西安交通职业学院-重阳节活动总结

奥数试卷
带余数除法作业
一、填空题
1．除107后，余数为2的两位数有_____.
2. 27

( )=( )……3.
上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法.
3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是
_____.
4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数
比第 1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类
推；那么这串数左起第199 2个数除以5的余数是_____.
5. 222……22除以13所得的余数是_____.


2000个
6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔 1个石子,第二次扔2个石子,第三次
扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数 被106除，余
数是0止，那么小明应扔_____次.
7. 七位数3□□72□□的末两 位数字是_____时,不管十万位上和万位上的
数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪 一个,这个七位数都不是101的倍数.
8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有 余数,三个余数的和是25.
这三个余数中最小的一个是_____.
9. 在1,2,3, ……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出
的这些数中,任意两个不同的数 的和都不是7的倍数.
10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2, 并且
还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大
的三位数 是_____.

二、解答题
11．桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来， 并将每张都任意剪成7
张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放< /p>

奥数试卷
回；……是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？
12. 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商
被8除后余7， 最后得到一个商是a(见短除式<1>)；又知这个自然数被17除余
4，所得的商被17除余15，最 后得到一个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个
自然数.
8 所求自然数……余1
8 第一次商……余1
8 第二次商……余7

a

短除式<1>

17 所求自然数……余4
17 第一次商……余15

2 a

短除式<2>

13．某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同.他 们到书店买
书,已知简装书3元一本,精装书4元一本,要求每人都要把自己手中的钱全部用
完 ,并且尽可能多买几本书,那么最后全班一共买了多少本精装书?
14. 某校开运动会,打算发给1 991位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每7
个空瓶可换一瓶汽水,所以不必买1991瓶汽水,但是 最少要买多少瓶汽水?

奥数试卷
———————————————答 案——————————————————————

答 案:
1. 15,21,35
从107里减去余数2,得107-2=105,所以105是除数与商数相乘之积 ,将105
分解质因数得105=3

5

7,可知这样的两位数有 15,21,35.
2. 5
根据带余数除法中各部分之间的关系可知，商
除数=27-3=24.这样可通过
分解质因数解答.
因为24=2

2

2

3=2
3

3,所以(商, 除数)= (1,24),(2,12),(3,8),(4,6),
(6,4), (8,3), (12,2),(24,1)
又由余数比除数小可知,除数有24,12,8,6,4五种填法.所以 原式中括号内
的数共有5种填法.
3. 51
由17与19互质可知,8□98 能被(17

19=)323整除.因为8098

323=25…23，< br>根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是8398.
将8398 分解质因数.
8398=323

26
=2

13

17

19
所以,这个四位数的所有质因数之和是
2+13+17+19=51.
4. 2
设这串数为a
1
,a
2
,a
3
,…，a
1992
，…，依题意知
a
1
=1
a
2
=1+1
a
3
=1+1+2
a
4
=1+1+2+3
a
5
=1+1+2+3+4
……
a
1992
= 1+1+2+3+…+1991=1+996

1991
因为996
5=199…1，1991

5=398…1，所以996

1991的 积除以5余数为1，
1+996

1991除以5的余数是2.
因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.
5. 9
因为222222=2

111111
=2

111

1001
=2

111

7

11

13
所以222222能被13整除.
又因为2000=6

333+2
222…2=222…200+22

奥数试卷
2000个 1998
22

13=1…9
所以要求的余数是9.
6. 52
设小明应扔n次,根据高斯求和可求出所扔石子总数为
1+2+3+…+n=
1
n

(n+1)
2
依题意知,
1
n

(n+1)能被106整除,因此可设
2
1
n

(n+1)=106a 即n

(n+1)=212a
2
又212a=2

2
53a,根据n与n+1为两个相邻的自然数,可知2

2

a=52(或
54).
当2

2

a=52时,a=13.
当2
2

a=54时,a=13
1
,a不是整数,不符合题意舍去.
2
因此,

n

(n+1)=52

53 =52

(52+1),n=52,所以小明扔52次.
7. 76
假 设十万位和万位上填入两位数为
x
,末两位上填入的数为
y
,(十位上允许< br>是0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000
x
+
y
,3007200除以101
的余数是26, 10000
x
除以101的余 数为
x
,那么当
x
+
y
+26的和是101的倍数时,这个七位数也是101的倍数.如:当
y
=1时,
x
=74；当
y
=2时，
x
=73，……，而
当
y
=76时，
x
=100，而
0x99
，
x
不可能是100，所以
y
也不可能是76.由
此可知末两位数字是76时,这个七位数不管十万位上和万位上的数字是几 ,都不
是101的倍数.
8. 1
设这个自然数为
m
,且< br>m
去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则
63-a,90-b,13 0-c都是
m
的倍数.于是
(63-a)+(90-b)+(130-c)=283- (a+b+c)=283-25=258也是
m
的倍数.又因为
258=2

