米设一路标,早上8点开始,每5
分钟从甲站发一辆 客车开往乙站,车速为60千米每小时,早上9点30
分从乙站开出一辆小汽车往甲站,车速每小时10 0千米,已知小汽车第
一次在某两相邻路标之间(不包括路标处)遇见迎面开来的10辆客车,
问:从出发到现在为止,小汽车遇见了多少辆客车?行程答案：
小汽车出发遇到第一辆客车是在（ 300－60×1.5）÷（100＋60）
＝2116小时，小汽车每行一段需要30÷100＝31 0小时，此时在
(2116)÷(310)＝4又38段的地方相遇。遇到第一辆客车后，每隔5÷（100＋60）＝5160小时遇到一辆客车，当在端点遇到客车时，每
断路只能再遇到9辆车[ （310）÷(5160)＝9.6]，因此过路标少于310
－9×(5160)＝3160小时遇到 客车时，才能满足条件。当小汽车行完
5段，就刚好在路标处遇到第7辆，因此这段只能遇到9辆，下一 次
刚好能遇到10辆，所以共遇到了7＋9＋10＝26辆。正方形：（高等
难度）
右图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积
是400平方厘米，那么它的周长是多少 厘米?


正方形答案：
每个正方形的面积为400÷ 16=25(平方厘米)，所以每个正方形的
边长是5厘米。观察右图，这个图形的周长从上下方向来看 是由

7×2=14条正方形的边组成，从左右方向来看是由4×2+3×4=20条正方
形的边组成，所以其周长为5×14+5×20=170厘米。

奥数试卷
答题：（高等难度）
100个人回答五道题，有81人答对第一题，91人答对第二 题，
85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题，答对三道题
或三道题以上的人 算及格，那么，在这100人中，至少有多少人及格。
答题答案：
答对三道题或三道题以 上的人算及格，要使100人中，及格人数
尽可能少则需使每人首先都答对其中的两题，余下（81+9 1+85+79+74）
-2×100=410-200=210道尽量分配给少数人，这少数人中每人 最多再对
3道所以210÷（5-2）=70（人）即在这100人中，至少有70人及格。
最 大值：（高等难度）
把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得数最大。□□□□
－□□×□□这个最大得数是多少？最大值答案：
要使得数最大，被减数（四位数）应当 尽可能大，减数（□□×□□）
应当尽可能小。由例[1]的原则，可知被减数为8765。下面要做的 是
把1、2、3、4分别填入□□×□□的4个□中，使乘积最小。要使乘积最
小，乘数和被乘 数都应当尽可能小。也就是说，它们的十位数都要尽
可能小。因为：12×34=408而14×23= 322，13×24=312（最小）8765
－13×24=8453。数字:（高等难度）

20XX年第29届奥运会将在北京举办．则20XX20XX的个位数字
是多少？数字答案：
算式中每个乘数的个位数字都是，8×8×8×L的个位数字周期性出
现：8、4、2、6 、8、4、2、6……，周期为4，20XX÷4=502，所以的
个位数字是6．自然数：（高等难度 ）
对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称
为一次变换。如对18 和42可进行这样的连续变换：18，42→18，24→18，
6→12，6→6，6。直到两数相同 为止。问：对12345和54321进行这
样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？自 然数答案：
如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中
的任何一个数 的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得
两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的
奥数试卷
两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最< br>大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。约数：（高等难度）
100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？
约数答案：
如果恰有一个质因数，那么约数最多的是=64，有7个约数；
如果恰有两个不同质因数，那么约 数最多的是×＝72和×3＝96，
各有12个约数；如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是×3 ×5
＝60，×3×7＝84和2××5=90，各有12个约数。
所以100以内约数 最多的自然数是60，72，84，90和96。座位：

（高等难度）
一 排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，
他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人 相邻。问：在乐乐之前已就
座的最少有几人？座位答案：




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将15个座位顺次编为1:15号。如果2号位、5号位已有人就座，
那么就座1号位、3 号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5
号位的人相邻。根据这一想法，让2号位、5号位、8号 位、11号位、
14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，那么
乐乐无论坐 在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为
5人。

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多谅解，更多相关的文章正在创作中，希望您定期关注。谢 谢支
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