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五年级奥数解析1
第一章 四则运算

第1讲《变一变，能简便》
主要介绍小数乘法的简便运算。学习本讲内容的知识基础是乘法分配律和积的变化规律。
一. 两数相乘，一个因数扩大n倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
运用这条规律，可以对某些小数 计算题进行恒等变形，使题目符合乘法分配律的结构，从而简便计
算。
解题的关键是，认真观 察题目的结构和题中每个数字的特点，找出题中有倍数关系的两个数，再进
行必要的、合理的变形。
（一）模仿训练
练习1.用简便方法计算：
⑴ 2.64×51.9＋264×0.481；
⑵ 9.16×1.53－0.053×91.6。
【解析】：
第⑴题中，2.64与264大小不同，但有效数字相同。我们可以把题中任意一 步乘法计算，利用积的
变化规律进行恒等变形，使本题可以运用乘法分配律简便计算。
⑴ 2.64×51.9＋264×0.481
＝2.64×51.9＋2.64×48.1
＝2.64×（51.9＋48.1）
＝2.64×100
＝264
第⑵题中，有效数字相同两个数是9.16和91.6。算法与第⑴题同理。
⑵ 9.16×1.53－0.053×91.6
＝9.16×1.53－0.53×9.16。
＝9.16×（1.53－0.53）
＝9.16×1
＝9.16
练习2. 用简便方法计算：
⑴ 9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋1；
⑵ 9.75＋99.75＋999.75＋9999.75＋1.2。
【解析】：
仔细观察题目结构和题中数据可知，这两道都是连加计算题，题中的前几个数都接近整十、整百、
整千 、整万数，应采用“凑整”的方法计算比较简便。
⑴ 9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋1
＝10＋100＋1000＋10000－0.2－0.2－0.2－0.2＋1
＝11110＋0.2
＝11110.2
⑵ 9.75＋99.75＋999.75＋9999.75＋1.2
＝10＋100＋1000＋10000－0.25－0.25－0.25－0.25＋1.2
＝11110＋0.2
＝11110.2
（二） 巩固训练：
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五年级奥数解析1
习题1：用简便方法计算：
⑴ 0.36×7.5＋0.036×25；
⑵ 3.12＋31.2×9.9。
【解析】：
第⑴题中0.36与0.036有效数字相同，第⑵题中有效数字相同的两个数是3.12和31.2。 我们可以
把题中任意一步乘法计算，利用积的变化规律进行恒等变形，使这两题可以运用乘法分配律简便 计算。
⑴ 0.36×7.5＋0.036×25
＝0.36×7.5＋0.36×2.5
＝0.36×（7.5＋2.5）
＝0.36×10
＝3.6
⑵ 3.12＋31.2×9.9
＝3.12＋3.12×99
＝3.12×（1＋99）
＝3.12×100
＝312
习题2：怎样简便就怎样计算：
⑴ 1999＋199.9＋19.99＋1.999＋0.1999；
⑵ 455×7.6＋111×19.2＋43.3×76。
【解析】：
根据第⑴题中，各个加数的特点，可以先“凑整”，再计算。
⑴ 1999＋199.9＋19.99＋1.999＋0.1999
＝2000＋200＋20＋2＋0.2－1－0.1－0.01－0.001－0.0001
＝2222.2－1.1111
＝2221.0889
第⑵题中首尾两步乘法计算 中7.6和76的有效数字相同，可以利用积的变化规律进行恒等变形，先
把这两步合起来，运用乘法分 配律先算；接下来很容易看出888是111的8倍，与上一步同理，可以进
行下一步简算。
⑵ 455×7.6＋111×19.2＋43.3×76
＝455×7.6＋433×7.6＋111×19.2
＝（455＋433）×7.6＋111×19.2
＝888×7.6＋111×19.2
＝111×60.8＋111×19.2
＝111×（60.8＋19.2）
＝111×80
＝8880
小结：在解题时，要随时注意观察每一步计算中，各个数据的特点，随时进行简算。
（三） 拓展提高
习题1：用简便方法计算：
⑴ 3.6－72×0.025；
⑵ 0.9999×0.08＋0.1111×0.28。
【解析】：
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五年级奥数解析1
前几题中，相关数据的倍数关系大多是整十、整百倍，很容易被发现。
这两小题难在倍数关系 稍微复杂，孩子较难发现：72是3.6的20倍、0.9999是0.1111的9倍。但
解题原理相 同。
⑴ 3.6－72×0.025
＝3.6－3.6×（0.025×20）
＝3.6×（1－0.5）
＝3.6×0.5 ＝1.8
⑵ 0.9999×0.08＋0.1111×0.28
＝0.1111×0.72＋0.1111×0.28
＝0.1111×（0.72＋0.28）
＝0.1111×1
＝0.1111
习题2：用简便方法计算：
⑴ 11×22＋0.22×3300＋330×4.4；
⑵ 1.993×1993000＋19.92×199200－199.3×19920－1992×1991。
【解析】：
根据第⑴题中，各个加数的特点，三步乘法计算中都可以分解出公因数11，再运 用乘法分配律可以
简算。
⑴11×22＋0.22×3300＋330×4.4
＝11×22＋11×66＋11×132
＝11×（22＋66＋132）
＝11×220
＝2420
2
注：这一题的公因数也可以选择“22”或 “11=121”，以121为公因数不太好找，但计算更简便。
第⑵题根据数据特点，可以先把所有 的数据都转化为整数，再根据数据特点，分别组合，运用乘法
分配律简算。
⑵ 1.993×1993000＋19.92×199200－199.3×19920－1992×1991
＝1993×1993＋1992×1992－1993×1992－1992×1991
＝（1993×1993－1993×1992）＋（1992×1992－1992×1991）
＝1993＋1992
＝3085
第2讲《巧求整数部分》
在小数四则 运算中，根据实际情况，有时不需要求出精确的计算结果，只要求出计算结果的整数部
分。要求出计算结 果的整数部分，可以通过直接计算出精确结果，再确定结果的整数部分。也可以通过
找规律、估算、推理 等巧妙方法，很简便地直接确定结果的整数部分，不需要通过复杂计算求出精确的
结果。
这类习题常用解法有：
一、放缩法。一组小数相加，如果其中最大数与最小数相差小于等于0 .1，则可以通过缩放，先求
出它们和的取值范围，再根据和的范围确定它的整数部分。
同理 ，在乘除法计算中，也可以通过缩放乘数、除数或被除数，先求出积或商的范围，再根据范围
确定计算结 果的整数部分。

