临汾会计之星-三年级语文教学总结

第十讲 约数与倍数

在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识．今天，我们来学 习数论中
有关约数与倍数的知识．
约数和倍数的定义是这样的：对整数a和b，如果
a|b
，我们就称a是b的约数（因数），
b是a的倍数．
根据定义，我们很容易找 到一个数的所有约数，例如对12：因为
121122634
，
可知12 可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的约数有1、2、3、4、6、12，共6个．
从上面 12的分拆可以看出，约数具有“成对出现”的特征，也就是：最大约数对应最
．．．．
小约数 、第二大约数对应第二小约数等．所以在写一个数的所有约数时，可以逐对写出．另
外如果计算较大约数 不太方便，可以转而计算与其成对的较小约数．



例题1．的第三大约数是多少？
「分析」第三大约数有点大，那我们可以先求出第三小的约数，再根据它计算第三大的约数．

练 习
1

654321
的第二大约数是多少？




从上面的分析知，可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数，从 而可就算出它的
约数个数．但是对很大的数，例如20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以 我们要采
用新的方法计算．
以72为例，首先采用枚举可知72共12个约数，分别为1、7 2；2、36；3、24；4、18；
6、12；8、9．因为72的约数能整除72，而72的所有质 因数也都能整除72，所以对72进
行质因数分解，有：
722
3
32
，那么72的所有约数应当由若干个2与若干个3构成．显
然，2有0个到3个共4种选 择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的约数共
：
4312
个， 见下表（注意
2
0
1
、
3
0
1
）从72的这个例子，我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法：

72
3
0

3
1

3
2

2
0
2
0
3
0
1

2
0
3
1
3

2
0
3
2
9

2
1

2
1
3
0
2

2
1
3
1
6

2
2

2
2
3
0
4

2
2
3
1
12

2
3

2
3
3
0
8

2
3
3
1
24

2
3
3
2
72

2
1
3
2
18

2
2
3
2
36

约数个数等于指数加1再相乘


例题
2
．下列各数分别有多少个约数？

23
，
64
，
75
，
225
，
720
．


「分析」熟练掌握约数个数的计算公式即可．

练 习
2

下列各数分别有多少个约数？

18
，
47
，
243
，
196
，
450
．



例题3．3600有多少个约数？其中有多少个是3 的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不
是6的倍数？
「分析」约数既然能整除3600， 那说明约数一定包含在3600的因数中．我们知道
那么3600的所有约数一定是由若干个2、若干个 3和若干个5组成的．如
36002
4
3
2
5
2，
果约数是3的倍数，那么它至少要含有多少个3？

练 习
3

3456
共有多少个约数？其中有多少个是
3
的倍数？有多少个是
4
的倍数？有多少个不
是
6
的倍数？




前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在
进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个约数，根据上面关于约数个数的知识
我们可以知 道，有奇数个约数的数一定是平方数，有偶数个约数的数一定不是平方数．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

例题4．在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？
「分析」有奇数个约数的数一定是平方数，所以只要找出有多少个平方数小于1000即可．


练 习
4

在
2000
到
3000
中，有多少个数有奇数个约数？



把一个数分解质因数后，可以知道它的约数个数，反过来，如果知道一个数的约数 个数，
虽然并不能知道这个数是多少（例如6和10都有4个约数），但可以知道这个数的质因数分解式的形式，例如有2个约数的数一定是质数，有4个约数的数是
a
3
或
bc
（a、b、c都是
质数）．下面以16个约数为例，来看一下如何反求质因数分解式：
先对16进行分解：
16
所以质因数分解式为：

例题5．有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？
「分析」有< br>12
个约数的数有什么样的特点呢？
1082
2
3
3，根据约数个数的计算方法可知
108
有
12
个约数．除此之外，
2
3
3
2
，
2
3
5
2
，甚 至形如
a
3
b
2
（
a
、
b
为不 同的质数）均
有
12
个约数．想一想还有没有其他的可能？



