2013年江苏高考-人生规划范文

第二十一讲余数的性质与计算

37
』桂除的
余数足多少？
我知沽玳，余数昂
7!
^
1
这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况.
能整除时，就会产生余数.
一般地，如果
a
是整数，
b
是 整数（
b
丰
0
）
,
若有
a
+
b=q r
（也就是
a b q r
）
, 0

当不

当
r 0
时，我们称
a
能被
b
整除；
当
r 0
时，我们称
a
不能被
b
整除，
r
为
a
除以
b
的余数，
q
为
a
除以
b
的商 余数问题和整除问
题是有密切关系的， 因为只要我们去掉余数， 就能和整除问题联系在 一起了．余数有如下一些重要性质．
基本性质：被除数
=
除数
X
商（当余数大于
0
时也可称为不完全商）
+
余数 除数
=
（被除数
-
余数）*
商； 商
=
（被除数
-
余数）十除数.
余数小于除数．
理解这条性质时， 要与整除性联系起来， 从被除数中减掉余数， 那么所得到的差就能够 被除数整除
了． 在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算， 去掉余数，回到我们比较 熟悉的整除性问题，那么
问题就会变得简单了．
例题
1
．用一个自然数去除另一个整数，商
除数和除数各是多少？
40
，余数是
16
，被除数、除数的和是
877
，求被
「分析」如果设除数为
a
,被除数可以表示为什么？
练习
1
．
甲、乙两数的和是
2014
,甲数除以乙数商
99
余
14
,求甲、乙两数．
我们之前学过一些特殊数（如
2
、
3
、
4
、
5
、
7
、
8
、
9
、
11
、
13
、
25< br>、
99
、
125
）的整除
特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：
1
）一个数除以
2
或
5
的余数,等于这个数的个位数字除以
2
或
5
的余数；
4
或
25
的余数；
8
或
125
的余数；
3
或
9
的余数；
一个数除以
4
或
25
的余数,等于这个数的末两位数除以
一个数除以
8
或
125
的余数,等于这个数的末三位数除以

2
）一个数除以
3
或
9
的余数,等于这个数的各位数字和除以
一个数除以
99
（包括
11
、
33
）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数； 此外,求
3
和
9
的余
数还可应用乱切的方法．
（
3
）一个数除以
11
的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以
果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个
11
的余数，如
11
再减即可．

（
4
）一个数除以
7
、
11
和
13
的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段 之和除以
7
、
11
和
13
的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个
再减即可．
这种利用整除特性来计算余数的方法叫做 特性求余法 ．
7
、
11
或
13
例题
2
．
1
）
20132013
除以
4
和
8
的余数分别是多少？
2
）
20142014
除以
3
和
9
的余数分别是多少？ 分析」 根据
4
、
8
、
3
、
9
的特性，可以很快计算出结
果．
练习
2
．
（
1
）
20121221
除以
5
和
25
的余数分别是多少？
（
2
）
20130209
除以
3
和
9
的余数分别是多少？
例题
3
．
（
1
）
123456789
除以
7
和
11
的余数分别是多少？
87654321
呢？
（
2
）
360360360
除以
99
的余数是多少？
「分析」 根据
7
、
1
、
99
的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．
练习
3
．
2
除以
13
和
99
的余数分别是多少？
为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：
1
）
211
除以
9
的余数是 _______ ； （
2
）
137
除以
9
的余数是 _________