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五年级奥数解析1
二、10个小 数求和只考虑十分位、百分位小数法。10个一位数相加最大只能满九十（进9），因此
某些有规律排列 的10个数相加，能影响到和的整数部分的，往往只有这10个加数的百分位之前（包括
百分位）的有效 数字，百分位之后的各个数位上数字则不起作用。针对这种情况，要求出10个加数的和
的整数部分，各 个加数百分位之后的各个数位可以忽略不算，只看百分位之前（包括百分位）的部分进
行计算即可。（注 ：要注意观察每个数据特征，结合估算，作出正确判断。没有规律的任意10个数相加，
则不能这样求解 。）
（一）模仿训练
练习1：
设A＝0.8＋0.88＋0.888＋…＋0.88…8，求A的整数部分。
10个8
【解析】：
这题可以用放缩法确定A的整数部分。
解法一：
假设题中1 0个加数都等于最大的第10个加数，则10个数的和为第10个加数的10倍，是
8.8888888 88；假设题中10个加数都等于最小的加数0.8，则10个数的和为0.8的10倍，是8。显
然A 的大小在8和8.888888888之间，比8大，比9小。
所以A的整数部分为8。
解 法二：直接把10个加数扩大到0.9，则和为9；直接把10个加数缩小到0.8则和为8。显然A的
大小在8个9之间，它的整数部分肯定是8。
练习2：求5.5＋5.65＋5.665＋5.666 5＋…＋5.6666666665和的整数部分。
【解析】：本题可以只考虑十分位、百分位小数法
这道题有10个加数，数据特征明显，可以分步求和。
10个加数整数部分的和：5×10＝50；
10个加数十分位上数值的和：0.5＋0.6×9＝5.9；
10个加数百分位上数值的和：0.05＋0.06×8＝0.53；
10个加数千分位上数值的和：0.005＋0.006×7＝0.047；——————没必要
……
50+5.9+0.53+0.047=56.477。
略加估计，可知这1 0个数千分位及以后各个数位上数值的和已经无法影响总和的整数部分的大小
了。
所以，原题和的整数部分为56。
（二）巩固训练
习题1：求31.719×1.2798的整数部分。
【解析】：
这题可以用放缩法确定积的整数部分。
两个乘数适当放大，求得：32×1.28=40.96；
两个乘数适当缩小，求得：31.7×1.27=40.259。
所以原题的积在40.259与40.96之间，它的整数部分肯定是40。
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五年级奥数解析1
注：使用放缩法，要注意放缩的尺度，放得太大或缩得太小，就有可能得不到所需要的结果。
习题2：
老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的 答案是12.43，
老师说最后一位数字写错了，其它数字都对，这13个自然数的和是多少？
【解析】：
小明的计算答案是12.43，只有最后一个数字写错了，即13个自然数的平均 数在12.41和12.49之
间。
12.41×13=161.33
12.49×13=162.37
13个自然数的和肯定还是自然数，所以这13个自然数的 和是大于或等于161.33，小于162.37的自
然数，只能是162。
（三）拓展提高
习题1：设A＝0.89×5＋0.88×5＋0.87×5＋…＋0.81×5。求A的整数部分。
【解析】：
根据算式特征，先运用乘法分配律提取公因数，再运用求和公式简算。
A＝0.89×5＋0.88×5＋0.87×5＋…＋0.81×5
＝（0.89＋0.88＋0.87＋…＋0.81）×5
＝（0.89＋0.81）×9÷2×5
＝1.7×9÷2×5
＝38.25
所以A的整数部分为38。
习题2：设A＝16÷（0.40＋0.41＋0.42＋…＋0.59），求商的整数部分。
【解析】：
这一题可以用放缩法求解。
假设题中括号里的每个加数都缩小到0.4，则：
原式＝16÷（0.4×20）＝2；
假设题中括号里的每个加数都扩大到0.6，则：
原式＝16÷（0.6×20）＝16÷12＞1。
所以商A大于1，小于2，商的整数部分是1。

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