小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
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小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
数的整除
数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重
要课题，也是小学数
学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识
1.整除——约数和倍数
例如：15÷3=5，63÷7=9
一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整
数a除以
整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者
说余数是0），我们
就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除
a），记
作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a
的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63
是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被
c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），
并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.
即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c
的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是
0、2、4、6、8的整
数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）
的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数
字只能是偶数（包括0）.下面“特征”
含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3
（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）
整除。
例如：1864
=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800
是4与25的倍数.又因为4｜64，
所以1864能被4整除.但因为
2564，所以1864不能被25整除.
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或
125）整除。
例如：29
375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，
所以29000是8与125的倍数
.又因为125｜375，所以29375能
被125整除.但因为8375，所以829375。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之
和与偶数位上的
数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
解：这个数奇数位上的数字之和是9＋
7＋5＋3＋1=25，偶数
位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为1
15，
所以。
再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的
奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：
（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍
数，所以11｜
0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的
特征：一个整数的末三位
数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11
或1
3）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分
为1059和282两个数.因为1059-282＝777，
又7｜777，所以7｜1059282
.因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=28
21.
再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，
所以
13｜2821，进而13｜3546725.
能被30以下质数整除的数的特征
大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；
反过来也对，也就是
一个数的个位数能被2整除，那么这个数本
身能被2整除。因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”
是
“这个数能被2整除”的特征。在这一讲中，我们通过寻求对于
某些质数成立的等式来导出能
被这些质数整除的特征。
为了叙述起见，我们把讨论的数N记为：
我们已学过同余，用mod 2表示除以2取余数，有公式：
① N≡a0（mod
2）
② N≡a1a0(mod 4)
③ N≡a2a1a0(mod 8)
④ N≡a3a2a1a0(mod 16)
这几个公式表明一个数被2（4，8，16
）整除的特性，而且表明
了不能整除时，如何求余数。
此外，被3（9）整除
的数的特征为：它的各位数字之和可以被3
（9）整除。我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一
下。
如（mod 9），如果：
N= a3a2a1a0 =
a3×1000＋a2×100＋a1×10＋a0
=
a3×(999＋1)＋a2×(99＋1)＋a1×(9＋1)＋a0
=
(a3＋a2＋a1＋a0)＋(a3×999＋a2×99＋a1×9)
那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有
N≡a3＋a2＋a1＋a0(mod
9)
对于mod 3，理由相仿，从而有公式：
⑤
N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod 9)
N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0)
(mod 3)