3

43.
则
m
可能是2或3或6或43(显然
m1
,86,129,258),但是a+b+c=25,故
a,b,c中至少有一个要大于 8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,
这与a+b+c=25矛盾).根据 除数
m
必须大于余数,可以确定
m
=43.从而
a=20,b=4, c=1.显然,1是三个余数中最小的.
9. 15

奥数试卷
我们把1到30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组.例如,
除以7余1的有1,8, 15,22,29这五个数,除以7余2的有2,9,16,23,30五个数,
除以7余3的有3,1 0,17,24四个数,…要使取出的数中任意两个不同的数的和都
不是7的倍数，那么能被7整除的数 只能取1个，取了除以7余1的数，就不能
再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以 7余5的数；取了
除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多,我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数，共有
5+5+4+1=15（个）
所以，最多能取出15个数.
10. 347 < br>根据使组成的符合条件的三位数,其最大三位数尽可能小的条件,可知它们
百位上的数字应分别选 用3,2,1；个位上的数字应分别选用7，8，9.
又根据最小的三位数是3的倍数,考虑在1○9 中应填5,得159.则在3○7,2
○8中被3除余2,余1,选用4,6分别填入圆圈中得347, 268均符合条件.
这样,最大三位数是347,次大三位数是268,最小三位数是159.
11. 每次放回后,桌面上的纸片数都增加6的倍数,总数一定是6的倍数加
5.而199 1=6

331+5,所以是可能的.
12. 解法一
由(1)式得: 8与a相乘的积加上余数7,为第二次商,即8a+7为第二次商,同
样地,第二次商与8相乘的积加上 余数1,为第一次商,即8(8a+7)+1为第一次商,
第一次商与8相乘的积加上余数1,为所求的 自然数,即8[8(8a+7)+1]+1为所求
的自然数.
同理,由(2)式得所求的自然数为
17(2a

17+15)+4
由此得方程
8[8(8a+7)+1]+1=17(2a

17+15)+4
8(64a+57)+1=17(34a+15)+4
512a+457=578a+259
66a=198
∴a=3
因此,所求自然数为
512a+457=512

3+457
=1993
解法二
依题意可知所求的自然数有两种表示方法:
(1)
@
⑦

①

①(8) a<8
(2)
2a
15

④(17) 2a<17
根据数的十进制与其他数的进制的互化关系,可知所求的自然数是
(1)a

8
3
+7

8
2
+1

8
1< br>+1=512a+457
(2)2a

17
2
+15

17
1
+4=578a+259
由此得 512a+457=578a+259

a=3
因此,所求的自然数为

奥数试卷
512a+457=512

3+457=1993
[注]解法一根据“被 除数=除数

商+余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的
自然数，需要一定的 逆向思考能力，解法二要求小选手熟悉数的十进制与其他数进制之间的
互化.
13. 每人 都要把手中的钱用完,而且尽可能多买几本书,意即3元一本的简
装书要尽量多买,4元一本的精装书要 尽量少买甚至不买.
我们分三种情况进行讨论:
(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买；
(2)当钱数被3除余1时,3k+1=3( k-1)+4,精装书只要买1本,其中k为大于2
的自然数.
(3)当钱数被3除余2时, 3k+1=3(k-2)+8,精装书只要买2本,其中k为大于2
的自然数.
在10至50这41个自然数中,被3除余1和2的数均各有14个.所以全班一
共买精装书
14+14

2=42(本)
14. 因为7
3=343<1991<2401=7
4
,不考虑余数,能用空瓶换三次汽水,由于每
7个空瓶可换一瓶汽水,原有空瓶不一定能被7整除,那么第二次以后换时要考虑
上一次的余数,最多 能用空瓶换四次汽水.
1991

(1+
111

2

3
)=1707.2825
777
如果买1707瓶 汽水,1707

7=243…6可换243瓶汽水,(243+6)

7= 35…4可
换35瓶汽水,(35+4)

7=5…4可换5瓶汽水,(5+4)
7=1…2可换一瓶汽水,1+2<7
不能再换.1707+243+35+5+1=1 991.如果买1706瓶,用空瓶换的数量不变,但
1706+243+35+5+1=1990.所 以最少要买1707瓶汽水.