关于约数的另一类问题是计算约数和，下以72为例，先利用上面的表格列出72的所有约数，并计算出行和：
72
3
0

3
1

3
2

2
0
2
0
3
0

2
0
3
1

15
2844
3
2242222
．

、

7
、

3
、

3
、．
2
1

2
1
3
0

2
1
3
1

2
2
2
3
行和
2
2
3
0

2
3
3
0

2
2
3
1

2
3
3
1

(2
0
2
12
2
2
3
)3
0

(2
02
1
2
2
2
3
)3
1
(2
0
2
1
2
2
2
3
)3< br>2

2
0
3
2

2
1
3
2

2
2
3
2

2
3
3
2

现在把3个行和相加，得到72的约数和是< br>2
0
2
1
2
2
2
3
30
3
1
3
2
1513195
．


根据这个例子，我们可以总结出计算约数和的一般方法：
a
3
b
2
c
的约数和为
1aa
2
 a
3
1bb
2


1c

．


例题6．计算下列数的约数和：108、144．

「分析」熟练掌握约数和的计算公式即可．

完全数（perfect number）
如果一个自然数的真因子（除了自 己以外的约数）之和恰好等于这个数本身，
这个数就被叫做完全数．
完全数又称完美数或完备 数，是一类特殊的自然数．利用本讲学过的知识不
难知道6和28是最小的两个完全数．
公元 前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是
完全数．毕达哥拉斯曾说：“6象 征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部
分是完整的，并且其和等于自身．”不过，或许印度人和希 伯来人早就知道它们
的存在了．有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，< br>他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数．圣·奥古
斯丁说：“6这个 数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相
反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六 天之内把一切事物都造好了．”
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找．它 很久
以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻
这一类数字 ．接下去的两个完全数是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修
斯发现的，他在其《数论》一书中有 一段话如下：“也许是这样：正如美的、卓
绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓 不已；是以盈数（真
因子之和大于自身的数）和亏数（真因子之和小于自身的数）非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统．但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在
个位数里只有一个6 ；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；
第四个却在千位数的尾巴上，接近一万 ，是8128．它们具有一致的特性：尾数
都是6或8，而且永远是偶数．”
第五个完全数要 大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十
五世纪才由一位无名氏给出．这一寻找 完全数的努力从来没有停止．电子计算机
问世后，人们借助这一有力的工具继续探索．笛卡尔曾公开预言 ：“能找出完全
数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事．”时至今日，人们一
直没有发现有奇完全数的存在．于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难
题．目前，只知道即便有，这 个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条
件．

作业
1.

111111111
的第二大的约数是多少？


作业
2.

79
、
128
、
180
分别有多少个约数？


作业
3.
在小于
200
的正整数中，有多少个数有偶数个约数？


作业
4.

36
的所有约数的和是多少？
90
的所有约数的和是多少？


作业
5.

240
有多少个约数？其中有多少个奇约数？ 有多少个约数是
3
的倍数？

第十讲 约数与倍数

例题1. 答案：1763664903
详解：最小的约数是1，第二小的约数是3，第三小
的约数是7 ，那么第三大的约数是
71763664903
．

例题2. 答案：2；7；6；9；30
详解：23为质数，质数有2个约数．有
617
个 约数．
642
6
，
7535
2
，
有
（11）（21）6
个约数．
2253
2
5
2
，有
（21）（21）9
个约
数．
7202
4
 3
2
5
，有
（41）（21）（11）30
个约数．

例题3. 答案：45；30；27；21
详解：
36002
4
3
2
5
2
，有
（41）（21）（21） 45
个约
（41）（11）（21）30
，有
（41）（ 11）（21）30
个约数是3的倍数．
（2
2
3
25
2
）
（21）（21）（21）27
个约数是4数．< br>36002
4
3
2
5
2
4
，有< br>（2
3
35
2
）
（31）（11）（21） 24
个约数的倍数．
36002
4
3
2
5
2
6
，有
是6的倍数，不是6的倍数的约数有21个．

例题4. 答案：
31

详解：平方数有奇数个约数．1000以内的平方数 有
1
2
,
因此有31个数有奇数个约数．

例题5. 答案：60，5
2
2
,3
2
L31
2
，