肃宁一中-大学生村官工作日志

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2
2
=4，32
＝9，5
2
＝25…，像4、9、25…这样的数，推及一般情况，我们把一< br>个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.1
2
=1， 2
2
＝4，3
2
＝9，4
2
=16，…，11
2< br>=121，12
2
=144，…其中1，4，9，16，…，
121，144， …都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有
什么特征。
例如：把下列各完全平方数分解质因数：
9，36，144，1600，275625。
解：9=3
2
36=2
2
×3
2

144=3
2
×2
4

1600=2
6
×5
2
275625=3
2
×5
4
×7
2

可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质 因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那
么这个自然数一定是完全平方数。
如36＝6
2
，144=12
2
，1600=40
2
，275625= 525
2
。


例4、已知2×2×3×A的积是一个平方数，那么A最小是 ，这个积是 的
平方。

练习1、已知2×2×3×5×A的积是B的平方，那么A最小是 ，B是 。

练习2、已知12×A的积是B的平方，那么A最小是 ，B是 。

练习3、已知36×A的积是B的平方，那么A最小是 ，B是 。

练习4、一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平
方数。

练习6、一个自然数A与2100的积是B的平方，A最小是都是？这时B是多少？


练习7、1176×a=b2，a、b都是自然数，求a的最小值，此时b是多少？

6、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是 。

8、
AABB
表示一个完全平方数，符合条件的四位数是 。
已知五位数
AB8BA
是一个完全平方数，这个完全平方数是 。
10、把360表示成两个自然数的平方差有许多组，请尽可能多有写出来。

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2016翔迪学校五年级第1学期专题（ ）：
平方数
姓名： 成绩：

1、判断下列各数，哪些数不可能是完全平方数？哪些可能是完全平方数？
AB43
6431
ABC50

46B4

不可能是平方数的是 。
可能是完全平方数的是 。

2、□□1表示一 个三位数，在方框上填上合适的数字，使它成为一个完全平方
数，符合条件的所有这样的三位数的总和是 。

3、计算：
1+3+5+7+9+11+┅┅2001=

4、在括号中填上合适的自然数，使下面的等式成立。
( )
2
+ 73 = ( )
2


5、从1—2016这2016个自然数中，完全平方数有 个。


6、一个自然数a与2550的积是一个完全平方数，a最小是（ ）？
这个积是（ ）的平方？


7、 两位数
AB
减去两位数
BA
的差为某自然数的平方，这样的两位数有（ ）个？



8、有80枚伍分硬币，把“伍分”字样面向上，编成1、2 、3、4、5、6、7、┅
┅79、80这80个号码，小明作翻硬币游戏，第一次把凡是1的倍数的硬 币
翻动一次，第二次把凡是2的倍数的硬币翻动一次，第3次把凡是3的倍数
的硬币翻动一次， ┅┅第80次把凡是80的倍数的硬币翻动一次；这样翻动
后，哪些编号的硬币“国徽”面朝上？

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6、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是 。
8、
AABB
表示一个完全平方数，符合条件的四位数是 。
已知五位数
AB8BA
是一个完全平方数，这个完全平方数是 。
10、把360表示成两个自然数的平方差有许多组，请尽可能多有写出来。
5、平方数 解答：
一、解答题
1、 不可能是完全平方数是：
AB43
，6431，
ABC50
。
（1 ）完全平方数的末位数字之只能是：0、1、4、5、6、9。所以
AB43
不可
能是 完全平方数。
（2）奇数的平方个位数字是奇数，十位数字必是偶数，如果6431是完全平
方数，则是奇数的平方，十位3不符合偶数要求。
（3）如果末位数字有0的完全平方数，则末位0的 连续个数是偶数个。所
以
ABC50
不是完全平方数。
46B4
可以是完全平方数，当B=2时，4624=68×68。
2、 121+441+961+361+841＝2725
要求末位数字是1，必为□1
2
或是□9
2
。
□1
2
有11
2
=121 21
2
=441 31
2
=961
□9
2
有19
2
=361 29
2
=841 所以121+441+961+361+841＝2725
3、 1002001
从1开始的连续奇数的和是它们个数的平方。
则1+3+5+7+9+ 11+┅┅2001==[（2001+1）÷2]
2
=1001
2
=100 2001
4、 36
2
+73=37
2

a
2< br>-b
2
=（a+b）×（a-b），所以连续两个数的平方之差是这两个数的和。
73=36+37 则37
2
-
3
36
2
=37+36=73
5、 40804
AB8BA
是完全平方数。而
AB8BA
是一个倒序数，又因为 101×101=10201，
要求百位数字是8，把10201×2
2
=40804 =202
2
符合题目的要求。
6、 15
13500=2×2×3×3 ×3×5×5×5=2
2
×3
2
×5
2
×（3×5）
7、 44个。
1~2002最大的平方数是44
2
=19 36，而45
2
=2025>2002。

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8、 7744
因为
AABB
=11×
A0B
，是11的倍数。要使
AABB
是一个完全平方数，应是
11
2
=121的倍数，我们可以把121乘以一个数的平方去试验。
121×3
2
=121×9=1089 121×4
2
=121×16=1936
121×5
2
=121×25=3025 121×6
2
=121×36=4356
121×7
2
=121×49=5929 121×8
2
=121×64=7744
121×9
2
=121×81=9801
其中只有121×8
2
=121×64=7744是符合题目的意思。
二、解答题：
9、 54、51、62、73、84、95。
两个两位数之差是完全平方数。那么差可以是9、16、25、36、49、64、81。
而 两数
AB
、
BA
除以9是同余，则它们的差还是9的倍数。则差只能是9、< br>36、81。
当差是9时，则A-B=1，
AB
=54。
当差是36时，则A-B=4，
AB
可以是51、62、73、、84、95。
当差是81时，则A-B=9，不存在这样的
AB
数。
10、 360=91
2
-89
2
=

47
2
-43
2
= 23
2
-13
2
= 21
2
-9
2
=19
2
-1
2

因为a
2
-b
2
=（a+b）×（a-b），其中a+b是这两个自然数的和 ，a-b是这两个
自然数的差。又因为这两个数都是奇数，则它们的和与差都有是偶数。把360写成两个数相乘的形式可以得到这么几组。
360=1×360=2×180=3×120=4×90=5×72=6×60
=8×45=9×40=10×36=12×30=15×24=18×20
其中2×180，2 是两个数的差，180是两个数和。大数是（180+2）÷2=91，
小数是91-2=89，得到一 组答案：360=91
2
-79
2
用同样的方法可以得到以下几组：
4×90得到这一组：360=47
2
-43
2


6×60得到这一组：360=33
2
-27
2

10×36得到这一组：360=23
2
-13
2
12×30得到这一组：360=21
2
-9
2

18×20得到这一组：360=19
2
-1
2

11、1、4、9、16、25、36、49、64
只用翻动奇数次的硬币才会是 “国 徽”面朝上。每个硬币都在自身数码的约
数的时候才翻动。所以号码数是奇数个约数的硬币“国徽”面朝 上，在80以内
约数个数是奇数个的只有平方数。为：1、4、9、16、25、36、49、64。
12、不能。
(1)因为没有连续两个自然数都是完全平方数。所以不可能出现两个完全平< br>方数相乘得到完全平方数的情况。

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(2)如果两个数都不是完全平方数，这两个数必有不同的质因数，则它们的
乘积不可能是完全平方数。