(3
)
211 137
的和除以
9
的余数是 ___________ (
4
)
211 137
的差除以
9
的余数是
(5)
211 137
的积除以
9
的余数是 __________
比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：
(
6
)
137
2
除以
9
的余数是 ________
和的余数等于余数的和 ；
差的余数等于余数的差 ；
积的余数等于余数的积
这三条性质分别称为余数的 可加性、可减性和可乘性•在
计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性
质进行简算.例如计算
33 37 15 80
的结果除以
7
的余数就
可以像右侧这样计算•这一简算方法又称 替换求余法•
•
每个数都用它除以
7
的
需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗
上口，但并不严格，在使用时还需要注意： (
1
)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还
需要再次计算结果的余数.例如：在计算
423 317
除以
6
的余数时，利用“和的余数等于 余数的和”，结果
就变成了
3 5 8
,
8 6
，所以还需要再次计算
8
除以
6
的余数是
2
,才 是
423 317
除以
6
最后的余数•再比
如：在计算
423 317
除以
6
的余数时，也会遇到
3 5 15 6
的情况，同样的还需要计算
15
除以
6
的余数是
3，才是最终的结果.
(
2
)在计 算减法时，会出现余
数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：
算
423 317
除以
6
的余数时，会发现结果变成了
3 5
不够减.此时，只要再加上
6
,用
在计
6 3 5 4
来计算即可.
例题
4
.
一年有
365
天，轮船制造厂每天都可以生产零件
1234
个•年终将这些零件按
6
个一包的规
格打包，最后一包不够
6
个.请问：最后一包有多少个零件？
「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以
19
的余数.

练习
4
．
（
1
）
123 456 789
除以
111
的余数是多少？
（
2
）
224468 6678
的结果除以
22
余数是多少？
如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．
例题
5
．
（
1
）
87784 49235 81368
除以
4
、
9
的余数分别是多少？
（
2
）
365366+367368 369370
除以
7
、
11
、
13
的余数分别是多少？
「分析」 要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性 求余”的
方法来进行求解．
例题
6
．
（
1
）
2
100

的个位数字是多少？
3
2014

除以
10
的余数是多少？ （
2
）
3
2014
除以
7
的余数是多少？
「分析」 一个数的个位数字就是它除以
10
的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．

小熊分粽子
今天是端午节， 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。 在回家的路上， 猴爸爸买 了一筐粽子
准备分给孩子们。回到家，猴爸爸将粽子数了数，一共
70
多个。猴爸爸把
9
个孩
子叫到身边说：“孩子们， 今天过节， 爸爸要将这些粽子分给你们吃。 ”说完，就开始分粽子， 可猴爸爸
怎么分也不能将粽子均分给孩子们。正在犯愁时，门铃响了，原来是小熊来串门。
小熊是出了名的小精灵，脑瓜特灵活。猴爸爸一见他就高兴地说： “小熊老弟，你来得 正好， 我正有
问题要找你帮忙呢。于是， 猴爸爸将自己分粽子的事情告诉了小熊。 小熊眼珠 一转，计上心头，笑着说：
“猴大哥，这件事好办，只要你答应将分剩下的粽子给我，我保 证把这些粽子均匀地分给你的孩子们。 ”猴
爸爸一听小熊有办法，连想都没想就答应了小熊 的要求。
小熊将筐中的粽子一个个地分给猴儿们， 猴儿们帮分到了同样多的粽子， 谁也没有意见， 都高高兴兴
地吃起了粽子。这时，猴爸爸却不高兴了，因为他发现，小熊分得的粽子个数最 多。他生气地对小熊说：
“熊老弟，这就是你不对了，你明知道你得的粽子会最多，为什么 还要骗我上你的当呢？你也太不够朋友
了。 ”小熊笑着说：“猴大哥， 我们可是有言在先， 你 可是答应了我的条件，我才帮你分粽子的，你难道
想反悔吗？那才真是不够朋友呢！ ”猴爸 爸自知理亏，不好再争辩什么，只是埋怨自己不该轻信小熊的话，
叹了叹气说： “谁叫我当 初不多读点书呢
!
”猴爸爸只顾着生气，猴儿们聚在一起吃得正香，谁也没有再
理会小熊， 小熊见自己不再受欢迎， 只好拿着分到的粽子离开了猴子山。 小朋友， 请你想一想，猴爸爸
一共买了多少个粽子
?
猴儿们和小熊各分得了多少个粽子
?

作业
1.
1234567
除以
3
、
5
、
9
的余数分别是多少？
作业
2.
5
除以
8
、
11
、
7
的余数分别是多少？
作业
3.
算式
2009 2009 2010 2010 2011 2011
除以
31
的余数是多少？
作业
4.
自然数
4
2011
除以
9
的余数是多少？
作业
5.
算式
188 288 388 L 1988 2088
的结果除以
9
、
13
的余数分别是多少？

第二十一讲 余数的性质与计算
例题
1.
答案：
856
；
21
详解：除数为
（877 16） （40 1） 21
，被除数为
877 21 856
．
例题
2.
答案：（
1
）
1
；5
．（
2
）
2
；
5
详解：一个数除以
4
和
8
的余数，只要分别看这个数末两位和末三位除以
4
和
8
的余数
即可．一个数除以
3
和
9
的余数，只要分别看这个数数字和除以
3
和
9
的余数即可．
例题
3.
答案：（
1
）1
；
5
．
6
；
7
．．（
2
）
63
详解：（
1
）
123 789 456 456
，
456
除以
7
和
11
的余数分别为
1
和
5
，因此
123456789
除以
7
和
11
的余数分别为
1
和
5
．用
321 87 654 408 654
，发现不够减，要求除 以
7
的余数，加上
7
的倍数即可．比如：
408 654 350 104
，
104
除以
7
余
6
，因此
87654321
除以
7
余
6
．求除以
11
的余数，可用
1 3 5 7 （2 4 6 8） 16 20
，发 现不够减，加上
11
的倍数即可，
16 20 11 7
，因
此
87654321
除以
11
余
7
．（
2
）一 个数除以
99
的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数．容
易发现
360360
可被
99
乘除，因此只要看
360
除以
99
的余数即可，因此余数为
63
．
例题
4.
答案：
2
详解：就是要求算式
365 1234
的结果除以
6
的余数．利用替换求余法易知结果是
例题
5.
答案：（
1）
0
；
2
．（
2
）
2
；
2< br>；
2
详解：特性求余法和替换求余法结合使用．
例题
6. 答案：（
1
）
6
；
9
．（
2
）
4
详解：（
1
）
2
n
的个位数字依次是
2
、
4
、
8
、
6
、…每四个数一个周期.
1 00
除以
4
的余 数是
0
，那么
2
．
2
100
的个位数字是周期中的第四个数
6. 3
n
的个 位数字依次是
3
、
9
、
7
、
1
、… 每四个数一个周
期．
2014
除以
4
的余数是
2
，那么
3
2014
的个位数字是周期中的第二个数
9


2014
除以
6
（
2
）
3
n
除以
7
的余数依次是
3
、
2
、
6
、
4
、
5
、
1
、…每六个数一个周期.
的余数是
4
，所以
3
2014
除以
7
的余数是周期中的第四个数
练习
1.
答案：
1994
；
20
简答：设乙数为
a
,则甲数为
99a 14
，那么有
a 99a 14
数为
1994
，乙数为
20
．
练习
2.
答案：（
1
）
1
；
21
．（
2
）
2
；
8
简答：（
1
）利用末位判别法； （
2
）利用数字和．
练习
3.
答案：
8
；
0
4
．
2014
,
a 20
.可求出甲
简答：三位截断后， 奇段和为
420 12 432
，偶段和为
201 132 333
，
432 333 99
， 除以
13
的余数是
8
．两位截断后，所有段的和是
20 14 20 13 20 12 99
，除以
99
的余数是
0
．

练习
4.
答案：（
1
）
36
；（
2
）
12
简答：利用替换求余法计算．
作业
1.
答案：
1
，
2
，
1
简答：利用特征求余法求解．
作业
2.
答案：
3
，
2
，
0
简答：利用特征求余法求解．
作业
3.
答案：
15
．
简答：利用替换求余法求解．
作业
4.
答案：
4
．
简答：利用周期求余法求解．
作业
5.
答案：
8
，
10
．
简答：
188 288 388 L 1988 2088 188 2088 10
，然后利用替换求余法求解．